x3 + y3 = z3 ???
페르마 튜플은 존재하지 않는다
만약 x3 + y3 = z3을 만족하는
자연수 쌍
즉
페르마 튜플 (x, y, z)가 존재한다면
위의 식은 다음과 같이 곱의 꼴로 변환할 수 있습니다.
v·w·(v+w+6k) = 9k3
이때 페르마 튜플은 다음과 같습니다.
(x, y, z) = (v+3k, w+3k, v+w+3k)
실제로... x3 + y3 = z3에 (x, y, z) = (v+3k, w+3k, v+w+3k)를 대입하고 정리하면 다음 식이 얻어집니다. v·w·(v+w+6k) = 9k3
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그런데...
만약 x03 + y03 = z03라면
(mx0)3 + (my0)3 = (mz0)3
또한 성립합니다.
이것을
(x, y, z) = (v+3k, w+3k, v+w+3k) 및
다음 식을 이용하여
다른 관점에서 심도있게 접근할 수 있습니다.
v·w·(v+w+6k) = 9k3
만약
k=d일 때 해가 존재한다면,
즉
v·w·(v+w+6d) = 9d3
(x, y, z) = (v+3d, w+3d, v+w+3d) 라면
m배의 해에 대해 생각해보겠습니다.
(x', y', z') = m·(x, y, z)
(x', y', z') = m·(v+3d, w+3d, v+w+3d)
(x', y', z') = (mv+3·md, mw+3·md, mv+mw+3·md)
v 대신 mv, w 대신 mw, d 대신 md를 대입한 셈인데...
v·w·(v+w+6d) = 9d3에 대입해보면
mv·mw·(mv+mw+6·md) = 9(md)3
아무런 문제가 없음을 알 수 있습니다.
즉
k=d일 때 해가 존재한다면
그 해의 m배가
k=md일 때 나타나는 것입니다.
역으로...
k=md일 때 해 (x', y', z')가 존재한다면
v'·w'·(v'+w'+6md) = 9(md)3
(x', y', z') = (v'+3md, w'+3md, v'+w'+3md) 이고
v'=mv, w'=mw로 택해주면
mv·mw·(mv+mw+6·md) = 9(md)3
v·w·(v+w+6·d) = 9d3
즉
해 (x, y, z) = (v+2d, w+2d, v+w+2d)를 얻게 됩니다.
(x', y', z') = (v'+3md, w'+3md, v'+w'+3md)
(x', y', z') = (mv+3md, mw+3md, mv+mw+3md)
(x', y', z') = m(v+3d, w+3d, v+w+3d)
(x', y', z') = m(x, y, z)
즉
k=md일 때 해 (x', y', z')가 존재한다면
(x', y', z') = m·(x, y, z)를 만족하는
k=d일 때의 해 (x, y, z)도 존재해야 합니다.
k=1일 때
해가 존재한다면
모순 발생
x3 + y3 = z3 (x, y, z) = (v+3k, w+3k, v+w+3k) v·w·(v+w+6k) = 9k3
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만약
k=2일 때 해가 존재한다면
k=2×1 이므로
반드시 k=1일 때 해의 2배인 해를 가져야만 합니다.
k=3일 때 해가 존재한다면
k=3×1 이므로
반드시 k=1일 때 해의 3배인 해를 가져야만 합니다.
일반적으로
k=m일 때 해가 존재한다면
k=m×1 이므로
k=1일 때 해의 m배인 해를 가져야만 합니다.
그런데...
k=1일 때 해가 존재한다면
모순이 발생합니다.
만약
k=1일 때 해가 존재한다면...
v·w·(v+w+6k) = 9k3
v·w·(v+w+6) = 9
우변이 홀수 9이므로
좌변의 인수
v, w, v+w+6는 모두 홀수이어야만 합니다.
(홀수는 홀수의 곱으로만 분해될 것입니다.)
v = 홀수, w=홀수, v+w+6=홀수
하지만...
'(v+w)+6=홀수'에서
'(홀수 + 홀수) + 짝수=홀수'
'짝수 + 짝수 = 홀수'
즉
'짝수=홀수'라는
모순이 발생합니다.
즉
k=1일 때
v·w·(v+w+6) = 9를 만족하는
자연수 v, w는 존재하지 않습니다.
즉
k=1일 때
해는 존재하지 않습니다.
따라서
일반적으로
k=n일 때도
해는 존재하지 않습니다.
즉
x3 + y3 = z3
혹은
v·w·(v+w+6k) = 9k3는
해가 존재하지 않습니다.