Re:48번. 추이적이면 집합의 분할에 대한 세포가 한개뿐입니다.

[폭풍속으로]

[질문] 48. Show that for σ∈S_A,
<σ> is transitive on A iff O_a,σ = A for some a∈A.
where O_a,σ = { σ^n(a) | n∈Z }

[정의] H≤S_A is transitive on A ⇔ ∀a,b∈A ∃σ∈H ; σ(a)=b

[증명] (=>) <σ> 가 A위에서 추이적이라고 가정합니다.
a를 A의 고정된 한 원소라고 놓습니다.
① 그러면 O_a,σ 의 정의에 의해 분명 O_a,σ ⊆ A 입니다.
② b∈A 라고 가정합니다.
그러면 이미 주어진 a∈A 와 b∈A 에 대하여 <σ> 가 A위에서 추이적이므로
적당한 τ∈<σ>가 존재하여 τ(a)=b 입니다.
이때, τ∈<σ> 이므로 적당한 n∈Z 이 존재하여 τ=σ^n 입니다.
그러면 b=τ(a)=σ^n (a) 이므로 b∈O_a,σ 입니다. 그러면 A ⊆ O_a,σ 입니다.
①,②에 의해 O_a,σ = A 입니다.

(<=) 적당한 a∈A에 대하여 O_a,σ = A 라고 가정합니다.
<σ> 가 A위에서 추이적임을 보이기 위해 x,y∈A 라고 놓습니다.
그러면 O_a,σ = A 이므로 적당한 n,m∈Z가 존재하여 x=σ^n(a), y=σ^m(a)입니다.
그러면 a=σ^-n(x) 이므로 y = σ^m(a) = σ^m(σ^-n(x)) = σ^(m-n)(x) 이고
σ^(m-n) ∈<σ> 이므로 <σ> 가 A위에서 추이적입니다.