일반적으로, f : G -> G' 이 준동형사상일 때...
① G 가 유한군이면, f(G) 도 유한군이고 |f(G)| 는 |G| 의 약수가 됩니다.
② G' 이 유한군이면, f(G) 도 유한군이고 |f(G)| 는 |G'| 의 약수가 됩니다.
③ G 가 순환군이고, G = <g> 이면 f(G) 도 순환군이고 f(G) = <f(g)> 입니다.
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Q1) 두 순환군 G = <a>, H = <b> 의 위수가 각각 9,6 일 때
G에서 H로의 준동형사상과 H에서 G로의 준동형사상을 결정하여라.
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G = <a> 의 위수가 9 이므로 G ~ Z_9 , H = <b> 의 위수가 6 이므로 H ~ Z_6 이 됩니다.
[Case1] f : Z_6 -> Z_9 인 준동형사상을 모두 구하는 방법.
f(Z_6) = <f(1)> 이고, |f(Z_6)| 은 |Z_6| 과 |Z_9| 의 공약수가 됩니다.
그러면 |f(Z_6)| = 1, 3 입니다.
① |f(Z_6)| = 1 일 경우...
Z_9 의 부분군 중에서 위수가 1 인 것은 {0} 뿐입니다.
그러므로 f(Z_6) = {0} 입니다. 그러면 f(1) = 0 으로 정의되는 사상이 1개 결정됩니다.
② |f(Z_6)| = 3 일 경우...
Z_9 의 부분군 중에서 위수가 3 인 것은 {0,3,6} 뿐입니다.
그러므로 f(Z_6) = {0,3,6} 입니다.
그러면 f(1) = 3 또는 f(1) = 6 으로 정의되는 사상이 2개 결정됩니다.
그러므로 f : Z_6 -> Z_9 인 준동형사상은 모두 3가지가 존재합니다.
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[Case2] f : Z_9 -> Z_6 인 준동형사상을 모두 구하는 방법.
f(Z_9) = <f(1)> 이고, |f(Z_9)| 는 |Z_9| 와 |Z_6| 의 공약수가 됩니다.
그러면 |f(Z_9)| = 1, 3 입니다.
① |f(Z_9)| = 1 일 경우...
Z_6 의 부분군 중에서 위수가 1 인 것은 {0} 뿐입니다.
그러므로 f(Z_9) = {0} 입니다. 그러면 f(1) = 0 으로 정의되는 사상이 1개 결정됩니다.
② |f(Z_9)| = 3 일 경우...
Z_6 의 부분군 중에서 위수가 3 인 것은 {0,2,4} 뿐입니다.
그러므로 f(Z_9) = {0,2,4} 입니다.
그러면 f(1) = 2 또는 f(1) = 4 으로 정의되는 사상이 2개 결정됩니다.
그러므로 f : Z_9 -> Z_6 인 준동형사상은 모두 3가지가 존재합니다.
① G 가 유한군이면, f(G) 도 유한군이고 |f(G)| 는 |G| 의 약수가 됩니다.
② G' 이 유한군이면, f(G) 도 유한군이고 |f(G)| 는 |G'| 의 약수가 됩니다.
③ G 가 순환군이고, G = <g> 이면 f(G) 도 순환군이고 f(G) = <f(g)> 입니다.
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Q1) 두 순환군 G = <a>, H = <b> 의 위수가 각각 9,6 일 때
G에서 H로의 준동형사상과 H에서 G로의 준동형사상을 결정하여라.
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G = <a> 의 위수가 9 이므로 G ~ Z_9 , H = <b> 의 위수가 6 이므로 H ~ Z_6 이 됩니다.
[Case1] f : Z_6 -> Z_9 인 준동형사상을 모두 구하는 방법.
f(Z_6) = <f(1)> 이고, |f(Z_6)| 은 |Z_6| 과 |Z_9| 의 공약수가 됩니다.
그러면 |f(Z_6)| = 1, 3 입니다.
① |f(Z_6)| = 1 일 경우...
Z_9 의 부분군 중에서 위수가 1 인 것은 {0} 뿐입니다.
그러므로 f(Z_6) = {0} 입니다. 그러면 f(1) = 0 으로 정의되는 사상이 1개 결정됩니다.
② |f(Z_6)| = 3 일 경우...
Z_9 의 부분군 중에서 위수가 3 인 것은 {0,3,6} 뿐입니다.
그러므로 f(Z_6) = {0,3,6} 입니다.
그러면 f(1) = 3 또는 f(1) = 6 으로 정의되는 사상이 2개 결정됩니다.
그러므로 f : Z_6 -> Z_9 인 준동형사상은 모두 3가지가 존재합니다.
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[Case2] f : Z_9 -> Z_6 인 준동형사상을 모두 구하는 방법.
f(Z_9) = <f(1)> 이고, |f(Z_9)| 는 |Z_9| 와 |Z_6| 의 공약수가 됩니다.
그러면 |f(Z_9)| = 1, 3 입니다.
① |f(Z_9)| = 1 일 경우...
Z_6 의 부분군 중에서 위수가 1 인 것은 {0} 뿐입니다.
그러므로 f(Z_9) = {0} 입니다. 그러면 f(1) = 0 으로 정의되는 사상이 1개 결정됩니다.
② |f(Z_9)| = 3 일 경우...
Z_6 의 부분군 중에서 위수가 3 인 것은 {0,2,4} 뿐입니다.
그러므로 f(Z_9) = {0,2,4} 입니다.
그러면 f(1) = 2 또는 f(1) = 4 으로 정의되는 사상이 2개 결정됩니다.
그러므로 f : Z_9 -> Z_6 인 준동형사상은 모두 3가지가 존재합니다.
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