미분방정식 동차형 ydx+x(lnx-lny-1)dy=0, y(1)=e

[공업수학]

ydx+x(lnx-lny-1)dy=0, y(1)=e

[풀이]

dy/dx = -(y/x)/{-ln(y/x) -1}

y = ux 로 치환하면

y ' = u + u' x

이므로

u + u' x = u/(ln u + 1)

u' x = u/(ln u +1) - u = (u-u ln u -u)/(ln u +1) = -u ln u /(ln u +1)

정리하면

(1/u + 1/uln u) du = -(1/x)dx

적분하면

ln|u| + ln ln u = - ln x +c

정리하면

u ln u = Ce^-x

이고

y (lny - ln x) = Cx e^-x

초기조건 y(1) = e 를 대입하면

e(1 - 0) = C*1*e^-1

에서

C = e^2

이제 답은 

y (lny - ln x) = e^2 x e^-x = x e^{-x+2}

참고  http://cafe.naver.com/engmath/1393