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경제학원론(무차별곡선정리).hwp
1.無差別曲線의 定義
소비자에게 동일한 만족을 가져다주는 두 가지 재화의 여러 가지 조합(combination)들 중에서 소비자에게 한 조합만 選擇하라고 할 때 어느 조합을 선택하더라도 상관없는 경우, 이것은 동일한 만족을 가져다주는 두 가지 재화의 여러 가지 조합들에 대하여 소비자는 무차별(indifferent)하다는 것을 의미한다. 무차별곡선(indifference curve)이란 소비자에게 동일한 만족을 가져다주는 두 가지 재화의 여러 가지 소비조합을 나타내는 좌표상의 점들을 연결한 곡선을 말한다.
2.無差別曲線의 性質
① 임의의 모든 상품묶음에 대하여 그 점을 지나는 하나의 무차별곡선이 존재한다.
<표1-1> 소비자에게 동일한 만족을 주는 X재와 Y재의 조합표
|
조합방법 |
X재의 수량 |
Y재의 수량 |
|
A |
2 |
13 |
|
B |
4 |
9 |
|
C |
6 |
6 |
|
D |
8 |
4 |
<그림1-1>
Y재
13 A
9 B
6 C4 D
0 2 4 6 8 X재
소비자가 두 가지 재화 X재, Y재만을 구입한다고 가정하여 무차별곡선의 개념을 자세히 설명해 보자. X재와 Y재의 서로 다른 소비조합은 무수하게 많을 수 있는데, 그 중에는 소비자에게 동일한 만족을 가져다주는 소비조합도 있을 수 있다. 예를 들어 소비자에게 동일한 만족을 줄 수 있는 X재와 Y재의 여러 가지 소비조합을 <표1-1>과 같다고 하자. <표1-1>에서 보면 X재 4개와 Y재 9개로 구성되는 조합을 B라 하고, X재 6개와 Y재 6개로 구성되는 조합을 C라 할 때 조합B와 C가 소비자에게 동일한 효용을 가져다주기 때문에 상품의 소비조합B와 C는 소비자에게 무차별하다. 두 재화의 소비량을 양축으로 하는 좌표에서 <표1-1>을 표시하여 선으로 연결하면 <그림1-1>과 같은 무차별곡선을 그릴 수 있다.
②무차별곡선은 교차하지 않는다.
무차별곡선이 교차한다고 가정하면 모순점이 생긴다고 함으로써 무차별곡선이 교차하지 않음을 증명할 수 있다.
그림<1-2>에서처럼 무차별곡선 I1 과 I2가 교차한다고 가정해 보자. A점과 B점은 I1 이라는 무차별곡선상에 있기 때문에 효용수준이 동일하다. 그리고 A점과 C점은 I2 라는 무차별곡선상에 있어서 효용수준이 동일하다. 따라서 B점과 C점은 모두 동일한 효용수준을 나타내야만 할 것이다. 그러나 B점과 C점이 동일한 효용수준을 갖는다는 것은 多多益善(the more, the better)이라는 인간의 욕망과는 矛盾된다. 다시 말해 C점은 B점보다 재화를 더 많이 소비하는 조합점이므로 C점이 B점보다 더 높은 효용수준을 가진다. 따라서 무차별곡선이 서로 교차한다고 하면 모순점이 발견된다. 그러므로 무차별곡선은 서로 교차할 수 없다.
<그림1-2>
Y재
A C
B I
I③무차별곡선의 기울기는 음의 값을 갖는다.
각 재화의 限界效用이 정(+)일 때 무차별곡선은 일반적으로 우하향하는 기울기를 갖는다. X재와 Y재가 정(+)의 한계효용을 가지는 한, 동일한 무차별곡선상에 있기 위해서는 X재의 소비를 증가시키면 Y재의 소비를 감소시켜야 하고 X재의 소비를 감소시키면 Y재의 소비를 증가시켜야 한다. 즉, 동일한 무차별곡선상에 있기 위해서는 X재와 Y재간에는 대체관계가 성립된다. 따라서 동일한 效用을 가져다 주는 두 재화의 여러 가지 소비조합점들을 연결한 무차별곡선의 기울기는 일반적으로 우하향한다. 여기에서 무차별곡선의 기울기는 곧 限界代替率을 의미한다. 한계대체율(marginal rate of substitution)이란 동일한 효용을 유지하려는 소비자의 ‘X재와 Y재의 主觀的인 교환비율’을 말한다. 즉, X재와 Y재의 소비조합에서 동일한 효용수준을 유지하려는 어떤 소비자가 Y재를 덜 갖는 대신 X재를 더 가짐으로써 종전과 동일한 총효용을 유지할 수 있을 때, Y재의 감소분(-ΔY)을 X재의 증가분(ΔY)으로 나눈 비율(
)을 ‘Y재로 표시한 X재의 限界代替率’(marginal rate of substitution of X in terms of Y, MRSXY)이라 한다. <그림1-3>에서 무차별곡선상의 한 점 A의 限界代替率은 A점에서 접하는 접선의 기울기(즉,-ΔX/ΔY)와 같으므로 무차별곡선의 기울기는 음의 값을 갖음을 알 수 있다.
<그림1-3>
Y재
ΔY A
ΔX
X재④ 무차별곡선은 원점에 대하여 볼록하다.
무차별곡선은 일반적으로 원점을 향하여 볼록한 형태를 취한다. (그러나 특수한 경우에는 그렇지 않을 수도 있다.) 무차별곡선이 원점에 대하여 볼록하다는 말은 한계대체율이 체감한다는 것을 의미한다. 동일한 총효용수준을 유지하면서 Y재를 X재로 계속해서 대체할 경우 Y재의 수량으로 평가한 X재 1단위의 중요도는 점점 감소하는 현상을 한계대체율체감의 법칙이라고 한다. 이것을 좀더 구체적으로 설명해 보기로 하자. 동일한 무차별곡선상에 있기 위해서는 두 재화(X, Y)의 여러 가지 소비조합이 가져다주는 총효용수준이 동일해야 한다. 그러므로 X재를 ΔX만큼 증가시킬 때 증가하는 총효용 (MUX×ΔX)의 크기는 Y재를 ΔY만큼 감소시킬 때 감소하는 총효용(-MUY×ΔY)의 크기와 同等해야 한다. 이것을 다시 수식으로 공식화하면 다음과 같다.
(1.1)
이식을 다시 쓰면 다음과 같이 된다.
(1.2)
(1.2)식의
는 한계대체울 MRSXY 이다. 그러므로 한계대체율 MRSXY 는 두 재화의 한계효용의 比率과 같다는 사실을 알 수 있다. 그런데 재화의 소비량이 증가함에 따라 그 재화의 한계효용은 점점 체감한다(한계효용체감의 법칙). X재의 소비량을 점차 증가시키면 X재의 한계효용은 점점 감소하고, Y재의 한계효용은 점점 커진다. 따라서 동일한 총효용수준을 유지하기 위하여(즉. 동일한 무차별곡선상에서)X재의 소비를 점차 증가시키고 그에 대응하여 Y재의 소비를 감소시키면 (1.2)식의 절대치는 점점 감소해 갈 것이다. 그러므로 소비자이론에서 한계대체율은 체감한다. 이와 같이 동일한 효용수준을 유지하면서 Y재를 X재로 대체해감에 따라 한계대체율이 체감하는 현상을 한계대체율체감의 법칙이라고 하는데, 이 법칙을 그림으로 표시하면 <그림1-3>에서 보는 바와 같이 원점에 대하여 볼록한 무차별곡선을 얻게 된다. <표1-2>의 (1)에서 한계대체율을 계산한 것이 (2)이다. 여기에서 분명히 알 수 있는 것은 한계대체율이 체감한다는 것이며, 이것을 그림으로 나타내면 <그림1-4>와 같이 원점에 대하여 볼록한 曲線으로 표시된다.
<표1-2>
(1) (2)
|
조합 |
X재량 |
Y재량 |
|
변동구간 |
ΔX |
(-ΔY) |
MRS |
|
A |
1 |
10 |
A~B |
1 |
-4 |
4 | |
|
B |
2 |
6 |
B~C |
1 |
-2 |
2 | |
|
C |
3 |
4 |
C~D |
1 |
-1 |
1 | |
|
D |
4 |
3 |
| ||||
<그림1-4>
Y재
10 4
6 2
4 1
30 1 2 3 4
X재
⑤ 원점에서 멀어질수록 무차별곡선은 보다 높은 수준의 선호를 반영한다.
<그림1-5>
Y재
G
F
B E II1
IX재
이는 앞에서 언급한 바와 같이 양질의 재화는 많이 소비할수록 좋다는 소비자들의 행동을 나타낸다. 이것은 곧 우리 인간세계에 존재하는 “많은 것이 적은 것보다 좋다.”는 현상을 말해 준다. <그림1-5>에서 소비자는 합리적인 행동을 한다고 가정하기 때문에 당연히 무차별곡선 I0 보다는I1, I1보다는 I2선상의 상품조합점을 선택한다. 예를 들면 소비자는 주어진 소득수준으로 무차별곡선I1 선상의 B점, I2선상의 G점, F점, E점등을 선택할 수 있다면 합리적인 소비자는 주어진 소득으로 적은 양의 상품소비보다 많은 양의 상품소비를 좋아하기 때문에 당연히 I1선상의 B점보다 더 많은 상품을 소비할 수 있는 I2선상의 G점, F점, E점들을 선택하며, G점. F점, E점 중에서 어떤 점을 最終的으로 선택할 것인가 하는 문제는 소비자의 취향이나 選好에 따라 결정된다. 이러한 원리에 따라 무차별곡선 선상의 점들을 선택할 수 있다면 결국 原點으로부터 멀리 떨어진 I2선상의 한점을 선택할 것이다. 따라서 원점에서 멀어질수록 무차별곡선은 보다 높은 수준의 선호를 반영한다.