그래도 유식한 말이 필요할 것 같아 다시 그부분찾아서
복사해서 붙였어요. 고로 어미가 오락가락?이네요.ㅋㅋ
사철나무님이야 무슨 뜻인지 잘 아실것같아서요.
수학사랑 홈피에 검색 다면체로 하시면 되는데...
다각형이란?
삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 등등
이런 도형들을 다각형이라고 볼 수 있겠죠.
>왜 다면체일까?
평면다각형의 면으로 둘러싸인 입체도형(立體圖形)을 말한다.
각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 또 각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 볼록한 다면체[凸多面體]를 말한다.
플라톤의 다면체라고도 한다.
>정다면체, 준정다면체가 뭘까?
정다면체에서 그 모서리부분을 자르면 준정다면체가 된다.
각 꼭지점의 모양이 합동이지만 정다면체와 달리 면이 두 개 이상의 정다각형으로 구성되어 있는 다면체를 준정다면체(Semi-regular polyhedron)라고 합니다. 이중에서 볼록한 것으로 아르키메데스의 입체(Archimedean Solid)와 적당한 높이의 각기둥, 엇각기둥(Antiprism)이 있으나, 보통 준정다면체라고 하면 아르키메데스의 입체를 말합니다. 아르키메데스의 입체의 구체적인 모습은 알려지지 않다가 1619년 케플러(Kepler)에 의해서 재발견되었습니다.
즉, 정삼각형과 정사각형으로 이루어진 준정다면체는 Cuboctahedron 육팔면체, 정삼각형과 정육각형으로 이루어진 준정다면체는 Truncated Tetrahedron 잘린 정사면체,... 이런 식으로 준정다면체를 구해나갈 수 있습니다.
또, 이러한 준정다면체는 정다면체를 절단해서도 얻을 수 있는데, 다음은 그 설명입니다.
다섯가지의 정다면체의 꼭지점을 잘라버리면(새로 생기는 면이 정다각형이 되도록 잘라야겠지요)
Truncated Tetrahedron 잘린 정사면체
Truncated Cube 잘린 정육면체
Truncated Octahedron 잘린 정팔면체
Truncated Dodecahedron 잘린 정십이면체
Truncated Icosahedron 잘린 정이십면체(축구공 모양)
이 생깁니다.
정육면체 또는 정팔면체의 모서리의 중점을 자르면 똑 같은 모양이 생기는데, 이 때 생기는 준정다면체는 Cuboctahedron 육팔면체 라고 부르고, 정십이면체 또는 정이십면체의 모서리의 중점을 잘랐을 때 생기는 준정다면체는 Icosidodecahedron 십이이십면체 라고 부릅니다.
또, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체를 꼭지점을 한 번 자르고 모서리를 또 한 번 자르면 이중절단된 준정다면체가 생깁니다.
정육면체, 정십이면체의 면을 떼어 놓고 그 사이에 정삼각형을 채워넣는 방법으로 만들어지는 준정다면체는 Snub Cube, Snub Dodecahedron 이라고 합니다.
준정다면체는 이렇게 13가지가 있습니다.
>다면체와 회전체가 다른 점은?
(회전체 설명시 종이로 삼각형 사각형 회전시키면서 설명해주었어요)
이와 같은 여러 입체도형은 크게 다면체와 회전체 2종류로 나눌 수 있다.
말 그대로 다면체란 여러 개의 면으로 이루어진 입체도형인데 각종 상자, 건물, 사무용 책상, 피라미드 건축물 등이 다면체에 속한다고 볼 수 있다. 반면 회전체는 한 축을 중심으로 평면도형을 한바퀴 회전시켜 만들 수 있으므로 곡면을 가지고 있으며 각종 그릇들, 원뿔이나 도우넛 모양의 물건, 절이나 신전의 원기둥 등이 여기에 속한다.
>정다면테를 자르면 어떤 모양이 될까?
준 정다면체가 된다는거 아시죠.
정다면체와 준정다면체를 연관시켜 보여주세요.
>깎은 준정다면체와 부불린 준정다면체의 차이점은?
정다면체를 깎으면 준정다면체가 되는것이고
깎은 준정다면체에 바람을 넣으면 부불린 준정다면체가 되는거지요.
부불린 준정다면체는 점점 구에 가까워지겠죠.
>축구공과 정이십면체의 관계는?
축구공은 구처럼 보이지만 사실 정오각형과 정육각형의 가죽을 이어 붙인 것이다.
바람을 넣어 부풀리지 않았다면 이것은 분명히 '다면체'였을 것이다.
면이 두 가지의 다각형으로 이루어졌기 때문에 정다면체는 아니다.
그렇다면 축구공은 어떻게 만들어진 것일까.
정답은 "정이십면체로부터 만들 수 있다"이다.
모든 면이 정삼각형만으로 이루어진 정이십면체로부터 정오각형과 정육각형 면을 가진 축구공이 어떻게 만들어질까. 만드는 과정은 매우 간단하다. 정이십면체의 각 모서리를 삼등분하고, 각 꼭지점을 중심으로 잘라내자. 그러면 각 꼭지점에는 5개의 면이 모이므로 꼭지점의 개수만큼 12개의 정오각형 면이 새로 생기고, 원래의 20개의 정삼각형 면은 정육각형이 된다. 이것이 바로 꼭지점이 60개이고 모서리가 90개인 '끝이 잘린 정이십면체'다. 가죽으로 이런 다면체를 만들고 바람을 넣으면 축구공이 만들어진다.
>생활속에서의 다면체는?
우리는 주변에서 많은 입체도형을 보고, 사용하면서 살고 있다.
원기둥 모양의 컵에 물을 담아 먹고, 직육면체 모양의 상자에 물건을 넣어 선물하고, 원뿔 모양의 아이스크림 콘을 먹으며, 직육면체 모양의 침대에 누워, 직육면체 모양의 방에서 잠을 잔다. (이거 은물 할때 많이 한거 맞죠?^^) 이거 초등1학년에 나오는거 아시죠.
축구공과 같은 원리를 보여주는 것이 건축물의 돔형식이라 볼 수 있다.
오일러공식이 나오는 규칙을 발견할 때
도움이 되었으면 좋겠네요.^^
1학년 교과서에는 다음과 같은 공식이 있다.
오일러 공식 : 구와 연결상태가 같은 다면체에서 꼭지점, 모서리, 면의 개수를 각각 라 하면 이다.
정리 : 정다면체의 종류는 5가지 뿐이다.
<증명> S를 꼭지점의 개수가 , 모서리가 , 변의 개수가 인 정다면체라고 하자. 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수를 이라 하고, 각 면의 변이 개수를 이라고 하면 이다. ( 당연하죠? ) 따라서 모서리의 개수를 생각하면
……㉠
이 때 오일러 공식 ……㉡을 이용하면, ㉠에서
……㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
∴ ……㉣
이므로
∴
이므로
∴
은 자연수이므로
……㉤
그러나 는 될 수 없다.
일 때 ㉣에서
∴
이면
이면
이면
이면 의 값은 없다.
따라서 의 값으로서
(3,3,4)……㉥, (3,4,6)……㉦, (3,5,12)……㉧
을 얻는다.
일 때 ㉣에서
, ∴
이면
이면 는 없다.
따라서 의 값으로서 (4,3,8)……㉨을 얻는다.
일 때 ㉣에서
, ∴
이면
이면 는 없다.
따라서 의 값으로서 (5,3,20)……㉩을 얻는다.
따라서 정다면체는 ㉥, ㉦, ㉧, ㉨, ㉩의 5가지뿐이다.
2002-01-27(22:28:55)
복사해서 붙였어요. 고로 어미가 오락가락?이네요.ㅋㅋ
사철나무님이야 무슨 뜻인지 잘 아실것같아서요.
수학사랑 홈피에 검색 다면체로 하시면 되는데...
다각형이란?
삼각형, 사각형, 오각형, 육각형 등등
이런 도형들을 다각형이라고 볼 수 있겠죠.
>왜 다면체일까?
평면다각형의 면으로 둘러싸인 입체도형(立體圖形)을 말한다.
각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 또 각 꼭지점에 모이는 면의 개수가 같은 볼록한 다면체[凸多面體]를 말한다.
플라톤의 다면체라고도 한다.
>정다면체, 준정다면체가 뭘까?
정다면체에서 그 모서리부분을 자르면 준정다면체가 된다.
각 꼭지점의 모양이 합동이지만 정다면체와 달리 면이 두 개 이상의 정다각형으로 구성되어 있는 다면체를 준정다면체(Semi-regular polyhedron)라고 합니다. 이중에서 볼록한 것으로 아르키메데스의 입체(Archimedean Solid)와 적당한 높이의 각기둥, 엇각기둥(Antiprism)이 있으나, 보통 준정다면체라고 하면 아르키메데스의 입체를 말합니다. 아르키메데스의 입체의 구체적인 모습은 알려지지 않다가 1619년 케플러(Kepler)에 의해서 재발견되었습니다.
즉, 정삼각형과 정사각형으로 이루어진 준정다면체는 Cuboctahedron 육팔면체, 정삼각형과 정육각형으로 이루어진 준정다면체는 Truncated Tetrahedron 잘린 정사면체,... 이런 식으로 준정다면체를 구해나갈 수 있습니다.
또, 이러한 준정다면체는 정다면체를 절단해서도 얻을 수 있는데, 다음은 그 설명입니다.
다섯가지의 정다면체의 꼭지점을 잘라버리면(새로 생기는 면이 정다각형이 되도록 잘라야겠지요)
Truncated Tetrahedron 잘린 정사면체
Truncated Cube 잘린 정육면체
Truncated Octahedron 잘린 정팔면체
Truncated Dodecahedron 잘린 정십이면체
Truncated Icosahedron 잘린 정이십면체(축구공 모양)
이 생깁니다.
정육면체 또는 정팔면체의 모서리의 중점을 자르면 똑 같은 모양이 생기는데, 이 때 생기는 준정다면체는 Cuboctahedron 육팔면체 라고 부르고, 정십이면체 또는 정이십면체의 모서리의 중점을 잘랐을 때 생기는 준정다면체는 Icosidodecahedron 십이이십면체 라고 부릅니다.
또, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체를 꼭지점을 한 번 자르고 모서리를 또 한 번 자르면 이중절단된 준정다면체가 생깁니다.
정육면체, 정십이면체의 면을 떼어 놓고 그 사이에 정삼각형을 채워넣는 방법으로 만들어지는 준정다면체는 Snub Cube, Snub Dodecahedron 이라고 합니다.
준정다면체는 이렇게 13가지가 있습니다.
>다면체와 회전체가 다른 점은?
(회전체 설명시 종이로 삼각형 사각형 회전시키면서 설명해주었어요)
이와 같은 여러 입체도형은 크게 다면체와 회전체 2종류로 나눌 수 있다.
말 그대로 다면체란 여러 개의 면으로 이루어진 입체도형인데 각종 상자, 건물, 사무용 책상, 피라미드 건축물 등이 다면체에 속한다고 볼 수 있다. 반면 회전체는 한 축을 중심으로 평면도형을 한바퀴 회전시켜 만들 수 있으므로 곡면을 가지고 있으며 각종 그릇들, 원뿔이나 도우넛 모양의 물건, 절이나 신전의 원기둥 등이 여기에 속한다.
>정다면테를 자르면 어떤 모양이 될까?
준 정다면체가 된다는거 아시죠.
정다면체와 준정다면체를 연관시켜 보여주세요.
>깎은 준정다면체와 부불린 준정다면체의 차이점은?
정다면체를 깎으면 준정다면체가 되는것이고
깎은 준정다면체에 바람을 넣으면 부불린 준정다면체가 되는거지요.
부불린 준정다면체는 점점 구에 가까워지겠죠.
>축구공과 정이십면체의 관계는?
축구공은 구처럼 보이지만 사실 정오각형과 정육각형의 가죽을 이어 붙인 것이다.
바람을 넣어 부풀리지 않았다면 이것은 분명히 '다면체'였을 것이다.
면이 두 가지의 다각형으로 이루어졌기 때문에 정다면체는 아니다.
그렇다면 축구공은 어떻게 만들어진 것일까.
정답은 "정이십면체로부터 만들 수 있다"이다.
모든 면이 정삼각형만으로 이루어진 정이십면체로부터 정오각형과 정육각형 면을 가진 축구공이 어떻게 만들어질까. 만드는 과정은 매우 간단하다. 정이십면체의 각 모서리를 삼등분하고, 각 꼭지점을 중심으로 잘라내자. 그러면 각 꼭지점에는 5개의 면이 모이므로 꼭지점의 개수만큼 12개의 정오각형 면이 새로 생기고, 원래의 20개의 정삼각형 면은 정육각형이 된다. 이것이 바로 꼭지점이 60개이고 모서리가 90개인 '끝이 잘린 정이십면체'다. 가죽으로 이런 다면체를 만들고 바람을 넣으면 축구공이 만들어진다.
>생활속에서의 다면체는?
우리는 주변에서 많은 입체도형을 보고, 사용하면서 살고 있다.
원기둥 모양의 컵에 물을 담아 먹고, 직육면체 모양의 상자에 물건을 넣어 선물하고, 원뿔 모양의 아이스크림 콘을 먹으며, 직육면체 모양의 침대에 누워, 직육면체 모양의 방에서 잠을 잔다. (이거 은물 할때 많이 한거 맞죠?^^) 이거 초등1학년에 나오는거 아시죠.
축구공과 같은 원리를 보여주는 것이 건축물의 돔형식이라 볼 수 있다.
오일러공식이 나오는 규칙을 발견할 때
도움이 되었으면 좋겠네요.^^
1학년 교과서에는 다음과 같은 공식이 있다.
오일러 공식 : 구와 연결상태가 같은 다면체에서 꼭지점, 모서리, 면의 개수를 각각 라 하면 이다.
정리 : 정다면체의 종류는 5가지 뿐이다.
<증명> S를 꼭지점의 개수가 , 모서리가 , 변의 개수가 인 정다면체라고 하자. 각 꼭지점에서 만나는 면의 개수를 이라 하고, 각 면의 변이 개수를 이라고 하면 이다. ( 당연하죠? ) 따라서 모서리의 개수를 생각하면
……㉠
이 때 오일러 공식 ……㉡을 이용하면, ㉠에서
……㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
∴ ……㉣
이므로
∴
이므로
∴
은 자연수이므로
……㉤
그러나 는 될 수 없다.
일 때 ㉣에서
∴
이면
이면
이면
이면 의 값은 없다.
따라서 의 값으로서
(3,3,4)……㉥, (3,4,6)……㉦, (3,5,12)……㉧
을 얻는다.
일 때 ㉣에서
, ∴
이면
이면 는 없다.
따라서 의 값으로서 (4,3,8)……㉨을 얻는다.
일 때 ㉣에서
, ∴
이면
이면 는 없다.
따라서 의 값으로서 (5,3,20)……㉩을 얻는다.
따라서 정다면체는 ㉥, ㉦, ㉧, ㉨, ㉩의 5가지뿐이다.
2002-01-27(22:28:55)
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