[[해설]]역탄젠트함수의 미분

[수학짱]

역탄젠트함수는 다음과 같이 정의한다.
y = tan x : (-pi/2, pi/2) ---> (-infty, infty) 는 1-1함수이므로 역함수를 생각할 수 있다.
즉, x = arctan y : (-infty, infty) ---> (-pi/2, pi/2)
arctan y 를 tan^{-1} y 라고도 쓴다.
보통 y =f(x) 꼴로 나타내므로 우리는 다음과 같이 쓴다.

y = arctan x: (-infty, infty) ---> (-pi/2, pi/2)

이제 미분에 대하여 알아보자. 미분가능함수의 역함수의 미분 가능성은 알고 있으리라 생각한다.
x = tan y
의 양변을 x 에 대하며 미분하면
1 = sec^2 y (dy/dx)
따라서
dy/dx = 1/sec^2 y = 1/(1+tan^2 y) = 1/(1+x^2)
정리하면
(arctanx)' = 1/(1+x^2)