분수식과 행렬

작성자재후|작성시간20.08.07|조회수1,589 목록 댓글 1

분수식과 행렬

[ 모든 날, 모든 순간 - 폴킴(Paul Kim) ]

분수식과 행렬을

연관지을 수 있는 것으로 알려져 있습니다.

다음과 같은 분수함수 f(x), g(x)에 대하여

합성함수 f(g(x))를 생각할 수 있습니다.

$\\ f(x)=\frac{cx+d}{ax+b} \\ \\ \\ g(x)=\frac{rx+s}{px+q} \\ \\ \\ f(g(x)) = \frac{cg(x)+d}{ag(x)+b} = \frac{c(\frac{rx+s}{px+q})+d}{a(\frac{rx+s}{px+q})+b} = \frac{c(rx+s) + d(px+q)}{a(rx+s) + b(px+q)} = \frac{(cr+dp)x+(cs+dq) }{(ar+bp)x + (as+bq)}$

그런데

분수식을 다음과 같이 행렬로 대응시켜본다면...

$\\ f(x)=\frac{cx+d}{ax+b} = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix}=A$

$\\ g(x)=\frac{rx+s}{px+q} = \begin{pmatrix} r & s \\ p & q \end{pmatrix}=B$

그러면

다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

$\\ \\ f(g(x)) = \frac{(cr+dp)x+(cs+dq) }{(ar+bp)x + (as+bq)} = \begin{pmatrix} cr+dp & cs+dq \\ ar+bp & as+bq \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r & s \\ p & q \end{pmatrix} \\ \\ \therefore f(g(x)) = AB$

물론

∴ g(f(x)) = BA

위와 같이

분수식의 합성을 하고자 한다면

혹은

분수식에 분수식을 대입하고자 한다면

행렬의 곱으로 전환해서 계산해도 된다는 것입니다.

그런데 사용된 변수가 x임을 명시하기 위해

다음과 같이 표기해주는 것도 좋을 듯 합니다.

∴ g(f(x)) = BA_x

그러면

행렬의 곱을 모두 계산한 후

변수 x를 동원하여

행렬을 분수식으로 바꿀 수 있게 됩니다.

분수식과 행렬

그리고 나눗셈

다음과 같은 응용을 생각할 수 있습니다.

$\\ \\\therefore\frac{cx+d}{ax+b} = {\begin{pmatrix}c&d\\a&b\end{pmatrix}}_{x}\\\\\\\therefore2x+3=\frac{2x+3}{0x+1}={\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}}_{x}\\\\\\\therefore\frac{16x+29}{3}=\frac{(3\times5+1)x+(3\times9+2)}{3}=5x+9+\frac{x+2}{3}\\\\=\frac{5x+9}{0x+1}+\frac{x+2}{0x+3}={\begin{pmatrix}5&9\\0&1\end{pmatrix}}_{x}+{\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}_{x}$

즉

$\\ \\\therefore\frac{bx+c}{a}=\frac{(a\times\left [ b \right ]^a+\left [ b \right ]_a)x+(a\times\left [ c \right ]^a+\left [ c \right ]_a)}{a}=\left [ b \right ]^{a} x + \left [ c \right ]^{a} + \frac{\left [ b \right ]_{a} x+\left [ c \right ]_a}{a}\\\\={\begin{pmatrix}\left [ b \right ]^{a}&\left [ c \right ]^{a}\\0&1\end{pmatrix}}_{x}+{\begin{pmatrix}\left [ b \right ]_{a}&\left [ c \right ]_{a}\\0&a\end{pmatrix}}_{x} \\\\\\\\ \therefore {\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}}_{x}= {\begin{pmatrix}\left [ b \right ]^{a}&\left [ c \right ]^{a}\\0&1\end{pmatrix}}_{x}+{\begin{pmatrix}\left [ b \right ]_{a}&\left [ c \right ]_{a}\\0&a\end{pmatrix}}_{x}$

혹은

$\\ \therefore {\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}}_{x}= (\left [ b \right ]^{a}x+\left [ c \right ]^{a})+{\begin{pmatrix}\left [ b \right ]_{a}&\left [ c \right ]_{a}\\0&a\end{pmatrix}}_{x}$

위와 같은 계산이 필요한 경우는

분자에 있는 b 혹은 c의 절대값이

분모에 있는 a의 절대값보다 큰 경우입니다.

새로운 변수 도입

또한 새로운 변수 t를 도입한 후

변환의 관점에서 살펴 보면,

$\\ \\ \frac{bx+c}{a}=\frac{bx+c}{0x+a}={\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}}_{x} \quad , \quad t= \frac{1t+0}{0t+1}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}_{t}=I_{t} \\\\\\\\ \therefore\frac{bx+c}{a}=t \quad , \quad \begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}_{x} = t \\\\ bx+c = at \\\\ bx = at-c \\\\ \therefore x=\frac{at-c}{b} = {\begin{pmatrix}a&-c\\0&b\end{pmatrix}}_{t}$

즉

다음과 같이...

a와 b의 위치를 바꾸고

c 대신 -c를 대입하면 됨을 알 수 있습니다.

$\\ \therefore \quad \begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}_{x} = t \quad \Leftrightarrow \quad x={\begin{pmatrix}a&-c\\0&b\end{pmatrix}}_{t}$

나눗셈과 변수 도입에 의한 콤비네이션

위에서 알아본

다음 두 식을 적절히 사용하여

이원일차부정방정식을 구하는 과정에서

분수식 대신 행렬을 사용할 수 있을 것으로 생각됩니다.

$\\ \therefore \quad {\begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}}_{x}= (\left [ b \right ]^{a}x+\left [ c \right ]^{a})+{\begin{pmatrix}\left [ b \right ]_{a}&\left [ c \right ]_{a}\\0&a\end{pmatrix}}_{x}$

$\\ \therefore \quad \begin{pmatrix}b&c\\0&a\end{pmatrix}_{x} = t \quad \Leftrightarrow \quad x={\begin{pmatrix}a&-c\\0&b\end{pmatrix}}_{t}$

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작성자재후 작성자 본인 여부 작성자 | 작성시간 20.08.08 사용된 LaTeX :

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