[필기이론]라플라스 변환

[땜신]

라플라스 변환

라플라스 변환(Laplace Transformation)은 선형 상미분방정식의 해를 구하거나 시스템의 전달함수를 구하는 데에 쓰이는 수학적 방법이다. 이 방법을 쓰면 미분방정식이 대수방정식으로 바뀌어 쉽게 풀릴 뿐만 아니라, 시스템의 특성을 분수함수 형태의 전달함수로 나타낼 수 있어서 수학적으로 처리하기가 쉬워지기 때문에 제어 시스템의 해석과 설계에 매우 많이 쓰이는 방법이다. 여기에서는 라플라스 변환을 수학적으로 엄밀하게 다루기보다는 이 변환의 활용에 초점을 맞추어 이 변환의 몇 가지 기본성질들만을 정리한 뒤에 이 성질들을 활용하는 방법을 예시할 것이다.

정의2.1 : 어떤 시간함수 에 대한 라플라스 변환함수는 다음과 같이 정의된다:

 

여기서 는 복소변수, 는 라플라스 변환을, 는 라플라스 변환함수를 나타낸 것이다. 는 의 실수부를 뜻하며, 는 라플라스 적분이 존재하는 수렴경계(Boundary of convergence)이다. 그리고 시간함수 는 시점 이후에만 정의되는 준연속(Piecewise continuous)함수로서, 에서는 값이 인 것으로 가정한다.

위의 정의에서 시간함수에 대한 조건 가운데 준연속함수란 불연속점의 수가 유한한 함수를 뜻하며, 모든 연속함수들은 여기에 속한다. 그리고 식(2.1)에서 시간함수 에 대한 라플라스 변환은 적분핵(Kernel) 의 두 변수 와 가운데 시간에 대한 정적분으로 정의되어 의 함수가 되기 때문에 로 표기한 것이다. 변환변수 의 단위는 시간의 역수가 되어 주파수 단위와 같기 때문에 영역을 주파수영역(Frequency domain)이라고도 부른다.

라플라스 변환은 임의의 시간함수에 대해서 모두 존재하는 것은 아니며 식(2.1)의 라플라스 적분이 수렴하는 경우에만 존재한다. 즉, 수렴영역(Region of convergence) 에서 수렴경계 가 유한한 경우에만 존재한다고 할 수 있다. 시간함수 가   구간에서 유한한 경우와 항들로 이루어지는 정함수의 경우에는 이 되고, 의 지수함수 항을 포함하는 경우에는 가 되어 수렴경계가 항상 존재하기 때문에 라플라스 변환을 구할 수 있다. 따라서 공학분야에서 자주 다루는 거의 모든 함수들에 대해서는 라플라스 변환이 존재한다. 그러나 항을 포함하는 특수한 함수의 경우에는 가 되어 수렴영역이 존재하지 않으므로 라플라스 변환은 존재하지 않는다.

그러면 여기에서 앞으로 자주 쓰게될 몇 가지 대표적인 시간함수들에 대한 라플라스 변환함수들을 식(2.1)의 정의에 따라 구해보기로 한다.

예제2.1 : 다음 시간함수의 라플라스 변환을 구하라. 해

 

 

예제2.2 : 다음 지수함수의 라플라스 변환을 구하라. 여기에서와는 상수이다. 해

 

                                     

 

2.2.1 라플라스 변환의 성질

정의2.1에서 식(2.1)로 정의한 라플라스 변환은 지수함수 를 핵(Kernel)으로 하는 적분연산이기 때문에 다음과 같은 성질들을 지닌다. 이 절에서 다루는 식들에서 , 는 에서 정의되는 시간함수들이고 각각에 대응되는 라플라스 변환함수들은 로 나타내기로 한다.

성질2.1 : [함수의 상수곱]  

어떤 시간함수에 상수를 곱한 함수의 라플라스 변환은 그 함수의 라플라스 변환에 상수를 곱한 것과 같다.

 

여기에서 는 상수이다.

성질2.2 : [함수간의 덧뺄셈]  

두 시간함수 사이의 덧셈이나 뺄셈의 라플라스 변환은 각각의 라플라스 변환의 덧셈이나 뺄셈과 같다.

 

식(2.5)-(2.6)의 성질은 라플라스 변환이 식(2.1)에서 보듯이 적분연산으로 정의되기 때문에 적분연산의 성질로부터 유도되는 것이다. 이 두 식은 통합하여 다음과 같이 한 식으로 나타낼 수 있다:

 

여기에서 와 는 임의의 상수들이다. 식(2.7)과 같은 성질을 선형성(Linearity)이라 부르며, 이러한 성질을 갖는 변환이나 연산을 선형변환(Linear transformation), 또는 선형연산(Linear operation)이라고 부른다. 미분, 적분 연산과 라플라스 변환은 이러한 선형변환의 대표적인 예들이다. 또한 입출력신호들 사이의 전달특성이 이러한 선형연산들의 합으로 표시되는 시스템을 선형시스템 (Linear System)이라고 부른다.

성질2.3 : [미분]  

시간함수의 1차 도함수에 대한 라플라스 변환은 다음과 같다:

 

여기에서 는 함수 의 초기시점 에서의 함수값으로서 흔히, 초기값이라 부른다.

증명 : 위의 성질은 라플라스 변환의 정의와 부분적분법을 이용하면 유도할 수 있다.

 

이 성질은 시간영역 에서의 미분연산이 라플라스 변환영역에서는 를 곱하고 초기값을 빼는 대수연산으로 바뀐다는 것을 뜻한다. 만일 초기조건이 이면, 즉 이면 식(2.8)은 다음과 같이 더 간단하게 표시된다:

 

                             

이 경우에는 시간영역 에서의 시간함수에 대한 미분연산이 라플라스 변환영역에서는 변환함수에 를 곱하는 간단한 대수연산으로 바뀌게 된다.

시간함수의 2차 도함수에 대한 라플라스 변환은 다음과 같다:

 

                              

여기에서 , 는 각각 함수 와 도함수 의 시점 에서의 함수값(초기조건)이다. 2차 도함수는 1차 도함수를 한번 더 미분한 함수이므로 1차 도함수에 대한 라플라스 변환의 성질인 식(2.8)을 반복 적용하면 식(2.9)의 성질을 다음과 같이 쉽게 유도할 수 있다:

 

                            

여기에서도 만일 초기조건이 이면, 즉   이면 다음과 같은 성질이 성립한다:

 

                                  

3차이상의 고차도함수에 대해서도 필요하면 식(2.8)-(2.9)의 라플라스 변환의 성질들을 활용하여 다음과 같이 대응되는 결과들을 구할 수 있다:

여기에서 는 의 차 도함수의 초기값이다.

도함수에 대한 라플라스 변환의 성질을 다시 한번 요약하면, 시간영역 에서의 함수의 미분연산이 라플라스 변환영역에서는 를 곱하고 초기값을 빼는 간단한 연산으로 바뀐다는 것이다. 이러한 성질은 라플라스 변환의 큰 장점으로서, 이 성질을 이용하면 복잡한 미분방정식을 간단한 대수연산으로 풀 수 있기 때문에 제어시스템이나 회로이론 분야는 물론이고 대부분의 공학분야에서 매우 유용하게 활용되고 있다.

성질2.4 : [적분]  

시간함수의 1차 적분함수에 대한 라플라스 변환은 다음과 같다:

 

증명 : 이 성질은 라플라스 변환의 정의와 <그림2.2>와 같이 이중적분에서 적분경로를 바꾸는 방법을 써서 다음과 같이 유도할 수 있다:

   

 

 

 

<그림2.2> 적분경로 변경 : (a)  (b)  

이 성질은 시간영역에서의 적분연산이 라플라스 변환영역에서는 변환변수 로 나누는 간단한 연산으로 바뀐다는 것을 뜻한다. 식(2.8)과 식(2.11)을 비교해보면 라플라스 변환의 성질에 재미있는 규칙이 나타남을 알 수 있다. 시간영역에서 미분연산과 적분연산이 서로 역의 연산인데, 이에 대한 라플라스 변환도 각각 를 곱하는 연산과 로 나누는 연산으로서 서로 역의 연산관계를 유지하고 있는 것이다.

성질2.5 : [중합적분, Convolution integral]

두 개의 시간함수들 사이의 중합적분에 대한 라플라스 변환은 각 시간함수의 라플라스 변환의 곱과 같다.

 

증명 : 이 성질은 이중적분에서 적분경로를 바꾸고 적분변수치환을 하면 다음과 같이 유도된다:

 

식(2.12)의 좌변에 나오는 적분을 중합적분(Convolution integral)이라고 부른다. 이 적분은 선형시스템의 입력신호와 출력신호 사이의 전달특성을 나타낼 때 자주 쓰이는 표현으로서 비교적 복잡한 연산에 속한다. 그런데 이러한 시간함수들 사이의 복잡한 연산인 중합적분이 라플라스 변환에 의해 주파수영역에서는 두 함수들 사이의 간단한 곱연산으로 바뀌게 된다. 이 성질은 라플라스 변환의 주요장점 가운데 하나로서 이러한 장점 때문에 라플라스 변환이 제어시스템 해석 및 설계뿐만 아니라 회로망, 전력계통, 통신, 유도제어 등의 공학분야 다방면에서 편리하게 활용되고 있다.

성질2.6 : [지수가중, Exponential weighting]

시간함수에 지수함수가 곱해진 꼴의 함수에 대한 라플라스 변환은 주파수 영역에서 평행이동으로 바뀐다.

 

증명 : 익힘문제

성질2.7 : [시간지연, Time delay]

시간지연이 있는 시간함수에 대한 라플라스 변환은 주파수 영역에서 지수가중 함수가 곱해진 꼴로 바뀐다.

증명 : 익힘문제

식(2.13)-(2.14)의 두 성질은 라플라스 변환의 정의와 적분의 성질을 이용하여 쉽게 유도할 수 있다. 시간지연도 평행이동의 한 가지로 볼 수 있으므로 위의 두 성질은 시간영역과 주파수영역에서 지수가중 연산이 평행이동 연산으로 바뀐다는 점에서 서로 대응되는 성질들이다. 다만 두 식에서 평행이동의 부호와 지수가중 함수 지수의 부호에 대해서는 혼동이 되지 않도록 유의해야 한다.

성질2.8 : [복소미분, Complex differentiation]

시간함수에 을 곱한 함수에 대한 라플라스 변환은 변환함수의 복수변수 에 대한 미분과 같다.

 

여기서 은 자연수이다.

증명 : 위의 성질은 라플라스 변환의 정의와 귀납법을 이용하여 유도할 수 있다. 우선 일 때 성립하는 것을 다음과 같이 보일 수 있다 :

( 인 자연수)일 때 성립한다고 가정하면 다음 식이 성립하며,

 

이 가정을 사용하면 일 때에도 성립하는 것을 보일 수 있다.

 

따라서 귀납법에 의해 식(2.15)는 모든 자연수 에 대해서 성립한다.

식(2.15)로 표시되는 라플라스 변환의 복소미분에 대한 성질은 주파수 영역에서 에 대한 미분연산이 시간영역에서는 시간변수 를 곱하는 연산으로 바뀐다는 것을 보여주고 있다. 이 성질은 식(2.10)으로 표시되는 미분함수에 대한 라플라스 변환과 대응되는 성질이다. 식(2.10)에서는 시간영역에서의 미분연산이 주파수영역에서는 주파수변수 를 곱하는 연산으로 바뀌기 때문이다. 즉, 시간영역이나 주파수영역 어느 한 영역에서의 미분연산이 다른 영역에서는 변수를 곱하는 연산으로 바뀐다는 점에서 식(2.10)과 (2.15)의 두 성질은 대응되는 것이다. 단, 주의할 점은 식(2.10)에서는 초기값 항들이 추가되고 식(2.15)에서는 부호인수가 곱해진다는 것이다.

성질2.9 : [초기값 정리]

시간함수 의 초기값과 변환함수 는 다음과 같은 관계를 갖는다:

 

여기에서 이다.

증명 : 식(2.8)에서 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다:

 

여기에서 이면 이므로, 이 되어 식(2.16)이 성립한다.

식(2.16)은 라플라스 변환이 존재하는 한에는 항상 성립한다. 그러나 한 가지 유의할 점은 초기값으로서 대신에 를 쓴다는 점이다. 연속함수에서는 항상 이므로 구분할 필요가 없지만, 불연속함수에서는 인 경우가 있을 수 있기 때문에 주의해야 한다. 성질2.9는 시간함수의 초기값과 라플라스 변환함수와의 관계를 나타내주는 이론이기 때문에 흔히 초기값 정리(Initial value theorem)라고 부른다. 이에 대응하는 성질로서 최종값 정리(Final value theorem)가 있는데 이것을 살펴보면 다음과 같다:

성질2.10 : [최종값 정리]

시간함수 의 최종값 이 존재할 때, 이 최종값과 변환함수 는 다음과 같은 관계를 갖는다:

 

                                                        (2.17)

증명 : 익힘문제

이 성질에서 주의할 점은 극한값 이 존재할 때에만 성립한다는 것이다. 따라서 가 삼각함수인 경우에는 함수값이 계속 진동하여 극한값이 존재하지 않으므로 이 최종값 정리는 성립하지 않는다. 지금까지 이 절에서 살펴본 라플라스 변환의 성질들을 요약하면 <표2.1>과 같다.

 

<표2.1> 라플라스 변환의 성질

 

2.2.2 라플라스 변환의 예

이 절에서는 라플라스 변환의 정의와 성질들을 이용하여 공학에서 자주 사용하는 대표적인 시간함수들의 라플라스 변환을 구해보기로 한다.

예제2.3 : 다음과 같은 삼각함수의 라플라스 변환을 구하라.

 

여기에서 는 삼각함수의 진폭, 는 각속도를 나타내는 상수이다. 해

 

예제2.4 : 다음과 같은 삼각함수의 라플라스 변환을 구하라. 해

 

                                   

여기에서 는 삼각함수의 진폭, 는 각속도를 나타내는 상수이다.

 

예제2.5 : 다음 함수의 라플라스 변환을 구하라. 해

 

여기에서 은 기울기를 나타내는 상수이다.

 

예제2.6 : 다음과 같은 지수가중 삼각함수의 라플라스 변환을 구하라. 해

     

                               

예제2.7 : 다음과 같은 신호의 라플라스 변환을 구하라. 해

 

                     

여기서 는 지속시간(Duration)을 나타내는 상수이다.

이 절에서 지금까지 예제에서 다룬 함수들을 비롯하여 자주 다루게 될 기본적인 함수들의 라플라스 변환을 정리하여 표로 만들면 <표2.2>와 같다. 이 표는 앞으로 라플라스 변환과 역변환 함수를 구하는 데에 활용하게 될 것이다. 좀 더 자세한 라플라스 변환표는 <부록A>에 정리되어 있다.

2.2.3 라플라스 역변환

라플라스 역변환은 앞절에서 다룬 라플라스 변환의 역연산으로서 라플라스 변환함수 로부터 시간함수 를 구하는 과정을 말한다.

정의2.2 : 어떤 주파수함수 에 대한 라플라스 역변환은 다음과 같이 정의된다:

 

여기서 는 라플라스 역변환, 는 허수단위, 는 의 분모인수 가운데 실수부가 가장 큰 인수, 는 의 실수부를 나타낸 것이다. 그리고   조건은 라플라스 역변환을 정의하는 적분이 존재하는 범위인 수렴영역을 나타낸다.

 

<표 2.2> 라플라스 변환 및 역변환

 

라플라스 역변환은 복소적분으로 정의되기 때문에 이 연산을 식(2.29)의 정의에 따라 직접 계산할 경우에는 복소함수 적분법을 써야 하는데, 간단한 함수인 경우에는 쉽게 처리될 수 있지만 대부분의 경우는 그렇지 못하다. 그러나 라플라스 변환과 역변환 쌍은 서로 1:1 대응을 이루고 있으므로 <표2.2>에 나오는 변환쌍을 이용하고 라플라스 변환의 성질들을 활용하면 복소함수 적분과정을 거치지 않고서도 비교적 쉽게 역변환 함수를 구할 수 있다. 그러면 변환표를 이용하여 라플라스 역변환을 구하는 방법을 살펴보기로 한다.

 

부분분수 전개법

<표2.2>에서는 자주 등장하는 몇 가지 기본적인 함수들만을 다루고 있기 때문에 이 표에 나타나지 않는 일반함수들에 대한 역변환을 구하기 위해서는 이 함수들을 기본형의 꼴로 짜 맞추는 분해과정이 필요하다. 그런데 <표2.2>에 나오는 변환함수들은 분모부가 일차나 이차인수들로 이루어진 분수함수의 꼴을 갖고 있다. 따라서 기본형에 속하지 않는 어떤 변환함수의 라플라스 역변환을 구하기 위해서는 주어진 변환함수를 일차나 이차인수의 분모를 갖는 부분분수 함수들의 합으로 분해해야 한다. 이러한 분해과정을 부분분수 전개(Partial fraction expansion)라고 하는데, 여기에서 이 전개법에 대해 정리해보고 이것을 라플라스 역변환에 활용하는 예를 살펴보기로 한다. 먼저 부분분수 전개에 관한 이론을 정리하기로 한다. 이 이론에서 다루는 변환함수들은 다음과 같은 형태를 갖는 분수함수들이다:

            

                          

여기에서 , 는 각각 에 관한 , 차 다항식이며, 분모다항식 의 차수 이 분자다항식의 차수 보다 더 크다고 가정한다.

정리2.1 : [1차인수 부분분수 전개]

분수함수 의 분모가 다음과 같이 서로 다른 실계수 들로 이루어지는 1차인수들로 분해될 때,

 

이 함수를 부분분수로 전개하면 다음과 같다:

 

증명 : 식(2.31)의 우변을 통분하면 분모부는 식(2.30)의 분모부와 같고 분자부는 차 다항식의 일반형이 되어 차 분모다항식 보다 차수가 낮은 분자다항식인 를 항상 표시할 수 있으므로 식(2.30)은 항상 식(2.31)로 나타낼 수 있다. 따라서 식(2.32)만 유도하면 증명은 완료된다.

등식(2.30)의 양변에   를 곱하면 다음과 같이 전개된다:

이 식의 양변에 를 대입하면 우변에서 만 남고 다른 항들은 모두 이 되므로 다음과 같은 등식을 얻게 된다:

 

 

이것은 식(2.32)와 같은 등식이므로 증명은 완료된다.

식(2.32)의 계수 는 부분분수의 번째 계수로서 함수 에서 번째 분모인수 를 제외한 나머지 부분에 를 대입하여 계산되기 때문에 인수 에 대응하는 나머지수(Residue)라고 부른다. 이 정리2.1을 활용하면 분모다항식이 1차인수들로 이루어지는 분수함수 의 라플라스 역변환을 쉽게 계산할 수 있게 된다. 즉, 가 식(2.32)로 계산되는 나머지수를 계수로 갖는 식(2.31)의 부분분수로 전개되면 이 전개식에 라플라스 역변환을 적용하여 의 역변환을 쉽게 구할 수 있다. 그 까닭은 식(2.31) 우변의 각항은 앞에서 이미 다루었던 지수함수에 대응하는 변환함수들로서 다음과 같이 역변환되기 때문이다:

 

                                             

따라서 중첩정리로부터 의 역변환 는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

          

                                           

예제2.8 : 다음 변환함수의 역변환를 구하라. 해

 

                                

이제는 의 분모부에 2차인수 가 있는 경우, 즉 복소인수를 갖는 경우를 생각해보자. 이 2차인수를 1차로 분해하면 와 로 나눌 수 있다. 정리2.1에서는 의 분모다항식이 실계수 1차인수로 분해되는 것을 전제로 하고 있지만, 이와 같이 복소계수 1차인수로 분해되는 경우에도 적용할 수는 있다. 그러나 라플라스 역변환을 할 때에 이러한 2차인수들은 <표2.2>에서 볼 수 있듯이 지수가중 삼각함수에 대응되므로 1차인수로 분해하여 전개하는 것보다는 다음과 같이 2차인수 표준형으로 전개하여 처리하는 것이 훨씬 더 편리하다.

정리2.2 : [2차인수 부분분수 전개]

다음과 같이 분수함수 의 분모다항식의 인수 가운데 2차인수 이 있을 때,

 

                 

이 함수를 부분분수로 전개하면 다음과 같다:

 

여기에서 2차인수의 나머지수 는 다음과 같이 계산된다:

 

여기서 는 각각 실수부와 허수부를, 윗첨자 *는 켤레복소수를 나타낸다. 의 1차인수들의 나머지수 들은 식(2.32)와 같이 구해진다.

증명 : 식(2.34)의 우변을 통분하면 식(2.33)과 같은 꼴이 되므로 2차인수를 갖는 식(2.33)은 식(2.34)와 같이 전개될 수 있다. 이 전개식에서 1차인수들에 대한 나머지수는 정리2.1에서와 같은 방법으로 구할 수 있음은 자명한 것이므로, 2차인수의 나머지수를 정하는 식(2.35)만을 유도하면 된다. 식(2.34)의 양변에 을 곱하고   를 대입하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다:

   

                                

이 식을 정리하면 식(2.35)가 유도된다. 따라서 증명은 완료된다.

에 대한 부분분수 전개식 (2.34)에서 2차인수 부분의 라플라스 역변환은 <표2.2>에서 알 수 있듯이 지수가중 삼각함수에 대응된다.

 

           

따라서 전개식 (2.34)에 라플라스 역변환을 적용하면 의 역변환을 쉽게 구할 수 있다.

예제2.9 : 다음 변환함수 의 역변환 를 구하라: 해

 

                                

이번에는 에 다중인수가 포함되는 경우를 생각해보기로 한다. 이 경우에는 1차인수 전개가 불가능하기 때문에 정리2.1을 적용할 수가 없고 다중인수 부분을 처리하는 방법이 필요하다. 이 방법을 정리하면 다음과 같다:

정리2.3 : [다중인수 부분분수 전개]

다음과 같이 분수함수 의 분모다항식의 인수 가운데 번째 인수가 중인수일 때,

 

             

이 함수를 부분분수로 전개하면 다음과 같다:

 

여기에서 차인수의 나머지수 는 다음과 같이 계산된다:

 

그리고 1차인수들의 나머지수 들은 식(2.32)와 같이 구해진다.

증명 : 식(2.36)이 식(2.37)과 같이 전개되고 이 가운데 1차인수 부분들의 나머지수가 정리2.1에서와 같은 방법으로 구할 수 있음은 쉽게 증명할 수 있으므로 다중인수의 나머지수를 정하는 식(2.38)만을 유도하기로 한다. 식(2.37)의 양변에 을 곱하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다:

 

이 식의 양변을 번   미분하고   를 대입하면, 우변에서 차 이하의 항들은 미분과정을 통해 없어지고, 차 이상의 항들은   대입과정을 통해 없어지기 때문에 만 남게되어 식(2.38)이 유도된다. 따라서 증명은 완료된다.

다중인수에 대한 부분분수 전개식 (2.37)에서 다중인수에 대한 라플라스 역변환은 복소미분 성질 (2.15)를 이용하면 다음과 같이 구할 수 있다:

 

따라서 다중인수를 포함하는 전개식 (2.37)에서도 라플라스 역변환은 쉽게 구할 수 있다.

예제2.10 : 다음 변환함수 의 역변환 를 구하라: 해