사다리꼴 넓이 구하기, 더 간단한 방법은?
사다리꼴의 넓이
정민이와 요한이는 사다리를 타고 지붕에 올라간 공을 내렸습니다. 평소에 수학적으로 생각을 잘하는 정민이가 지붕에 기대어 있는 사다리를 보고 생각했습니다.
‘사다리꼴의 넓이를 어떻게 계산할까?’
정민이와 요한이는 이미 공부해서 알고 있는 직사각형의 넓이, 평행사변형의 넓이, 삼각형의 넓이를 이용하여 계산하는 방법을 생각했습니다.
정민이는 두 삼각형을 (가)와 (나)로 나누었습니다. 그런데, 삼각형 (가)에서 밑변은 아랫변과 같으므로 삼각형 (가)의 넓이는 (아랫변)×(높이)÷2이다. 삼각형 (나)에서 밑변은 윗변과 같고, 높이는 삼각형 (나)의 높이와 같으므로 삼각형 (나)의 넓이는 (윗변)×(높이)÷2이다.
그러므로 사다리꼴의 넓이를 다음과 같이 계산했습니다.
(사다리꼴의 넓이)=(삼각형 (가)의 넓이)+(삼각형 (나)의 넓이)
=(아랫변)×(높이)÷2+(윗변)×(높이)÷2
요한이는 평행사변형 (가)와 삼각형 (나)로 나누었습니다. 그런데, 평행사변형 (가)에서 밑변은 윗변의 길이와 같으므로 평행사변형 (가)의 넓이는 (윗변)×(높이)입니다. 삼각형 (나)에서 밑변은 [(아랫변)-(윗변)]과 같고, 높이는 평행사변형 (나)의 높이와 같으므로 삼각형 (나)의 넓이는 [(아랫변)-(윗변)]×(높이)÷2이다.
그러므로 사다리꼴의 넓이를 다음과 같이 계산했습니다.
(사다리꼴의 넓이)=(평행사변형 (가)의 넓이)+(삼각형 (나)의 넓이)
=(윗변)×(높이)+[(아랫변)-(윗변)]×(높이)÷2
정민이와 요한이는 그들이 찾은 사다리꼴의 넓이 계산 방법을 선생님에게 말씀 드렸습니다. 선생님께서는 칭찬하며 “찾은 2가지 계산 방법이 모두 복잡하다. 좀 더 쉽고 간단하고 편리한 계산 방법을 찾을 것”을 권했습니다.
직사각형 이용하여 직각삼각형의 넓이 구하기
직각삼각형의 넓이
지산이와 동성이는 함께 직각삼각형 모양의 김밥을 먹고 있습니다. 둘은 김밥을 먹으면서 누구의 직각삼각형이 더 넓은지 알고 싶었습니다. 두 어린이는 직각삼각형의 넓이를 계산하려고 했습니다.
먼저 지산이는 직사각형의 넓이를 계산한 것과 같이 직각삼각형의 넓이를 구했습니다. 즉 직각삼각형을 가로와 세로가 각각 1㎝로 넓이가 1㎠인 단위넓이로 나누어 세려고 했습니다. 그런데 직각삼각형은 넓이가 1㎠인 단위넓이로 나누면 5개이고, 남는 부분은 단위넓이로 나눌 수 없었습니다.
지산이는 삼각형을 넓이가 1㎠인 단위넓이로 나눌 수 없기 때문에 평행사변형의 넓이를 계산하는 방법과 같이 직각삼각형의 일부분을 떼어서 붙이면 직사각형을 만들 수 있는지를 알아보기로 했습니다. 지산이와 동성이는 종이에 직각삼각형 모양을 오렸습니다. 지산이와 동성이는 오린 직각삼각형에서 어떤 부분을 떼어서 다른 곳에 붙이면 직사각형이 되는지 찾고 있습니다.
“밑에 있는 변의 가운데를 접고 오려서 오른쪽에 있는 삼각형을 위쪽 오른쪽에 붙이면 직각삼각형은 직사각형으로 변한
다!” “직사각형의 넓이를 이용하여 직각삼각형의 넓이를 계산할 수 있다!”고 말했습니다. 지산이도 방법을 찾았습니다.
“세워 있는 변의 가운데를 접고, 위에 있는 삼각형을 오려서 아래 오른쪽에 붙이면 직각삼각형은 직사각형으로 변한다!
”고 외쳤습니다. 이때 또 어려운 일이 생겼습니다.
“직각삼각형에서 직사각형의 가로에 해당되는 것을 무엇이라고 하며, 세로에 해당되는 것을 무엇이라고 할까?”
이번에는 지산이가 평행사변형의 넓이를 계산하는 방법을 기억하면서 좋은 아이디어를 냈습니다. “직각삼각형에서 직사각형의 가로에 해당되는 것을 밑변, 세로에 해당되는 것을 높이라고 하면 좋겠어!”
그러면 직각삼각형의 넓이는
직사각형의 넓이 공식인 (가로의 길이)×(세로의 길이) 대신에 (밑변의 길이)×(높이 길이의 반)이 된다고 말했습니다. 동성이는 “직각삼각형의 넓이는 (밑변 길이의 반)×(높이의 길이)와 같이 계산해도 된단다!”라고 했습니다.
둘은 발견한 직각삼각형의 넓이를 계산하는 2가지 방법을 선생님에게 말씀드렸습니다.
[방법1] (직각삼각형의 넓이)=(밑변의 길이)×(높이 길이의 반)
[방법2] (직각삼각형의 넓이)=(밑변 길이의 반)×(높이의 길이)
선생님은 직각삼각형의 넓이 계산법을 알아낸 두 어린이를 칭찬하며 2가지 방법은 다음과 같은 방법으로 바꿀 수 있다고 설명했습니다.
(직각삼각형의 넓이)=(밑변의 길미)×(높이의 길이)÷2
직사각형 넓이를 이용, 평행사변형 넓이 구하기
평행사변형의 넓이
하진이와 도규는 철길 옆에 살고 있습니다. 두 어린이는 미술 시간에 철길이 있는 그림을 그렸습니다. 철길은 실제로 직사각형 모양이지만 그림에서는 평행사변형 모양으로 되어 있습니다. 수학을 좋아하는 둘은 자신들이 그린 평행사변형 모양의 철길 넓이를 계산하려고 했습니다.
두 어린이는 직사각형의 넓이를 계산한 방법과 같이 평행사변형의 넓이를 계산하려 했습니다. 즉 평행사변형을 가로와 세로가 각각 1㎝로 넓이가 1㎠인 단위넓이로 나누어 세려고 한 것입니다. 그런데 평행사변형은 넓이가 1㎠인 단위넓이
를 나누면 6개이고, 남는 부분은 단위넓이로 나눌 수 없습니다.
이들은 평행사변형을 넓이가 1㎠인 단위넓이로 나눌 수 없기 때문에 다른 계산법을 찾아내기로 했습니다. 그림을 자세히 보고 있던 도규가 큰 소리로 외쳤습니다.
“알아냈다! 계산하는 방법을 알아냈다!” 소리쳤습니다.
“오른쪽에 남아 있는 삼각형을 떼어 왼쪽에 붙이면 평행사변형은 직사각형으로 변해! 그래서 평행사변형의 넓이를 이미
공부하여 알고 있는 직사각형의 넓이를 계산하는 방법을 이용하여 계산하면 된단다!”
그렇지만 도규에게 한 가지 어려운 일이 생겼습니다.
“직사각형의 넓이를 계산하려면 가로의 길이와 세로의 길이를 알아야 해! 그런데 평행사변형에는 가로의 길이와 세로의 길이가 없네!” 하고 중얼거렸습니다.
이때, 하진이가 아주 좋은 아이디어를 생각했습니다.
“직사각형에서 가로에 해당되는 것을 평행사변형에서는 밑변이라 하고, 세로에 해당되는 것을 높이라고 하면 좋겠다!”라고 말했습니다. 그리고 “직사각형의 넓이는 (가로의 길이)×(세로의 길이)를 이용하여 계산하므로 평행사변형의 넓이는 (밑변의 길이)×(높이의 길이)를 이용하여 계산하면 된다.”고 설명했습니다. 두 어린이는 선생님에게 그들이 발견한 평행사변형의 넓이 계산법을 말했습니다. 선생님은 둘을 칭찬하며 아주 중요한 것을 말했습니다.
“평행사변형의 넓이를 계산하기 위해 직사각형의 넓이 계산하는 방법을 이용하여 계산하였듯이, 우리가 살아가면서 문제를 직접 해결할 수 없을 경우에는 다른 것을 이용하여 간접적인 방법으로 문제를 해결하는 지혜가 있어야 한단다.”
/ 서울교육대학 수학교육과