논리학_12.2 양화.hwp
12.2 양화(Quantification)
A method of symbolizing devised to exhibit the inner logical structure of propositions.
“모든 것은 죽는다” 또는 “어떤 것은 아름답다”와 같은 명제는 술어들을 가지고 있지만 특정한 개체의 이름을 가지고 있지 않다. 따라서 단칭명제가 아니다.
이 명제들은 특정 개체를 지시하지 않는 일반명제이다(general proposition)
일반화(Generalization)
The process of forming a proposition from a propositional function by placing a universal quantifier or an existential quantifier before it.
Everything is mortal. 논리적 동치 All things are mortal.
Given any individual thing whatever, it is mortal.
임의의 개체에 대해서 그것이 무엇이건 간에, 그것은 죽는다.
=Given any x, x is mortal.
=Given any x, Mx.
“임의의 x”는 보편 양화사(Universal Quantifier)를 이용해서 (x)로 기호화한다.
=(x) Mx.
보편양화사(Universal Quantifier)
A symbol (x) used before a propositional function to assert that the predicate following is true of everything.
존재양화사(Existential Quantifier)
A symbol (∃x) indicating that the propositional function that follows has at least one true substitution instance
.
Something is beautiful.
There is at least one thing that is beautiful.
There is at least one x such that x is beautiful.
There is at least one x such that Bx.
There is at least one x such that =(∃x) 존재양화사
(∃x)Bx
“....인 x가 적어도 하나는 있다”
예화(Instantiation)
The process of forming a proposition from a propositional function by substituting an individual constant for its individual variable.
개체 변항에 개체상항을 대입하는 예화를 통해 또는 명제함수 앞에 보편양화사나 존재양화사를 두는 일반화를 통해서 명제함수로부터 하나의 명제를 얻을 수 있다.
어떤 명제함수의 보편양화는
그것의 모든 대입례가 참일 때 그리고 오직 그러한 경우에만 참이다.
어떤 명제함수의 존재양화는
적어도 하나의 참인 대입례를 가질 때 그리고 오직 그러한 경우에만 참이다.
단칭부정명제
소크라테스는 죽지 않는다. ~Ms(명제함수 ~Mx의 대입례)
소크라테스는 죽는다. Ms(명제함수 Mx의 대입례)
Nothing is perfect.
=Everything is imperfect.
=Given any individual thing whatever, it is not perfect.
임의의 개체에 대해서 그것이 무엇이건 간에, 그것은 완전하지 않다.
=Given any x, x is not perfect.
임의의 x에 대해서, x는 완전하지 않다.
(x)~Px
보편양화사와 존재 양화사의 관계
첫째, 보편적 일반명제 "Everything is mortal (x)Mx"의 부정은 존재적 일반명제 “Something is not mortal (∃x)~Mx”
즉 ~(x)Mx≣(∃x)~Mx
둘째, Everything is mortal은 There is nothing that is not mortal과 동치
(x)Mx≣~(∃x)~Mx
셋째, 보편적 일반명제 Nothing is mortal (x)~Mx의 부정은 존재적 일반명제 Something is mortal (∃x)Mx이다.
~(x)~Mx≣(∃x)Mx
넷째, Everything is not mortal은 There is nothing that is mortal과 동치이다.
(x)~Mx≣~(∃x)Mx
부정기호가 있으면 그것과 논리적인 동치인 부정기호 없는 것으로 대치할 수 있다.
서술어 M을 희랍어 φ(피)로 바꾸면
[(x)φx]≣[~(∃x)~φx]
[(∃x)φx]≣[~(x)~φx]
[(x)~φx]≣[~(∃x)φx]
[(∃x)~φx]≣[~(x)φx]
12.3. 전통적 주어-술어 명제
All humans are mortal. A명제
=Given any individual thing whatever, if it is human then it is mortal.
어떤 개체에 대해서건, 만약 그것이 인간이라면 그것은 죽는다.
=Given any x, if x is human then x is mortal.
임의의 x에 대해서, 만약 x가 인간이라면 x는 죽는다.
=Given any x, x is human ⊃ x is mortal.
=(x)(Hx⊃ Mx)
전건과 후건이 동일한 주어를 갖는 단칭 명제인 조건명제
E명제의 양화
Given any x, x is a human ⊃ x is not mortal.
(x)[Hx⊃ ~Mx]
I명제의 양화
There is at least one x such that x is a human and x is mortal.
(∃x)[Hx ․ Mx]
O 명제의 양화
There is at least one x such that x is a human and x is not mortal.
(∃x)[Hx ․ ~Mx]
정상-형식의 명제(Normal-Form Formula)
A formula in which negation signs apply only to simple predicates.
12.4 타당성 증명
보편 사례화 규칙 Universal Instantiation(UI)
A rule of inference that permits the valid inference of any substitution instance of a propositional function from its universal quantification.
명제함수 Hx⊃ Mx의 보편양화는 참이다.
모든 대입례들이 참일때 한 명제함수의 보편양화가 참이기 때문에
명제함수 Hx⊃ Mx의 어떤 대입례라도 추론할수있다.
이로부터 Hs⊃ Ms라는 대입례를 추론한다.
UI: (x)(φx)
따라서 φν(그리스문자 ny)
보편일반화의규칙 Universal Generalization(UG)
A rule of inference that permits the valid inference of a universally quantified expression from an expression that is given as true of any arbitrarily selected individual.
특정 대입례로부터 일반화된 또는 보편양화 된 표현을 얻을 수 있다.
전제들로부터 Gy⊃ My라는 명제를 연역했는데, y가 “임의의 개체”를 지시하기 때문에 이 명제는 결국 명제함수 Gx⊃ Mx의 어떤 대입례도 참이라는 사실을 주장하는 것이다.
UG: φy(y는 임의의 개체를 지시한다)
따라서 (x)(φx)
존재 사례화 규칙(Existential Instantiation-EI)
A rule of inference that permits (with restriction) the valid inference of the truth of a substitution instance (for any individual constant that appears nowhere earlier in the context) from the existential quantification of a propositional function.
한 명제함수의 존재양화로부터 이전의 문맥 어디서도 나타난 바 없는(y이외의)임의의 개체 상항을 대입해서 그것의 참인 대입례를 추론할 수 있다.
EI: (∃x)φx
따라서 φν
존재일반화 규칙(Existential Generalization-EG)
A rule of inference that permits the valid inference of the existential quantification of a propositional function from nay true substitution instance of that function.
하 명제 함수의 존재 양화는 그것이 적어도 하나의 참인 대입례를 가질 때 참이므로, 한 명제함수의 어떤 참인 대입례로부터도 그 명제함수의 존재양화를 타당하게 추론할 수 있다.
EG: φν (v는 임의의 개체기호)
따라서 (∃x)φx
12.5 부당성 증명
일반명제를 포함하는 논증의 부당성을 증명하는 절차
1. 먼저 개체 a만을 포함하는 모델을 고려하라.
그 모델에서 주어진 논증과 논리적으로 동치인 진리함수적 논증을 구성하라
이것은 원래 논증의 각 일반명제(즉 양화된 명제함수)로부터 그 명제함수에 a를 대입한 대입례를 얻음으로써 가능하다.
만약 진리값 할당법에 의해 그 진리함수적 논증의 부당성이 증명될 수 있다면 그것으로써 원래의 논증이 부당하다는 것은 증명된다.
2. 만약 이와 같은 방법으로 부당성을 증명할 수 없는 경우라면 a와 b라는 두 개의 개체를 갖는 모델을 고려하라.
이 모델에서 주어진 논증과 논리적으로 동치인 진리함수적 논증을 얻기 위해서는
a를 대입해서 얻었던 원래의 대입례와 동일한 명제함수 에 b를 대입해서 얻은 새로운 대입례를 결합한다.
주의)
원리 논증이 보편 양화된 명제함수 (x)(φx)를 포함한다면
새로운 대입례인 φb는 첫 번째 대입례인 φa와 연언으로 결합된다.
원래 논증이 존재 양화된 명제함수 (∃x)(φx)를 포함하는 경우
새로운 대입례인 φb는 첫 번째 대입례인 φa와 선언으로 결합된다.
12.6 비삼단논법적 추론
Arguments containing one or more propositions more logically complicated than the standard A, E, I, or O propositions.
까다로운 일상 언어적 표현
1. All athletes are either very strong or very quick.
은 or가 들어 있지만 선언명제가 아니다.
그래서
Either all athletes are very strong or all athletes are very quick와 다르다.
2. 굴과 조개는 맛이 좋다.
“- 과 -”는 연언이 아니라 선언으로 기호화한다.
모든 것에 대해서 그것이 굴이거나 조개라면 맛이 좋다는 뜻이지
굴이면서 동시에 조개인 것이 맛이 좋다는 뜻은 아니다.
3. 예외명제
"All except previous winners are eligible"은 두 일방명제의 연언이다.
previous winners are not eligible
and those who are not previous winners are eligible.