수학에서의 실재론 -2
Realism in Mathematics
2. 인식(perception)
문제는 인과적으로 상호작용하는 것과 인식되는 것 사이의 gap을 연결하는 것은 무엇인가라는 것이고, 바라는 것은 물리적 대상 지각의 경우에 연결하는 것과 같은 어떤 것이 집합 인식의 경우에서 동일한 일(job)을 하는 것으로 보일 수 있다는 것이다.77)78)79)
우리가 여기서 원하는 것은 환영들을 배제하는 강한 의미의 ‘지각들’(perceives)이다. : 이런 의미에서 지각된 것은 실재로 거기에 있다. 그러나 그것이 전부는 아니다. 우리는 또한 예를 들어 자전거를 타고 있는 사람은 만약 벌레(bug)들이 그가 그것들을 구별해내기에는 너무나 완벽하게 주변환경과 섞여있다면 잎사귀에 서식하는 벌레들을 인식하지 않는다고도 주장한다. 그러한 경우에 비록 벌레로부터의 빛이 자전거타는 사람의 망막(retina)에 하나의 패턴을 등록시킨다해도, 그는 그것에 대한 믿음들을 가지지 않는다. 그러나 그가 인식하기 위해 믿음을 얻는다고 , 혹은 시각적으로 믿음들을 얻는다고 주장하는 것도 충분하지 않은데, 왜냐하면 시각적으로라도 벌레에 관한 지각적 믿음들로 분명하게 간주되지 않는 믿음을 얻는 것이 가능하기 때문이다. ; 그는 예를 들어 하나의 기호를 읽음으로써 수풀 위에 있는 Ceylonese 잎 곤충이 있다고 믿게될 수 있다. 이 믿음은 수풀 위에 Ceylonese 잎 곤충이 있다는 지각적 믿음이 아닌데, 왜냐하면 그것은 자전거를 타는 사람이 (현상학적이거나 비비유적인 의미에서) 수풀위에 벌레가 있는 것처럼 보는 것을 포함하지 않기 때문이다. 지각에 대해 우리는 지각하는 자가 적절한 지각적 믿음들을 획득할 것을 요구한다.
그러나 이것도 역시 충분하지 않다. 게티어(Gettier)의 예와 유비되는 하나의 예를 살펴보자. : illusionist가 거울(mirror)의 한 체계를 배열하여 그것이 스티브에게 그의 앞에 나무 한 그루가 있는 것처럼 보이게 하려고 한다. 스티브가 보고 있는 이미지의 실재 원천이 그의 뒤에 있는 나무라고 가정하자. 마지막으로 나무가 숨겨져 있다고 해도 그가 환영을 보고 있는 곳에 실재로 그의 앞에 나무가 있다고 가정하자. 여기서 스티브는 참된 지각적 믿음을 획득했지만-내 앞에 나무가 있다-, 나무의 인과적 기원(genesis)이 기능(faculty)이기 때문에 그의 앞에 나무가 있다는 지각으로 간주되지 않는다. 분명히 우리는 그 믿음을 참으로 만드는 것이 무엇이든 간에-이 경우에 스티브의 앞에 있는 나무- 그것은 어떤 적절한 방식으로 그의 믿음의 원인이라고(responsible for)라고 주장해야만 한다. Paul Grice의 해결책은 지각된 사물이 나의 손이 내가 그것을 좋은 조명 속에서 바라볼 때 나의 앞에 있다는 나의 믿음을 산출하는데 하는 역할과 같은 종류의 역할을 인식자의 인식적 상태의 인과작용(causation)을 해야 한다고 주장하는 것이다.80)81)
지각적 믿음의 내용이 매우 풍부하고 다양하다는 것에 주의하라. 스티브에게 있어 그의 앞에 나무가 있다는 지각적 믿음을 획득하기 위해, 그는 나무가 매우 크다, 매우 멀리 떨어져 있다, 잎사귀속에 묻혀있다, 바람에 흔들리고 있다, 등등과 같은 경우들에 의존하면서 다른 지각적 믿음들의 큰 다양성도 얻어야만 한다.82) 그러한 믿음들은 비지칭적이고,83)84)
일반적으로 믿음들은 심리학적 상태들이다. 나는 한 사람의 행태(behaviour)가 그 사람의 실리적 상태에 관한 우리의 가설에 훌륭한 증거를 제사한다고 가정한다. 내가 몇몇 철학자들이 주장하는 것처럼 어떤 심리적 상태에 존재한다는 것은 단순히 어떤 방식으로 행위한다(혹은 행위하려는 경향이 있다, being disposed to behave)는 것으로 주장할만큼 멀리 나아가지 않을 지라도 말이다. 만약 행태주의적 입장이 잘못된 것이면, 행태적 증거는 결정적이지(conclusive)않지만, 그것은 여전히 활용하기에 가장 좋다. 종종 한 사람이 주어진 심리적 상태에 있다는 주장을 위한 혹은 그에 반대하는 자기반성적(introspective)인 증거가 있을 수도 있고, 만약 심리적 상태와 뇌의 상태 사이에 (반드시 동일성은 아니지만) 대응이 있다면-내가 가정하는 것처럼-, neurophysiological evidence 또한 적절할 것이다.(relevant)85)
이제 우리 앞에 있는 의문은 이것이다. : 우리는 어떻게 물리적 대상들을 지각하는가? 하나의 개념을 가진다는 것이 어떤 종류(sort)의 믿음들에 대한 능력을 가진다는 것이라고 가정하면서86)
형태와 배경 사이의 원초적인 구분을 지각하는 능력은 인간과 많은 실험용(laboratory) 동물들에게서 타고나는 것이라는 중요한 실험적 증거가 있다.87)
수용적인(receptive) 장보다 작은 어두운 대상이 그 장으로 들어가 멈추어 그이후로부터 간헐적으로움직일 때 최고로(best) 반응한다. 그 반응은 빛이 변화하는 것에 혹은 배경(잔디와 꽃밭의 그림)이 움직이고 있는 것에 영향을 받지 않는다. 그리고 그 장에는 배경, 움직임이나 정지가 있는 것만은 아니다. 접근가능한 벌레를 인지하기(detecting) 위한 하나의 체계를 설명하는 더 나은 것이 가능한가? (Lettvin et al.(1959), 254)
기대할 수 있는 것처럼, 연구자들은 이들 섬유조직들을 ‘bug-detectors’로 생각하게 된다. 그리고 개구리의 행태는 확실히 이 매카니즘이 그것으로 하여금 벌레들 주변에(nearby) 관한 지각적 믿음들을 획득할 수 있도록 한다는 것을 제시한다. 유사한 인간의 매카니즘들은 아마도 형태와 배경에 관한 지각적 믿음들의, 그리고 아마도 거리와 크기에 관한 어떤 것의 원인일 것이다.88)
그러나 이것을 넘어서는 매우 단순한데, 그 증거는 유사한 종류(sort)에 대한 지각적 믿음들을 획득하는 능력은 처음부터 있지는(present at birth) 않았다는 것을 나타낸다.89)
(다음의 타고난(congenital) 성격에 대해 작동 뒤에 따라나오는 시각의) 연구자들은 사각형, 원, 혹은 삼각형 혹은 사면체나 입방체(cube)의 지각이 매우 빈약하다는 보고에 대해 적대적이지 않다. 이것들 중 하나를 직접적으로 분명한 특유한(distinctive)특성들을 가진 전체적인 대상으로 보는 것은 긴 기간에 대해서는 가능하지 않다. 가장 똑똑하고 가장 잘 동기화된 환자는 원으로부터 삼각형을 구별하기 위해 고통스럽게 모서리들을 찾아야 한다. ... 한 환자는 13일 동안 삼각형으로부터 사각형을 구분하도록 훈련되었다. 그리고 이 시기동안 거의 매운 것이 없어 ‘하나씩 모서리들을 세지않고는 그것들의 형태를 보고할 수 없었다. ... 그리고 아직도 인식과정(recognition process)은 이미 자동적이 되는 출발점이었고, 그래서 미래의 어느때 ’사각형‘이라는 판단은 단순한 시각(vision)과 함께 주어질 것이다. 이것은 그런후 쉽게 그 형태가 항상 동시적으로 주어졌다는 믿음으로 귀결될 것이다. (Hebb(1949), 28, 32)
유사한 결과들이 침팬지로부터도 얻어졌다.
삼각형을 사각형보다 또 다른 삼각형과 더 닮은 것으로 보는 능력만큼 단순한 능력이 중요한 감각적 경험의 산물이라면, 일련의 상이한 패턴들을 한 사물의 측면들로--즉 하나의 물리적 대상에 대한 관점들의 시퀀스로서 보는 재능(talent)만큼 복잡한 재능은 날때부터 주어진 것이 아니다. 이 기대는 쟝 피아제와 그의 동료들의 실험들에 의해 구체화된다. (substantiated)90)
아이의 행태는 대상들에 집중하기 시작한다. ; 그러나 그에게는 객관적인 실재가 없다 -일반적인 공간이나 시간, 대상들의 항속성(permanence)이 없다. 사건들-즉 아이 스스로의 기능(functioning)의 구성요소들-만이 있다. 그의 시각 장에서의 대상이 사라질때, 그것은 더이상 존재하지 않는다. (Phillips(1975), 28)
몇달 후에 대상들은 일종의 항속성을 향유하기 시작한다. :
아이 자신의 행위들에 의존하는 대상 실재(object reality)로부터 환경(surround)에 의존하는 대상 실재로의 개념화 작용(conceptualization)에서의 변화가 있다. 그 결과는 일종의 ‘context-bound object permanence’이다. (Phillips(1975), 38)
이 단계에서 그 대상은 특정한 장소와 결합된다. ; 그 아이는 그것이 새로운 위치(location)에서 분명하게 숨겨져 있을 때조차도 그것을 발견할 것을 기대한다. 유사하게 우리는 다음을 발견한다.
유아는 움직이는 대상이 그것이 멈추었을(stationary) 때 동일한 대상이라는 것을 깨닫지 못한다. ... [혹은] 움직이기 시작한 멈춘 대상(stationary object)이 그것이 움직이기 시작한 이후에도 여전히 동일한 대상이라는 것을 깨닫지 못한다. (Bower(1982), 206)91)
그것의 위치, 궤도(trajectory)에 덧붙여 크기, 모양, 색깔과 같은 특질들에 의해 대상을 구분하는 능력은 공통적인 경계와 단계적으로(stepwise) 행태의 관찰에서의 개선을 공유하는 대상들을 구분하는 능력을 뒤따라 나오는 주요한 발전이다. 발달 기간의 끝부분에서 아이는 독립적을 존재하는 물리적 대상들에 대한 우리의 친숙한 개념을 소유하고, 그것들에 대한 지각적인 믿음들을 충분히 획득할 수 있다.
그런 후 증거가 제시하는 것처럼 우리가 삼각형이나 물리적 대상의 개념-즉 지각적인 믿음들을 포함하여 그러한 대상들에 관한 믿음들을 획득하는 능력-은 어떤 기간동안에 획득되는데, 이것이 어떻게 발생되는지에 대해 말해질 수 있는 것은 무엇인가? 아마도 어떤 변화가 뇌에서 발생해야만 할 것이고, 신경 구조(structuring)에서의 어떤 변경이 발생해야만 할 것인데, 그것은 우리로 하여금 동일성을 가진 사물들을 볼 수 있도록 하고, 우리의 망막 위에서의 빛의 패턴과 우리가 획득하는 지각적 믿음들 사이의 gap을 채우는 것이다. 우리의 아이디어들을 고정시키기 위해, 나는 이 발달 속에서 무엇이 진행되는지에 대한 특정한 neurophysical 이론, 즉 Donald Hebb92)
지각에 포함된 뇌의 그 부분인 visual 대뇌피질(cortex)이 4가지 층으로 나누어질 수 있고, 망막 자극의 패턴이 위상학적으로 이것들 중 첫 번째 것에서 만의 행위의 패턴과 동치이다. 그것 이후로 위상학적 특징들은 유지되지 않고, 내적인 층들 사이의, 그리고 이것들과 외부적인 층들의 신경적 연결들은 매우 복잡해서 무작위적인 것(random)으로 보인다. 최초의 층의 작은 부분의 자극(excitation)은 내적인 세 가지 층들 모두에서의 광범위하게 분리된 영역들을 자극할 수 있다. ; 광범위하게 분리된 최초의 층의 부분들은 내적 층들에 속하는 인접하는 세포들을 자극할 수 있다. ; 내적인 영역들은 또 다른 내적인 영역들을 자극할 수 있고, 심지어 외부적인 영역들까지도 자극할 수 있다. 임의의 하나의 세포가 그것의 그것과 연결된 세포들에 대한 자극을 따라 타고, 경과되기 위해, 그것은 많은 다른 세포들에 의해 동시적으로 자극되어야만 한다. 그러나 visual 대뇌피질(cortex)에서의 임의의 세포는 많은, 많은 다른 세포들과 연결되고, 그래서 첫 번째 층에 속하는 많은 수의 세포들의 firing은 보통 다양한 다른 층들에 속하는 많은 수의 세포들에서 firing하기 위한 충분한 자극의 수렴(convergence)에서 결과될 것이다. 만약 통계적인 이유들만을 위해서라면 말이다. 그래서 임의의 시각적 자극들은 visual 대뇌피질(cortex) 전체를 통해 행위의 틀림없는 활동(veritable hum)을 창조하고, 상이한 망막적인 자극에 대응하는 그 행위들은 광범위하게(globally) 동일한 것이다. 그래서 의문은 이들 모든 행위가 어떻게 조직되는가 하는 것이다.
그것에 대답하기 위해 Hebb는 단순한 이론적인 가정, 즉 만약 하나의 세포가 반복적으로 다른 세포의 발화(firing)에서 하나의 역할을 한다면, 그 변화는 두번째 것의 발화에서의 첫번째 세포의 효과(efficacy)의 증가를 생기게 한다. 그는 이 현상이 synaptic knob들의 성장에 의해 산출될 수 있지만, 이론적인 목적을 위해 임의의 타당한 매카니즘이 유효할 것이다. 이제 삼각형에 익숙하지 않은 누군가가 주어진 삼각형 모양의 뿔(apex)을 응시하고 있다고 가정하자. 이것은 어떤 패턴의 자극-그가 그 모서리를 응시하는 만큼 순환하고(recur), 그가 그것을 바라볼 때마다 다시 발생하는-이다. 이 반복된 폭로의 결과로 다양한 피질(cortical) 단계들에서의 세포들의 그룹들은 또 다른 것을 발화할 때 반복적으로 효과적이다.(다양한 종류들의 수렴들에서) 결과적으로 또 다른 것을 발화시키는 것은 이들 상호 연관된 세포들에 대해 더 용이하게 되고, 그것들은 Hebb가 ‘cell-assembly’라고 부른 것을 형성하면서 더욱 더 상호 독립적이 된다. 그것은 임의의 유사한 삼각형의 뿔과 대응할 것이다.
유사한 과정들은 자연히 삼각형의 base angels를 위한 assembly들에서 기인하지만, 이것들은 어떻게 전체로서의 삼각형이, 하나의 단위(unit)로서 동일성을 가지고 지각되는지에 관한 의문을 열린 채로 남겨놓는다. 행태적 실험들은 삼각형들을 인식하는 능력을 획득하는 것이 본질적으로 연속적인 눈 운동들과 모양의 다양한 부분들에 대한 고정들(fixations)에 의존한다. 눈은 특히 선들을 뒤쫓는 경향을 가지는데, 왜냐하면 모든 movement-inducing peripheral stimulation들이 그것을 한 방향으로 강제하고 있기 때문이다. 그래서 각들은 자주 고정점들인데, 그것들이 직선들의 교점에서 하는 것처럼 놓여있고, 눈이 하나의 각에 응시될(fixated) 때, 그것은 또 다른 것을 향해 움직이도록 자극된다.
visual 대뇌피질(cortex)의 다양한 부분들에서의 신경세포들 사이에서의 수많은 상호연결들 때문에, 하나의 assembly에서의 세포들은 또 다른 두 가지 것에 속하는 다양한 세포들과 우연으로 연결된다. 위에서 기술된 motor stimulation들이 하나의 각으로부터 다른 각으로의 반복된 운동을 야기할(induce) 때, 이들 우연한 연결들에서의 신경세포들은 점점 더 효과적이게 되고, 세 모서리들에 대한 cell-assembly들은 second-order cell-assembly에로 통합된다. 개별적인 angel assembly들은 여전히 독립적으로 작용할 수 있고, 그래서 실재적인 삼각형의 지각은 모서리 assembly들과 통합된 assembly의 자극들의 ‘phase sequence’로 불리는 것을 포함한다. 만약 corner assembly들이 a, b, 그리고 c, 그리고 통합된 assembly t라면, phase sequence는 a-b-t-a-c-t-c-t-b와 같은 어떤 것이다.93)
일단 이런 류의 통합된 cell-assembly가 구성되면, 삼각형을 보는 것은 그것을 2분의 1정도, 혹은 그 이상으로 굴절시킨다.(reverberate) 이것은 assembly의 구성 이전에 동일한 시각적 자극에 의해 야기된 행위의 random hum에 대한 조직과 지속(duration) 모두에서의 중요한 획득(gain)을 대표(표상)한다. 이 더 길고 반복 가능한 흔적(trace)은 오래된 기억에 대해 획득된 구조적 변화들을 허용 할만큼 충분히 지속되어야만 한다. 다시 말해 cell-assembly는 주체로 하여금 동일성을 가진 삼각형을 보도록, 그리고 그것에 관한 지각적 믿음을 획득하도록 허용하는 것이다. ; 그것은 McCulloch에 의해 위치 지워진 fibre가 bug-detector인 것과 같은 의미에서 triangle-detector이다.94)
물리적 대상들을 지각하는 능력은 그것이 비록 더욱 복잡한 것이라고 해도 삼각형들을 지각하는 능력과 다른 것은 아니다. trick은 일련의 패턴들을 단일한 사물의 view들을 구성하는 것으로 보는 것이다. 삼각형들을 보는 능력이 비록 모서리들을 찾아내고 하나의 삼각형을 다른 삼각형과 비교하는 힘든 과정을 통해서 발전하는 것처럼, 지속적인(continuing) 물리적 대상들을 보는 능력은 그것들을 지켜보고, 조작하는(manipulating) 경험의 시기동안 발전한다. 학습과정의 구조 속에서의 밀접한 유사성(resemblance)은 물리적 대상에 포함된 것이 cell-assembly의 좀더 정교한 버전일 뿐이라고, 특히 단일한 대상과 발화의 일련의 측면들에 상응하는, 그리고 복잡한 phase sequence에서의 고차적 cell- assembly의 발전일 뿐이라고 주장한다.95) 하나의 대상이 그러한 assembly들의 phase sequence를 자극할 때, 그것은 적절하게 인과적인 방법에서의, 내가 밝은 빛에서 그것을 바라볼 때 내 앞에 손이 있다는 나의 믿음을 산출하는 과정에서 내 손이 참여하는 방식으로 주체의 지각적 믿음 상태의 산출에 참여한다.
거칠게 말해서 인간존재들은 그들로 하여금 독립적이고, 지속적인 물리적 대상들을 인식하도록 하는 neural object-detector들을 발달시킨다. 상호 작용하는 것과 지각되는 것 사이의 갭을 연결하는 것이 바로 이들 복합적인 cell-assembly들이다. 대상 Ⅰ은 주어진 경우, 혹은 좀 더 정확하게 그 대상의 time slice의 앞부분을 지각하고, 망막적인 자극들의 패턴에 대해서만 인과적으로 원인이 되는 것이다. 친숙한 물리적 대상의 통일된(unifying) 개념이 내 물리적 object-detector에 원인을 두는(contributed) 반면에 말이다. object- detector의 참여는 차례로 부분적으로는 타고난 내 뇌의 구조의 결과이고(내 선조들의 환경의 진화적 압력들에 의해 조건화된), 부분적으로는 내가 아주 어릴적에 물리적 대상으로부터 얻은 경험들의 결과이다. 이것들 모두는 부인할 수 없이 복잡하지만, 여전히 자연주의적이고 인과적이다.
이제 이것으로 하여금 처음으로(in the first place) 지각의 이론에로 돌아가게(detour) 한(inspired) 주제, 즉 우리가 집합들을 지각할 수 있고 지각한다는, 그리고 그렇게 하는 우리의 능력이 물리적 대상들을 보는 우리의 능력과 같은 방식으로 발달한다는 나의 주장으로 돌아가자. 다음의 경우를 살펴보자. : 스티브는 어떤 요리법(recipe)을 위해 두개의 달걀이 필요하다. 그가 냉장고에서 꺼낸 계란 상자는 불길함을 느낀다.(feel ominously) 그는 상자를 열고, 거기에서 세 개의 달걀들을 본다. 방금 검토된(canvassed) 지각에 대한 설명에 의해 이것은 상자(carton)속에 세 개가 한짝을 이룬 달걀들이 있을 것을 요구하고, 스티브가 그것에 관한 지각적 믿음을 획득할 것을 요구하고, 한 짝의 달걀들이 나의 손이 내가 그것을 밝은 빛 속에서 볼 때 나의 앞에 손이 있다는 나의 믿음의 산출에 참여하는 것과 동일한 방식으로 이들 지각적 믿음들의 산출에 참여할 것을 요구한다.
이 주장은 의심할 것 없이 반대들의 clamour를 이끌어 낼 것이고(elicit), 그렇게 하지 않는다고 해도, 설명(elucidation)을 필요로 함으로, 스티브 앞의 상자 속에 달걀들의 집합이 있다는 주장에서 시작해보자. 이 아이디어를 반대하는(resist) 가장 단순한 방법은 집합들이 있다는 것을 거부하는 것이다. 이에 대해 나는 1장의 끝 부분에서 스케치된 콰인/퍼트남 논변의 한 버전으로 답변한다. 이 논변-수학적 실재들은 세계에 관한 우리의 최상의 이론을 위해서 필수 불가결한 것이다-은 수학적 존재론에 관한 우리의 최상의 이론은 (최소한 몇 개의)96)
반대(resistance)의 두 번째 양태는 집합들이 공간이나 시간 속에 위치( location)을 가진다는 것을 부정한다는 점에서 전통적 플라톤주의와 결합된다. 그러나 다음을 주의하라. : 달걀들의 집합은 그것들이 유효할(do) 때 존재하고 사라진다(comes into and goes out of existence)는, 그리고 시간적으로 뿐만 아니라 공간적으로 그것들이 존재하는 바로 그곳에 위치한다(located exactly where they are)는 입장에 대해 실재적인 방해물(obstacle)은 없다. 고차적인 집합(set of higher order)은 달걀들의 집합으로 구성된 집합과 스티브의 두 손들의 집합과 같이 그것의 원소들이 존재하는 곳, 즉 달걀들의 집합과 손들의 집합이 존재하는 곳, 말하자면 달걀과 손들이 존재하는 곳에 위치될 것이다. 이런 방식으로 매우 복잡한 집합들이라고 할지라도 그것이 그것의 transitive closure에 물리적 사물들을 가지는 한 시-공간적인 위치를 가질 것이다.97)98)99)
더 논쟁의 여지가 있는 것(controversial)은 스티브가 집합을 보고 있다는 주장의 두번째 부분이다. : 즉 그가 달걀들의 집합들에 관한 인식적 믿음들을 얻는다는, 특히 이 집합이 세 원소를 가진다는 주장이다. 이 아이디어에 대한 나의 변호를 두 부분들로 나누어 보자. 첫째, 그리고 덜 논쟁적으로 나는 수적인 믿음-상자 속에 세 개의 달걀들이 있다-은 지각적이라고 주장한다.100)101)102)
지금까지는 좋았다. 이제 이 지각적 믿음이 집합들에 관한 믿음인지 아닌지의 여부에 대한 의문을 다루어보자. 수적인 믿음은 결국 무엇에 관한 것인가? 가장 쉬운 답변은 스티브의 믿음이 계란, 즉 상자 안에 있는 물리적 요소(stuff)에 관한 것이라는 것이 되겠지만, 프레게는 오래 전에 그 대답의 부적절성(inadequacy)을 증명하였다.103)
만약 물리적 요소가 계란들로 구성되어있지 않다면, 수 속성의 주체는 무엇인가? 어떤 이들은 ‘계란들’이라고 말하며, 이것이 계란이 됨의 속성에 의해 나누어진 물리적 요소를 의미하는 것이라고 할 것이다. 이것을 나는 ‘aggregate’라고 부를 것이다.104)105)
그러나 무슨 근거에서? 만약 스티브가 계란들의 집합을 보고 있는 것으로 간주된다면, 집합론적 실재론자는 예를 들어 그가 그것이 집합이지 aggregate라고 볼 수 있다고 주장해서는 안되는가? 이 제안은 매력적이지만, 나는 그것이 옳지 않은 것이라고 생각한다. 수 속성의 담지자가 될 수 있을 만한 다양한 후보자들-집합, aggregate, 개념, 류-이 공통적으로 지각적이라고 간주될 수도 있는 임의의 속성들인 그들의 가장 기본적인 속성들을 가지고 있다는 것에 주의하라. ; 예를 들어 그것들 모두는 부분묶음들(subcollections)을 가지고(예. 좀더 특정한(exclusive) 속성 아래에서의 egg-stuff), 그것들은 모두 결합(combination)수 있다. 등등. 이들 유사성들은 그것들을 수-담지자(number-bearing)가 되기 위한 잠재적 후보자들로 만드는 것이다. 그것들을 분리시키는(separate) 속성들은 외연성과 같은 이론적 속성들이다. 스티브에게 그가 집합을 지각하고 있는 지 아니면 aggregate를 지각하고 있는지를 볼 것을 요구하는 것(to look and see)은 그가 달걀이 단단한지 아니면 거의 원자들이 흩뜨러져 있는(littered) 텅빈 공간인지를 볼 것을 요구하는 것이다.
내가 도달하고 있는 것(what I'm getting at)은 이것이다. : 우리가 지각에 의해 사물들에 관해 알고 있는 양(amount)은 매우 제한되어 있다. 예를 들어 물리적 대상들에 관해 우리는 그것들이 Hebb의 용어로 ‘space-occupying and sense-stimulating spmething[s]’이라는 것 외에 더 이상 아는 것이 거의 없다.106)
그래서 집합들, aggregate들, 개념들, 류들 사이의 경우를 결정하기 위해 우리는 우리의 지각적 경험들이 아니라 우리의 세계에 대한 전체적 이론을 보아야 할 필요가 있다. 그리고 우리는 이것들 중 어떤 것이 가장 기초적인 수학적 실재들의 역할을 하기에 가장 적합할 것인가를 물어야만 한다. (비교 : 가장 기초적인 물리적 실재들의 역할을 하기에 가장 적합한 것이 신의 경험의 버클리적 묶음들(bundles)인가 아니면 물리학자들의 원자들의 묶음들인가를 결정하는 것) 이런 점에서(on this score) sets win going away. ; 그것들은 극단적으로 단순하고 다루기 쉬운(manageable) 실재들로, 놀라울만치 효과적이고 효율적인 수학 이론들을 위한 기초를 구성한다. 대조적으로 aggregate들과 류들이 모두 의존하는 속성들은 다루기 힘들고 -알려진 비교적 다루기 쉽고(flexible) 완벽한 이론은 없다107)108)109)
나는 이것 모두를 수 속성들의 담지자들이 집합들이고, 그래서 스티브의 지각적 믿음이 집합에 관한 믿음이라는 집합론적 실재론자의 주장을 뒷받침한다. 그러나 이 점을 내버려두기 전에 나는 이 결론의 우연성(contingency)에 대해 주목하고 싶다. 그것의 뒷받침에서 나는 수학적 실재들이 물리과학에 필수 불가결한 것이라는 아이디어에 의존한다. ; 만약 그것들이 그렇지 않다면, 집합들을 우리의 전체 이론에 포함시킬 이유는 없을 것이다. 그래서 나의 집합들에 대한 선택(preference)은 세계가 존재하는 방식에서 우연적이다.(contingent on the way the world is). 우리의 최고의 이론이 그것들을 요구하는 것으로 보이는 한도까지 말이다.
이 사실의 힘(force)을 평가하기 위해, 예를 들어 집합들과 aggregate들 사이의 근본적인 차이점들 중 하나, 즉 sets of higher rank-집합들의 집합들, 집합들의 집합들의 집합들, 등등-이 있지만, aggregate들의 aggregate들은 없다는 것을 고찰해 보자. 만약 물리적 세계가 좀 더 단순하여 지속적인 현상을 가지지 않는 좀 더 단순한 물리적 이론을 허용한다면, 우리의 전체적 이론은 실수들을 필요로 하지 않을 수도 있고, 그 귀결로 higher rank에 속한 집합들을 필요로 하지 않을 수도 있다.110)
그러면 상자 속에 계란들의 집합이 있고, 스티브가 이 집합이 세 원소를 가진다는 지각적 믿음을 획득한다고 인정해보자.111)
피아제와 그의 동료들의 행태적 증거는 집합들에 관한 지각적 믿음들을 획득하는 능력은 물리적 대상들에 관한 지각적 믿음들을 획득하는 능력과 평행해서 일련의 단계들에서 발달한다는 것이다. -비록 후자가 어느 정도 더 나이가 덜어서 이루어지긴 하지만 말이다.112)
유사한 혼동이 집합의 수 속성들과 관련해서 관찰된다. 더 어린 어린이는 집합에 속한 원소들의 수가 그것이 재배열될 때, 특히 그것의 원소들이 더 가깝게 모이거나 더 멀리 떨어질 때 변한다고 상상한다. 더 나이든 아이에게는 반대로 일단 두 집합들 사이에 일대일 대응이 이루어지면, 그것들의 동치성(equinumerosity)에 대한 믿음은 흔들릴 수 없다. ; 사실 바로 그 질문은 그들에게 어리석은 것으로 보인다. 일단 집합들에 대한 지각적 믿음이 획득되면, 집합들이 그것의 원소들이 움직일 때 자신의 수 속성을 변화시킬 수 있다는 생각은 터무니없는(preposterous) 것으로 보인다.
그래서 독립적이고 지속적인 물리적 대상의 개념이 단계별로 획득되는 것과 꼭같이, inclusion과 항속적인(constant) 수 속성을 가진 집합의 개념은 그 자체로 시간을 거치며 획득되고, 대상들의 그룹들에 대한 경험에 의존한다. 아이의 집합개념 발달이 언어적인 성취가 아니라는 것이 주지되어야만 할 것이다. 물론 아이들은 ‘집합’이라는 단어를 거의 배우지 않지만, 그들은 수 단어들을 배우고, 그들의 이전의 오류들이 주로 언어적인 것이라고 생각되어 질 수도 있고, 그 오류들을 교정하는 것은 언어적 교정(verbal instruction)이라고 생각될 수도 있다. 그 증거는 주로 이 가정에 반대된다.113)
주요 쟁점(major point)은 수 개념의 발달이 말하기 훨씬 이전이나, 공식적인 교육이 이루어지기 훨씬 이전인 유아때 시작된다는 것이다. 유아는 자신의 일상생활의 행위들-즉 매우 상식적인 것이어서 부모들이 그들에 언급할 가치가 있는 것이라고도 거의 생각하지 않는-의 요구들에 의해 수개념들을 산출하도록 강제된다. 그것들은 언급할 가치가 있는데, 왜냐하면 그것들은 수학적 사유의 전체 구조가 뿌리 내리기 시작하는 단순한 출발점이기 때문이다. (Bower(1982), 250)
물리적 대상 개념과 같은 집합 개념은 언어의 완벽한 부재 속에서 발달될 수 있어야만 할 것을 기대해야만 한다.
그리고 집합 개념은 어떻게 발달하는가? 우리는 그것이 대상 개념과 같은 시기 동안 발달한다는, 그리고 이들 발달들 모두에서 확정적인 요소(determining factor)가 문제가 되는 종류의 사물들을 반복해서 드러낸다는 증거를 보아왔다. 대상 개념의 발달은 아이의 환경 속에 있는 다양한 물리적 대상들에 대한 경험에 의해 생겨나고, 집합 개념은 물리적 대상들의 집합들에 대한 경험에 의해 생겨난다. 예를 들어 그것들 사이에 일대일 대응들을 구성함으로써, 그것들을 두드러진(salient) 부분집합들을 구성하도록 재그룹화함으로써, 등등.114)
Hebb의 neural triangle-detector의 구성에 대한 이론은 동일성을 가진 삼각형들을 볼 수 있는 능력의 발달이 삼각형들의 각들에 대한 반복적인 응시들과 한 각에서 다른 각으로의 눈 운동, 그리고 심지어 어떤 경우들에는 각들의 외부를 찾는 행위(active seeking out of corners)를 요구한다는 행태론적 증거들을 필수적으로 사용한다. 이 과정과 대상 개념의 발달을 주도하는 과정 사이의 행태론적 유사성들 때문에, object-detector가 환경 속에서의 물리적 대상들의 다양한 경험의 결과로, 유사한 방식으로 발달한다고 이론화된다. 집합개념이 환경에서의 집합들의 반복된 경험-삼각형과 물리적 대상들에 대해 요구되는 경험들과 평행하한 경험들-을 포함하는 유사한 발달 시기를 요구한다는 증거에 대해, 이들 물리적 대상들의 집합들과의 상호작용들이 Hebb가 제시한 것과 유사한(resembling) 어떤 복잡한 과정에 의한 뇌 속에서의 구조적 변화들을 야기한다고 가정하는 것이 타당한 것으로 보인다.115)
이 가정은 또 다른 난점에 대해 해결책을 제시한다. 많은 사물들-물리적 요소들의 mass와 많은 상이한 집합들-이 동일한 시공간적 위치를 점한다는 것을 상기하라. 이들 사물들은 동일한 망막적인 자극들을 만들어내기도 하지만, 한가지 경우에서 stuff만이 보이고, 다른 경우에는 하나의 집합만이, 그리고 또 다른 경우에는 상이한 집합들이 모인 것으로 보인다. 우리 모두는 우리가 최초로 단일한 그림을 구별되지 않은 덩어리(undifferentiated mass)로 보지만, 나중에 구별된 대상들의 확정된 수를 표상하는 것으로 보이는 심리학자들의 예들 혹은 동종의 정글 나무잎들(foliage)이 자신들을 흉포한(ferocious) 맹수들의 무리(pack)로 분해시키는 아이들의 퍼즐에 의해 기분전환을 했다.(amuse) bookbinder가 개별 책들의 큰 집합을 볼때(매우 많아서 그는 그 정확한 수에 대한 지각적 접근을 가지지 못할 것이다), 백과사전을 파는 세일즈맨은 자신의 라이벌 회사의 책들 중 세 권을 볼 것이다.; 내가 네 개의 신발들의 집합을 볼때, 당신은 두 쌍들의 집합을 볼 수도 있다. 미시적 이미지는 내가 한 접시의 Jackson Pollock drip들처럼 보이는 반면, 생물학자는 세 개의 paramecia와 하나의 amoeba를 볼 것이다.
Hebb의 이론은 이들 현상들에 대해 열쇠를 제공한다. 그것들은 단일 주체의 부분 위에서 지각의 변화를 포함하고(아이의 퍼즐), 두 거친 비교 가능한 주체들 사이의 지각의 차이점을 포함한다.(bookbinder와 백과사전 세일즈맨) 그리고 훈련을 받은 두 주체 사이의 지각의 차이점을 포함한다.(나와 생물학자) 마지막 경우는 가장 쉬운 것이다. : 지각적 발달은 어린아이 시기동안 계속된다. ; 생물학자는 자신의 lab technique에서 교육받는 동안 또 다른 지각적 능력들(또 다른 cell-assembly들)을 획득한다. 또 다른 두 경우들에서 앞선 경험과 신경활동들(사유들-thought)은 주어진 자극의 패턴이 주어진 cell-assembly에 자극을 줄(trigger) ease에 영향을 준다. : 제본업자(bookbinder)와 세일즈맨은 상이한 관심을 가진다. ; 그들은 상이한 것들을 인식한다. 퍼즐의 경우들에서 우리의 주의에서의 어떤 이동은 새로운 cell-assembly로 하여금 갑작스럽게 활동하도록 만든다. 만약 그러한 집합 assembly가 없다면, 상이한 수 속성들을 가진 상이한 그룹화들을 보는 현상은 일반적인 물리적 대상 assembly들의 최초의 자극 후에 발생하는 어떤 부가적인 organizing event들에 의해 설명되어야만 한다. 이 접근은 그 현상에 대해 less true하다.116)
이 설명에서 스티브가 달걀 상자 속을 볼때, 거기에 달걀들의 집합이 있으면, 그는 집합에 관한 지각적 믿음, 즉 그것이 세개의 원소들을 가진다는 지각적 믿음을 획득한다.117)
그래서 물리적 대상들의 경우에 인과적으로 상호작용하는 것과 지각되는 것 사이의 gap을 연결하는 것에 대한 Hebbian neurophysiological account는 집합들의 지각에 대해서도 제시될 수 있다. 나는 이 것이 상당한 신뢰가능성(considerable credibility)을 집합들이 지각가능하다는 집합론적 실재론자의 주장에 부여하는 것으로 생각하지만, 앞서 언급한 것처럼, 나는 이 특정한 neurophysiological 이론에 집합론적 실재론을 연결시키려는 의도가 아니다. 베나세라프 스타일의 염려들은 어떤 종류의 설명이 주어질 수 없다는 깊은 확신에 근거하고 있다. ; 퍼트남의 수사학적(rhetorical) 분출(outburst)을 볼 것. :
결국 어떤 신경 과정이 수학적 대상의 지각으로서 기술될 수 있는가? (퍼트남(1980), 430)
이 절에서의 나의 목적은 이 의문에 대한 최소한 하나의 타당한 답변이 있다는 것을 드러내는 것(to indicate)이었다.