9회차
2020.9.20 일요일 - 비에이블 개포동점
학습 주제 - 사이클로이드
참석자 - 노도현, 이승호, 임예빈, 나규민
작성자 - 20107 노도현
시간 - 3시간
1. 포괄적 활동 내역
오늘부터는 동아리 발표회 대비를 위해서 손으로 쓰지 않고, 함께 모여 노트북상으로 자료를 작성하기로 하였다. 오늘은 몇몇 사이클로이드 곡선들에 대해 심도 있는 탐구를 해보는 시간을 가졌다. 보고서 형식으로 정리해 보았다.
조금 자세히 오늘 한 것을 이야기하자면, 에피사이클로이드, 하이포사이클로이드, 트로코이드, 에피트로코이드, 하이포트로코이드에 대해서 알아보고, 사이클로이드의 정의와 기원에 대해서 탐구해 보는 시간을 가졌다.
2. 사이클로이드 기본 논의
사이클로이드(cycloid)는 바퀴라는 의미에서 나온 말로 회전하는 바퀴상의 한 점의 자취를 나타낸다. 만일 물체를 굴려서 떨어뜨릴 경우 직선의 기울기가 클수록 속도도 빨라질 것이다. 하지만 기울기가 변하는 곡선에서는 가장 빠른 어떤 길이 있을 것이다. 그 곡선을 사이클로이드라고 한다. 사이클로이드를 수학적으로 정의하면, 직선을 따라 원이 굴러갈 때 원주상의 한 점에 의해 이루어지는 자취이다. 이 때 사이클로이드는 호의 모양과 두 곡선이 만나는 뾰족한 끝이 있다. 반지름이 a 인 원 위의 한 점이 사이클로이드를 그릴 때, x축 위의 시작점에서 끝점까지 거리는 원이 한 바퀴 돌기 때문에 원주의 길이인 2πa 이다. 이 때 사이클로이드의 높이는 정점이 가장 높이 있는 지점으로 원의 지름의 길이인 2a 이다.
시작점과 끝나는 점이 같은 직선과 사이클로이드 중에서, 그 위를 같은 시간 안에 더 빨리 물체가 움직이는 것은 사이클로이드이다. 사이클로이드의 이 특성을 Brachistochrone (최단강하곡선, shortest time path)이라고 한다. 또한 사이클로이드의 어느 위치에서 물체를 강하하여도 끝점에 도착하는 시간은 일정하다.
반지름 a 인 원을 회전하는 사이클로이드를 작도하기 위해서 매개변수 방정식 P (x, y) 으로 나타내면, x = a (θ -sin θ), y = a (1 - cos θ) 이다. 즉, x 축의 값은 회전한 호의길이(a θ rad)에서 중심각의 맞은변의 삼각비(a sin θ)만큼을 뺀값이고, y 축의 값은 반지름에서 중심각의 인접변의 삼각비(a cos θ)만큼을 뺀 값이다.
3. 논문 형식으로 작성해본 사이클로이드와 그 유사곡선
이 논문 형식으로 작성된 보고서에 있는 그림들의 일부는 mathematica라는 코딩프로그램을 사용하여 그려낸 것이다. 우리 동아리가 정리한 사이클로이드와 그 유사곡선들의 신비로움에 감탄할 준비를 하시라.
4. 조원별 활동내역
노도현: 사이클로이드에 대한 기초 자료 준비 및 mathematica를 이용한 곡선 프로그래밍과 회의 주도
이승호, 임예빈: 사이클로이드 보고서 작성을 도맡음
나규민: 승호와 예빈이를 도와 보고서를 작성하고, 다양한 곡선들에 대한 아이디어를 제공함
5. 활동소감
노도현: 힘들수록 돌아서 가라는 우리 속담을 아는가? 사이클로이드는 이 속담을 논리적으로 뒷받침해준다. 변위가 같은 두 경로 A,B가 있을 때 곡선 경로인 사이클로이드(A)는 이동거리가 직선 경로인 일직선(B)보다 길지만, 오히려 낙하하는데 걸리는 시간은 더 짧다. 우리 동아리는 수학적으로 그 사이클로이드에 대한 다양한 조사를 해보았고, 이를 정리하여 나타내었다. 활동을 하며, 나는 사이클로이드라는 곡선이 가지는 특별한 성질이 굉장히 인상깊었으며 mathematica로 이를 일일이 프로그래밍해보면서 그 본질에 한층 더 가까워질 수 있었다고 생각했다. 뿐만 아니라, 앞으로 내가, 또 우리 개원중학교 후배들이 살아갈 삶에서, 가장 빨라 보이는 길이 사실은 더 오래 걸리는 길이라는 점을 간접적으로 깨닫게 해주었던 경험이었던 듯하다.