[8-나수학♡ ]6. 닮은도형 (2)삼각형의 닮음조건

[[리마리오♡]]

삼각형의 닮음조건 1 (SSS 닮음)

세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같은 두 삼각형은 닮은 도형이다.



이면, 즉 이면 ∽

◀◀ 보기

(1)	다음 그림과 같은 두 와 는 서로 닮은 도형이다. 이 때, 의 길이는 6cm이다.

(2)	다음 두 삼각형은 세 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 각각 같으므로 서로 닮은 도형이다.

(3)	다음 그림과 같은 두 와 는 서로 닮은 도형이다. 이 때 이다.

(4)	다음 그림과 같은 두 삼각형 ABC와 은 닮은 도형이다. 이 때 이다.

(5)	다음 그림에서 ∽ 이다. 이 때, 이다.

삼각형의 닮음조건 2 (SAS 닮음)

두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때, 두 삼각형은 서로 닮은 도형이다.



이면, 즉 이면 ∽

◀◀ 보기

(1)	다음 두 삼각형은 두 쌍의 대응하는 변의 길이의 비가 같고 그 끼인각의 크기가 같으므로 서로 닮은 도형이다.

(2)	다음 그림과 같은 두 와 은 서로 닮은 도형임을 증명하여 보자. 다음 그림과 같이 를 2배로 확대한 도형을 라 하면 ∽ 또 과 에서 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같으므로 (SAS 합동) ∴ ∽

(3)	다음 그림에서 서로 닮음인 것을 찾아보자. 와 에서 ∴ ∽

(4)	다음 그림에서 서로 닮음인 것을 찾아보자. 와 에서 ∴ ∽

삼각형의 닮음조건 3 (AA 닮음)

두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같을 때, 두 삼각형은 서로 닮은 도형이다.



이면 ∽

◀◀ 보기

(1) 다음 그림과 같은 두 와 은 서로 닮은 도형임을 증명하여 보자.


오른쪽 그림과 같이 를 2배로 확대한 도형을 라고 하면
∽



과 에서

즉, 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 각각 같으므로

∴ ∽
(2) 다음 두 삼각형은 두 쌍의 대응하는 각의 크기가 각각 같으므로 닮은 도형이다.


(3) 다음 그림의 두 삼각형 와 에서 를 로 나타내어 보자.



이므로 ∽

(4) 다음 그림에서 이고 일 때, 의 길이를 구하여 보자.


∽ 이므로

(5) 다음 그림에서 의 값을 구하여 보자.


∽ 이므로

◀◀ 참고

삼각형의 합동조건	삼각형의 닮음조건
(1) 세 쌍의 대응변의 길이가 같다.	(1) 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다.
(2) 두 쌍의 대응변의 길이와 그 끼인각의 크기가 같다.	(2) 두 쌍의 대응변의 길이의 비와 그 끼인각의 크기가 같다.
(3) 한 쌍의 대응변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 같다.	(3) 두 쌍의 대응각의 크기가 같다.

직각삼각형의 닮음 1 (닮은 삼각형)

다음 그림과 같이 직각삼각형 ABC의 직각인 꼭지점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 하면
∽ ∽
이다.



이를 증명하여 보자.
와 에서
(공통),
즉 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로
∽ ㉮
와 에서
(공통),
즉 두 쌍의 대응각의 크기가 같으므로
∽ ㉯
㉮, ㉯에서 ∽ ∽

◀◀ 보기

(1) 다음 그림에서 의 크기를 구하여 보자.


∽ 이므로
(2) 다음 그림에서 의 크기를 구하여 보자.


∽ 이므로

(3) 다음 그림에서 의 크기를 구하여 보자.


∽ 이므로

(4) 다음 그림에서 의 크기를 구하여 보자.

∽ 이므로

(5) 다음 그림에서 의 크기를 구하여 보자.


∽ 이므로

직각삼각형의 닮음 2 (변끼리의 관계)

다음 그림과 같이 직각삼각형 ABC의 직각인 꼭지점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 하면 다음이 성립한다.





◀◀ 보기

(1) 다음 그림에서 일 때 의 길이를 구하여 보자.


에서

에서

(2) 다음 그림에서 의 값을 구하여 보자.


이므로

(3) 다음 그림에서 의 값을 구하여 보자.



(4) 다음 그림에서 의 값을 구하여 보자.



(5) 다음 그림에서 의 값을 구하여 보자.

닮은 삼각형에서 변의 길이 구하기

주어진 조건으로부터 두 닮은 삼각형을 찾아낸 후, 닮은 도형의 대응하는 변의 길이의 비가 일정함을 이용하여 변의 길이를 구할 수 있다.

◀◀ 보기

(1) 다음 그림의 에서 의 값을 구하여 보자.


와 에서

는 공통

이므로
∽ (SAS 닮음)
이 때, 닮은 도형에서 대응하는 변의 길이의 비는 일정하고 의 대응변은 이므로

(2) 다음 그림에서 의 값을 구하여 보자.


∽ (AA 닮음)이므로

(3) 다음 그림에서 의 값을 구하여 보자.


와 에서

는 공통
이므로 ∽ (SAS 닮음)

(4) 다음 그림에서 의 값을 구하여 보자.


와 에서

는 공통
이므로 ∽ (SAS 닮음)

삼각형의 내각의 이등분선과 변의 길이

다음 그림과 같이 에서 ∠A의 이등분선과 와의 교점을 D라고 할 때, 다음이 성립한다.





◀◀ 보기

(1) 다음 그림에서 일 때 의 값을 구하여 보자.



(2) 다음 그림에서 일 때, 의 값을 구하여 보자.



(3) 다음 그림에서 는 의 꼭지각의 이등분선이다. 의 값을 구하여 보자.



(4) 다음 그림에서 일 때 의 값을 구하여 보자.



(5) 다음 그림에서 일 때 의 값을 구하여 보자.

삼각형의 외각의 이등분선과 변의 길이

다음 그림와 같이 의 의 외각의 이등분선과 의 연장선과의 교점을 D라고 할 때, 다음이 성립한다.





◀◀ 보기

(1) 다음 그림에서 는 의 외각의 이등분선이다. 의 값을 구하여 보자.



(2) 다음 그림에서 는 의 외각의 이등분선이다. 의 값을 구하여 보자.



(3) 다음 그림에서 는 의 이등분선이다. 일 때, 의 길이를 구하여 보자.



(4) 다음 그림에서 는 의 외각의 이등분선이다. 의 길이를 구하여 보자.



(5) 다음 그림에서 는 의 외각의 이등분선이다. 의 길이를 구하여 보자.