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재후의 역과학

부분합(∑)과 부분곱(∏) 의 결합에 대하여

작성자재후|작성시간20.09.23|조회수628 목록 댓글 0

[ 대한민국 공군 특수비행팀 블랙이글 - 2019 서울 에어쇼 ]

부분합(∑)과 부분곱(∏) 의 결합에 대하여

자연수 s에 대하여,

다음이 성립합니다.

$\sum _{k=1}^{n} \prod_{r=0}^{s-1} \left ( k+r \right ) = \frac{1}{s+1} \prod_{r=0}^{s} (n+r)$

매우 멋진 공식입니다.

위의 공식을 이용한

몇 가지 사례는

다음과 같습니다.

$\\ s=1, \\\\ \sum _{k=1}^{n} k = \frac{1}{2} n(n+1)$

양변에 n=2를 대입하면

1 + 2 = 3

$\\ s=2, \\\\ \sum _{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2)$

양변에 n=3을 대입하면

1×2 + 2×3 + 3×4 = 4×5

또한

$\\ \sum _{k=1}^{n} k(k+1)= \frac{1}{3} n(n+1)(n+2) \\\\ \sum _{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2) - \sum _{k=1}^{n} k \\\\ \sum _{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{3} n(n+1)(n+2) - \frac{1}{2} n(n+1)$

$\\ s=3, \\\\ \sum _{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3)$

따라서

$\\ \sum _{k=1}^{n} k^3 = \frac{1}{4} n(n+1)(n+2)(n+3) - 3\sum _{k=1}^{n} k^2 - 2\sum _{k=1}^{n} k$

$\\ s=4: \\\\ \sum _{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3) = \frac{1}{5} n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$

양변에 n = 5를 대입하면

다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

	1	×	2	×	3	×	4
+	2	×	3	×	4	×	5
+	3	×	4	×	5	×	6
+	4	×	5	×	6	×	7
+	5	×	6	×	7	×	8
=	6	×	7	×	8	×	9

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