Re:Inn(G) ◁ Aut(G)

[폭풍속으로]

[질문] Let G be a group and let Inn(G) be the set of all inner automorphism of G.
Show than Inn(G) is a normal subgroup of Aut(G)

[답변] Aut(G) = { f : G -> G | f ; isomorphism }
Inn(G) = { i_g : G -> G | g∈G }, i_g (x) = gxg-¹

① 모든 i_g 가 동형사상인 것은 자명하므로 Inn(G) ⊂ Aut(G) 입니다.

② Aut(G) 의 항등원은 G 에서의 항등사상인 id 입니다. 단, id : G -> G, id(x) = x
G 의 항등원 e 에 대하여 내적자기동형사상 i_e 를 고려합니다.
그러면 임의의 x∈G 에 대하여 i_e (x) = exe-¹ = x = id(x) 입니다.
그러면 id = i_e ∈ Inn(G) 이므로 Inn(G) ≠ Φ 입니다.
그러면 Inn(G) 는 Aut(G) 의 공집합이 아닌 부분집합으로써 Aut(G) 의 항등원 id 를 포함합니다.

③ i_g , i_h ∈ Inn(G) 라고 가정합니다.
임의의 x∈G 에 대하여
(i_g * i_h)(x) = i_g (i_h (x)) = i_g (hxh-¹) = g(hxh-¹)g-¹
= (gh)x(h-¹g-¹) = (gh)x(gh)-¹ = i_(gh) (x) 이므로
i_g * i_h = i_(gh) ∈Inn(G) 입니다.
즉, Inn(G) 는 연산에 대하여 닫혀있습니다.

④ i_g ∈ Inn(G) 라고 가정합니다.
임의의 x∈G 에 대하여
(i_g * i_g-¹)(x) = i_g (i_g-¹ (x)) = i_g (g-¹x(g-¹)-¹) = g(g-¹xg)g-¹
= (e)x(e-¹) = i_e (x) 이므로
(i_g)-¹ = i_g-¹ ∈ Inn(G) 입니다.
즉, Inn(G) 는 임의의 원소에 대한 역원을 포함합니다.

⑤ i_g ∈ Inn(G), f ∈ Aut(G) 라고 가정합니다.
임의의 x∈G 에 대하여
(f i_g f-¹ )(x) = f( i_g (f-¹(x))) = f(g f-¹(x) g-¹)
= f(g) f(f-¹(x)) f(g-¹) = f(g) (x) f(g)-¹ = i_f(g) (x) 이므로
f i_g f-¹ = i_f(g) ∈ Inn(G) 입니다.

그러므로 Inn(G) 는 Aut(G) 의 정규부분군입니다.