Simple Group 의 Commutator Subgroup 과 Center 에 대하여...

[폭풍속으로]

Simple Group G 는 정규부분군이 G, {e} 2가지 밖에 존재하지 않습니다.

그런데 Commutator Subgroup 과 Center 는 모두 G 의 정규부분군입니다.

그래서 Simple Group 의 Commutator Subgroup 과 Center 는 아래와 같습니다.

____________|_Abelian Group_|_NonAbelian Group
Commutator_|______{e}______|______G
Center______|_______G______|______{e}


[위의 표에 대한 해설]

1. Abelian Group 의 Commutator Subgroup
☞ Commutator Subgroup 은 Commutator aba-¹b-¹ 로 생성되는 부분군입니다.
그런데 Abelian Group 은 교환법칙이 성립하므로 aba-¹b-¹ = e 가 됩니다.
그러므로 e 로 생성되는 부분군은 {e} 일 수 밖에 없습니다.

2. Abelian Group 의 Center
☞ Center 는 군의 모든 원소와 가환이 되는 원소들의 부분집합입니다.
그런데 Abelian Group 은 모든 원소가 가환이 되므로 Center 는 G 이어야 합니다.

3. NonAbelian Group 의 Commutator Subgroup
☞ Commutator Subgroup 을 C 라고 했을 때,
전체 군이 단순군이므로 C = {e} 이거나 아니면 C = G 이어야 합니다.
이때, C = {e} 라면 임의의 교환자(Commutator) aba-¹b-¹ 에 대하여 aba-¹b-¹ = e 가 됩니다.
그러면 ab = ba 가 되어 G 가 가환군이 됩니다.
이것은 모순이므로 C = {e} 일 수는 없습니다.
그러므로 C = G 이어야 합니다.

4. NonAbelian Group 의 Center
☞ Center 를 Z 라 했을 때,
전체 군이 단순군이므로 Z = {e} 이거나 아니면 Z = G 이어야 합니다.
그런데 Z = G 라면 G 가 가환군이 됩니다.
이것은 모순이므로 Z = G 일 수는 없습니다.
그러므로 Z = {e} 이어야 합니다.