[[답]]Re: 곡선 r=a(1+sinθ) 의 호의 길이

[수학짱]

극방정식 곡선 r=a(1+sinθ) 의 호의 길이를 구하는 건데요~~~

답은 8a 이거든요...

해법이 안나와서요,,,;;;

도와주세요~~;;

[풀이] r = f(θ) 의 θ_1 과 θ_2 사이의 곡선의 길이는
x = r cos θ= f(θ) cos θ
y = r sin θ= f(θ) sin θ
이므로
(dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2
= {f'(θ) cos θ- f(θ) sin θ}^2
+ {f'(θ) sin θ+ f(θ) cos θ}^2
= {f'(θ)}^2 + {f(θ)}^2
따라서 구하는 곡선의 길이는
∫_{θ_1} ^{θ_2} sqrt{ {f'(θ)}^2 + {f(θ)}^2 } dθ
r=a(1+sinθ) 이므로
{f'(θ)}^2 + {f(θ)}^2 = {a cos θ}^2 + {a(1+sinθ) }^2
= a^2 (2 + 2 sin θ) = 2a^2 (1+ cos(π/2 - θ) )
= 4a^2 cos^2 (π/4 - θ/2) )

이제 ∫_{π/2 } ^{2π+ π/2 } 2a |cos (θ/2 -π/4 )| dθ
= ∫_0 ^{π} 4a |cos t|dt ( t = θ/2 -π/2 )
= 8a ∫_0 ^{π/2} cos tdt = 8a [ sin t]_0 ^{π/2}
= 8a