설명해 드리면 다음과 같습니다.
(du/dt) 형태를 전미분(전체 미분)이라 하며, (∂u/∂t) 형태를 국지 미분(시간에 대한 편미분)이라 한다.
V = (u, v, w), ∇u = [(∂u/∂x), (∂u/∂y), (∂u/∂z)]
(du/dt) = (∂u/∂t) + u(∂u/∂x) + v(∂u/∂y) + w(∂u/∂z) 이다.
벡터 형태로 바꾸면 (du/dt) = (∂u/∂t) + V•(∇u) 이다.
이류항 = (-)V•(∇u) = (∂u/∂t) - (du/dt)
= 국지적 가속도(오일러리언 가속도) - 유체 가속도(라그랑지안 가속도)
(-)V•(∇u)를 ‘이류항’이라 하며, 이 경우는 속도이류에 해당한다.
이류는 수평방향에 대해서 다루기 때문에 수평바람 벡터와 온도기울기 또는 와도기울기 벡터를 벡터내적으로 곱하여 표현한다. 이류항은 단위시간에 따른 공기이동에 대한 변화량이 아니며, 단순히 이류에 의한 물리량(온도, 속도, 와도)의 변화를 말하기 때문이다.
예컨대, V = (u, v)이고, 상대와도 이류항 = (-)V•∇ζ = (-)(u, v)•(∂ζ/∂x, ∂ζ/∂y)
= (-)u(∂ζ/∂x) + (-)v(∂ζ/∂y)이다. 기울기(∇)는 단위시간 개념과는 전혀 관계가 없다.
온도이류항 = (-)V•∇온도 = (-)V•∇T = 이류에 의한 온도 변화이다
속도이류항 = (-)V•∇속도 = (-)V•∇u = = (-)[u(∂u/∂x) + v(∂u/∂y)]
= 이류에 의한 속도 변화이며, 이류가속도 또는 장(field)가속도이다
와도이류항 = (-)V•∇와도 = 이류에 의한 와도 변화이다
상대와도 이류항 = (-)V•∇상대와도 = (-)V•∇ζ 이고,
행성와도 이류항 = (-)V•∇행성와도 = (-)V•∇f 이다.
∇는 구배(기울기, gradient) 벡터로 등압선, 등고선, 등온선에서 작은 값에서 큰 값을 향하는 등치선의 수직상 벡터(기울기가 가장 큰 방향)를 의미하는 미분연산기호이다. 이류항에 (-)가 붙는 이유는 기압경도력에 (-)가 붙는 것과 같은 이유로 기울기(▽, gradient) 자체는 수학적으로 작은 값에서 큰 값으로 향하는데 반하여 열(온도)이나 힘(등압선)은 큰 값에서 작은 값으로 향하므로 (-) 부호를 붙여야 한다. ∇는 기울기(gradient) 벡터로 등압선, 등고선, 등온선에서 작은 값에서 큰 값을 향하는 등치선의 수직상 벡터를 의미하는 미분연산기호이다. 이류항의 의미는 이류에 의한 물리량(온도, 속도, 와도)의 변화를 말한다. 기압경도력이라는 힘의 방향은 높은 기압에서 낮은 기압 방향으로 작용한다. 수학에서 기울기는 낮은(작은) 값에서 높은(큰) 값으로 향할 때 (+)로 정의하기에 기압의 기울기는 높은(큰) 값에서 낮은(작은) 값으로 향하므로 (-)가 된다. 즉, 작용하는 힘의 방향과 기울기는 부호가 반대가 된다.
| (-)V•(∇P)에서 P가 속도(u)이면 (-)V•(∇u)는 속도 이류항 P가 온도(T)이면 (-)V•(∇T)는 온도 이류항 P가 상대와도(ζ)이면 (-)V•(∇ζ)는 상대와도 이류항 P가 행성와도(f)이면 (-)V•(∇f)는 행성와도 이류항 (-)V•(∇f) = (-)(u, v)•(∂f/∂x, ∂f/∂y) = (-)u(∂f/∂x) - v(∂f/∂y) (∂f/∂x) = 0이므로 (-)V•(∇f) = (-)v(∂f/∂y) = (-)βv 이다. β = ∂f/∂y |
①예컨대, 온도이류항 = (-)V•∇T 식에서 남북으로는 온도가 일정하고 동서방향으로만 온도차가 있다고 가정하자. 서쪽에 찬공기가 있고 동쪽에 따뜻한 공기가 있는데 바람이 서쪽에서 동쪽으로 분다고 하면 한랭이류가 있다는 것을 알 수 있다. 한랭이류는 차가운 쪽으로부터 바람이 불어오는 것을 말하고, 온난이류는 따뜻한 쪽으로부터 바람이 불어오는 것을 말한다.
온도이류항 = (-)V•∇T
온도기울기(∇T)는 수학적으로 작은 값에서 큰 값으로 향할 때 (+)로 정의하기에 서쪽에 찬공기가 있고 동쪽에 따뜻한 공기가 있는 경우 서쪽에서 동쪽으로 갈수록 온도가 올라가기에 ∇T는 (+)가 된다.
한랭이류 = (-)V•∇T = (-)×(+)×(+) = (-) 이다.
한랭이류 = (-)V•∇T = (-)u(∂T/∂x) + (-)v(∂T/∂y) = (-)×(+)×(+) (-)×0 = (-) 이다.
서쪽에 찬공기가 있고 동쪽에 따뜻한 공기가 있는데 바람이 동쪽에서 서쪽으로 분다고 하면 온난이류가 있다는 것을 알 수 있다.
온난이류 = (-)V•∇T = (-)×(+)×(-) = (+) 이다.
②속도이류항 = (-)V•∇u = 이류에 의한 속도 변화이며, 이류가속도 또는 장(field)가속도 = (-)[u(∂u/∂x) + v(∂u/∂y)] 이다.
이류항 = (-)V•(∇u) = (∂u/∂t) - (du/dt) = 국지적 가속도 - 유체의 가속도
정상류인 경우에 (∂u/∂t) = 0이다.
출발지점(x=0)에서 유속은 u이다. x만큼 이동된 거리에 위치하는 지점에서 유체가 폭이 좁은 곳으로 흘러가면 유속이 증가하므로
u+(∂u/∂x)uδt 이다. 이동하는 동안 속도의 증가(라그랑지언 가속도) (du/dt) = (∂u/∂x)uδt/δt = (∂u/∂x)u = u(∂u/∂x)이다.
국지적 가속도 (∂u/∂t)가 0이고, v=0, w=0이면 (du/dt) = u(∂u/∂x) = V•(∇u)가 되어 정상류인 경우에 (∂u/∂t) = 0이므로
u(∂u/∂x)는 이류에 의한 유속증가를 나타낸다.
(du/dt) = u(∂u/∂x)이고, uδt = δx이다. 바람의 경우 서풍u는 (+)이고, 동풍은 (-)이다.
동쪽으로 갈수록 서풍이 가속되면 (∂u/∂x)는 (+)이고, 서풍이 감속되면 (∂u/∂x)는 (-)이다.