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라플라스 변환의 정의 및 기본정리
라플라스 변환(Laplace Transform)
- 미분방정식과 그 것에 대응하는 초기치 및 경계치 문제를 푸는 한 방법 - 구동력이 불연속점을 가질 때 힘이 짧은 시간동안 작용 주기적이나, 단순 sin, cos함수가 아닐 때 유용 - 방법 ⅰ) 복잡한 미분 방정식을 대수방정식(보조방정식)으로 변환 - 라플라스변환 ⅱ) 순수한 대수적 연산으로 보조방정식 풀이 ⅲ) 보조방정식의 해를 역으로 변환 - 역변환
1. 라플라스 변환의 정의 - 라플라스 변환(Laplace transform) 0〈 t〈∞로 정의된 시간의 함수 f(t)에 를 곱하고 t에 대하여 0∼∞까지 적분
라플라스연산자:
- 역변환(inverse transform)
2. 간단한 함수의 라플라스 변환 ⅰ) 단위 계단함수, 단위치 함수(상수)
ⅱ) 지수함수
ⅲ) 삼각함수
ⅳ) f(t) = At cf :
u= t, v=로 놓으면
ⅴ) f(t) =
ⅵ) f(t) = tn , f(t) = tn e-at
3. 신호파형의 라플라스 변환 ⅰ) 단위계단함수(unit-step function) - u(t)
u(t) = 1 t ≥0
u(a-t)
- 시간함수 f(t)도 단위계단함수 적용이 가능하며 t=a 인 시간지연을 갖는 시간함수는 f(t-a)u(t-a) 로 표현 - t=a의 시간 지연을 갖는 시간함수의 라플라스 변환은 t=0에서 시작하는 함수의 라플라스 변환에 e-as 를 곱한 것과 같다.(추이정리)
램프함수 : 시간에 따라 직선적 증가 단위램프함수 : 기울기가 1로 직선적증가 임펄스함수: 짧은 시간에 무한대의 값을 갖는 함수 단위임펄스함수 : 폭이 ε, 높이가 1/ε일 때 ε가 무한대로 갈 때 면적은 1을 유지하는 함수
ⅴ) 톱니파
[예제] 그림과 같은 파형의 라플라스 변환을 구하여라.
그림으로부터
단위계단 함수로 표시하여 구하면
이므로, 라플라스 변환하면
[예제] 그림과 같은 파형의 라플라스 변환을 구하여라.
(풀이)
이며, 여기서
이므로
ⅵ) 주기함수의 라플라스 변환 f(t) = f(t+nT) n= 0, 1, 2, … f(t)가 주기 T인 주기함수이면 라플라스변환은
[예제] 그림과 같은 주기함수 톱니파의 라플라스 변환을 구하여라.
(풀이) 0< t < T 일 때
따라서 식 (14-37)을 적용하면
혹은
∴
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(부분 적분법)
를 그림과 같이
,
,
로 분해할 수 있으므로
이며
