반 힐레 수준(The van Hiele`s Level)
반힐레 부부의 수학 학습 이론에 관한 최초의 논문은 1955년에 발표되었다. 그들은 수학을 가르치면서 아무리 애써서 설명해도 또, 학생들은 아무리 최선을 다해도 이해하지 못하는 그런 부분이 있음을 알았다. 그러다가 적당한 때가 오면 학생들이 쉽게 이해하는 것을 보았다. 반힐레 부부는 이에 대한 이유를 생각해 보는 과정에서, 수학적 사고에는 서로 다른 수준이 있다는 것을 발견했다.남편인 피에르 반힐레(Pierre Marie van Hiele)가 1957년에 발표한 논문 '아동의 사고와 기하'에 따르면, 기하에서의 사고 수준은 다음과 같다: ① 기초 수준(수준 0)에서는 도형이 겉모습에 의해 판단된다. ② 제 1수준에서는 도형은 성질을 갖는 것이다. ③ 제 2수준에서는 성질이 정렬된다. 성질은 다른 성질에서 연역된다. 한 성질이 다른 성질에 앞서거나 뒤따르게 된다. 학생들이 이 수준에서 연역의 본질적 의미를 이해하는 것은 아니다. ④ 제 3수준에서는 사고가 연역의 의미, 정리의역, 공리, 필요충분조건에 관계된다. (그는 이 논문에서 5번째 수준에 대해서 자세히 설명하는 대신, '수학자들이 사용하는 절차에 충분히 익숙해지기 전에는 이 수준에 도달할 수 없다'고 말하고 있다. 또 그는 이 논문에서 '기초수준(수준 0), 제 1수준, ... , 제 4수준'이라 하고 있으나, 1986년의 저서 '구조와 통찰'에서는 '제 1수준, ... , 제 5수준'이라 하고 있다.)수준은 다음과 같은 성질을 갖는다. 첫째, 앞 수준에서 본질적이었던 것이 다음 수준에서는 비본질적인 것이 된다. 둘째, 각 수준은 그 수준 고유의 언어적 상징과 그러한 상징을 연결하는 고유의 관계 체계를 갖는다. 셋째, 서로 다른 수준에서 추론하는 사람은 서로를 이해할 수 없다. 넷째, 더 높은 수준으로의 이행은 여러 개의 단계에 따라 특별한 방법으로 일어난다. Usiskin은 이 네 성질을 차례로 '인접성', '특이성', '분리성', '도달성'이라 부르고 있다. 그는 또, 각 수준을 차례로 지나야 한다는 사실을 하나의 성질로 간주하고, 이를 '고정된 순서성'이라 부르고 있다. 이러한 다섯 성질은 명백히 각 수준이 연속적으로 연결되어 있지 않다는 것을 의미하는 바, 이런 이유에서 피에르 반힐레는 1986년의 저서에서 사고 수준의 가장 뚜렷한 성질은 '불연속성'이라고 말하고 있다.
한편, 피에르 반힐레는 1986년의 저서에서 수준 이론이, 기하뿐만 아니라 다른 토픽에도 적용될 수 있다고 주장하고 있다. 그에 따르면 수학적 사고의 수준에는 제 1수준인 시각적 수준, 제 2수준인 記述的 수준, 제 3수준인 이론적 수준, 제4수준인 형식적 논리를 파악하는 수준, 제 5수준인 논리적 법칙의 본질을 파악하는 수준이 있다. 또 그는 1957년의 논문에서와 마찬가지로 5번째 수준에 대해 설명하는 대신, 5번째 이상의 수준을 찾는 것에는 단지 이론적인 가치만 있을 뿐이라고 말하고 있다.
반힐레 수준 이론에서, 수학의 학습은 현 수준에서 다음 수준으로 수준이 상승되어 가는 과정이다. 그러나, 이 상승은 자연스럽게 이루어지는 것이 아니며, 적절한 교수 ·학습 프로그램에 힘입어, 다음과 같은 다섯 단계를 거쳐 상승하게 된다: ① 제 1단계인 '정보의 단계'에서는 학생들은 작업 영역을 알게 된다. ② 제 2단계인 '안내된 적응의 단계'에서는 형성되어져야 하는 망(network)의 서로 다른 관계를 가진 여러 과제가 학생들을 안내하게 된다. ③제 3단계인 '해명의 단계'에서는 학생들은 과제가 가진 관계를 의식하게 되며, 그 관계를 말로 표현하고자 시도하게 되며, 그리고 교과에 따르는 전문어를 학습하게 된다. ④ 제 4단계인 '자유 적응의 단계'에서는 학생들은 관계의 망 속에서, 일반적인 과제에 의해 자기 자신의 방법을 찾는 것을 학습하게 된다. ⑤ 제 5단계인 '통합의 단계'에서는 학생들이 교과에 관해 그리고, 이제 자신들이 마음대로 할 수 있게 된, 새로이 형성된 관계의 망에 관해 학습한 모든 것을 개관한다.
반힐레 부부의 수학 학습 이론에 관한 최초의 논문은 1955년에 발표되었다. 그들은 수학을 가르치면서 아무리 애써서 설명해도 또, 학생들은 아무리 최선을 다해도 이해하지 못하는 그런 부분이 있음을 알았다. 그러다가 적당한 때가 오면 학생들이 쉽게 이해하는 것을 보았다. 반힐레 부부는 이에 대한 이유를 생각해 보는 과정에서, 수학적 사고에는 서로 다른 수준이 있다는 것을 발견했다.남편인 피에르 반힐레(Pierre Marie van Hiele)가 1957년에 발표한 논문 '아동의 사고와 기하'에 따르면, 기하에서의 사고 수준은 다음과 같다: ① 기초 수준(수준 0)에서는 도형이 겉모습에 의해 판단된다. ② 제 1수준에서는 도형은 성질을 갖는 것이다. ③ 제 2수준에서는 성질이 정렬된다. 성질은 다른 성질에서 연역된다. 한 성질이 다른 성질에 앞서거나 뒤따르게 된다. 학생들이 이 수준에서 연역의 본질적 의미를 이해하는 것은 아니다. ④ 제 3수준에서는 사고가 연역의 의미, 정리의역, 공리, 필요충분조건에 관계된다. (그는 이 논문에서 5번째 수준에 대해서 자세히 설명하는 대신, '수학자들이 사용하는 절차에 충분히 익숙해지기 전에는 이 수준에 도달할 수 없다'고 말하고 있다. 또 그는 이 논문에서 '기초수준(수준 0), 제 1수준, ... , 제 4수준'이라 하고 있으나, 1986년의 저서 '구조와 통찰'에서는 '제 1수준, ... , 제 5수준'이라 하고 있다.)수준은 다음과 같은 성질을 갖는다. 첫째, 앞 수준에서 본질적이었던 것이 다음 수준에서는 비본질적인 것이 된다. 둘째, 각 수준은 그 수준 고유의 언어적 상징과 그러한 상징을 연결하는 고유의 관계 체계를 갖는다. 셋째, 서로 다른 수준에서 추론하는 사람은 서로를 이해할 수 없다. 넷째, 더 높은 수준으로의 이행은 여러 개의 단계에 따라 특별한 방법으로 일어난다. Usiskin은 이 네 성질을 차례로 '인접성', '특이성', '분리성', '도달성'이라 부르고 있다. 그는 또, 각 수준을 차례로 지나야 한다는 사실을 하나의 성질로 간주하고, 이를 '고정된 순서성'이라 부르고 있다. 이러한 다섯 성질은 명백히 각 수준이 연속적으로 연결되어 있지 않다는 것을 의미하는 바, 이런 이유에서 피에르 반힐레는 1986년의 저서에서 사고 수준의 가장 뚜렷한 성질은 '불연속성'이라고 말하고 있다.
한편, 피에르 반힐레는 1986년의 저서에서 수준 이론이, 기하뿐만 아니라 다른 토픽에도 적용될 수 있다고 주장하고 있다. 그에 따르면 수학적 사고의 수준에는 제 1수준인 시각적 수준, 제 2수준인 記述的 수준, 제 3수준인 이론적 수준, 제4수준인 형식적 논리를 파악하는 수준, 제 5수준인 논리적 법칙의 본질을 파악하는 수준이 있다. 또 그는 1957년의 논문에서와 마찬가지로 5번째 수준에 대해 설명하는 대신, 5번째 이상의 수준을 찾는 것에는 단지 이론적인 가치만 있을 뿐이라고 말하고 있다.
반힐레 수준 이론에서, 수학의 학습은 현 수준에서 다음 수준으로 수준이 상승되어 가는 과정이다. 그러나, 이 상승은 자연스럽게 이루어지는 것이 아니며, 적절한 교수 ·학습 프로그램에 힘입어, 다음과 같은 다섯 단계를 거쳐 상승하게 된다: ① 제 1단계인 '정보의 단계'에서는 학생들은 작업 영역을 알게 된다. ② 제 2단계인 '안내된 적응의 단계'에서는 형성되어져야 하는 망(network)의 서로 다른 관계를 가진 여러 과제가 학생들을 안내하게 된다. ③제 3단계인 '해명의 단계'에서는 학생들은 과제가 가진 관계를 의식하게 되며, 그 관계를 말로 표현하고자 시도하게 되며, 그리고 교과에 따르는 전문어를 학습하게 된다. ④ 제 4단계인 '자유 적응의 단계'에서는 학생들은 관계의 망 속에서, 일반적인 과제에 의해 자기 자신의 방법을 찾는 것을 학습하게 된다. ⑤ 제 5단계인 '통합의 단계'에서는 학생들이 교과에 관해 그리고, 이제 자신들이 마음대로 할 수 있게 된, 새로이 형성된 관계의 망에 관해 학습한 모든 것을 개관한다.
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