[[국+영+수]]문제풀이 좀 부탁해요

[동혁짱이요]

540을 자연수로 나누어 어떤 자연수의 제곱이 되게 할때 나눌수 있는 가장작은 자연수는?


2의2제곱×□의 약수의 개수가 15개일때 □안에 들어갈수있는 자연수중 가장 작은수를 구하여라


부탁해요~

[좋은땅좋은열매]

1. 먼저 어떤 수가 제곱이 될 수 있는 지를 알아야 합니다.
2^4=16=4^2
2^6=84=8^2
2^8=256=16^2.....이 내용을 잘 살펴보세요
지수가 짝수가 되면 .....밑의 수는 달라지지만 지수를 제곱으로 바꿀 수 있음을 알 수 있어요
이게 키포인트예요...
540에 어떤 수를 나누면 어떤 자연수의 제곱이 된다....는 말을 이해해보면요?
540 나누기 ㅁ = 어떤수^2...이지요?
그래서 이런 문제를 풀려면 주어진 수 540을 소인수 분해해봐야 합니다.
540 = 2^2 * 3^3 * 5 입니다
2^2 * 3^3 * 5 나누기 ㅁ = 어떤 수^2
그럼 맨 위에 설명한 내용을 적용해보죠
지수가 짝수가 되어야 지수를 제곱으로 바꿀 수 있다...

[좋은땅좋은열매]

540의 소인수 분해를 보면 소인수 2는 짝수로, 소인수 3은 홀수로, 소인수 5는 홀수로 되어있지요?
짝수로 만들면서 가장 작은 수를 나누기 위해서는 최소한 3과 5를 한번은 나누어주어야 합니다..즉나누는 수는 15

[좋은땅좋은열매]

2. 먼저 약수의 갯수를 구하는 방법은 소인수 분해하여 지수에 1을 더한 것을 곱한 것이다...라는 개념을 알고 있어야 합니다
알고 있다고 전제할 때에...
ㅁ가 가장 작아야 한다고 했으니까...소인수 분해는 소수인 약수의 곱이어야 하므로 2, 3, 5, 7,...이게 작은 소수의 순서입니다..
ㅁ 가 가장 작기 위해서는 밑은 3이 되어야 하고..지수는 4가 되어야
약수의 갯수는 3*5 = 15 ......15개의 약수의 갯수가 있게 되지요
그러므로 답은 81