x=2tanθ로 치환하여 적분한다는 것은
x-y평면에서의 적분을
θ-y평면에서의 적분으로 바꾸어 풀겠다는 뜻인데요.
이 때
x-y평면에서의 직사각형 하나가
θ-y평면에서도 직사각형 하나가 되어야지
여기에서 있던 직사각형이 저쪽으로 넘어갔더니
없어졌다거나 두 개로 늘어나 있다면
적절하게 바꿔치기 한 결과라 보기 어렵습니다.
다시 말해 두 변수 x와 θ사이에는 일대일대응관계가 성립해야합니다.
x=2tanθ가 일대일대응이 되도록 해주는 가장 좋은 방법은
탄젠트 함수의 정의역을 (-π/2, π/2)로 제한해주는 것입니다.
정의역을 (π/2, 3π/2)로 제한해도 x=2tanθ는 일대일대응이 되고,
정신 똑바로 차리고 계산하면 옳은 답 나와요.
다만 굳이 특별한 메리트가 없다면
우리가 가장 자주 다루고 익숙한 (-π/2, π/2)로 정의역을 제한하는 것이 좋겠죠.
아래에 첨부한 아크탄젠트(역 탄젠트)의 그래프 또한
(-π/2, π/2)로 범위를 제한하는 것이 자연스럽다는 것을 암시하는 한 증거입니다.
다음검색