27. To what group mentioned in the text the additive group R/Z isomorphic?
(R/Z 군에 대해서 하나도 모르겠어요..뭐랄까..개념이 안선다고 해야할까나...R/Z에 대해서는 true or false문제도 제대로 못풀었거든요)
☞ 그림없이 말로 설명을 할려니까 어떻게 시작을 해야 할지를 모르겠네요... ^ㅡ^;;
우선 수직선을 그리시고요, 그다음에 보통 수직선 그리는 것처럼 정수점을 표시하세요.
그러면 수직선 전체는 군 R 이고 정수점은 R 의 부분군 Z 를 나타내는 것입니다.
우선, 형식적으로 R/Z = { r+Z | r∈R } 입니다.
여기서, 하나의 잉여류 r+Z 에 대해서 설명하겠습니다.
r+Z = { r+m | m∈Z } 입니다.
이것은 수직선 상에서 정수점 들을 r 만큼 평행이동한 것입니다.
그런데 r+Z 를 잘 관찰해 보시면 아시겠지만 굳이 r 만큼 평행이동할 필요가 없다는 것입니다.
r 의 정수부분을 제외한 소수부분 만큼만 평행이동을 시키면 되는 것이죠.
그래서 R/Z = { r+Z | r∈R } = { x+Z | x∈[0,1) } 이 된다는 것이 아주 중요합니다.
아마 교재에 U 라고 주어진 군이 있을거에요.
U = { c∈C | |c| = 1 } ... 복소평면상에서 중심이 원점이고 반지름이 1인 단위원 위에 있는 복소수의 곱셈군입니다.
R/Z 는 U 와 동형입니다.
그러면 동형사상을 정의하는게 상당히 중요한데요...
R/Z = { x+Z | x∈[0,1) }, U = { e^ix | x∈[0,1) } 입니다.
그러면 f : R/Z -> U, f(x+Z) = e^ix 로 정의한 사상 f 가 동형사상이 됩니다.
[True or false]
c.R/Z under addition has no element of order 2.
-> false (그런데 어떻게 찾아내야할지 모르겠어요 예제 하나만 들어주시지않을래요?)
☞ 위 명제가 거짓이라는 것은 위수가 2인 원소가 있다는 것입니다.
r+Z 의 위수가 2라면 (r+Z) + (r+Z) = Z 입니다.
그러면 잉여류의 연산에 의해 (r+Z) + (r+Z) = 2r + Z 이므로 2r ∈ Z 인 r 을 찾으면 됩니다.
제일 간단한 것은 r = 1/2 입니다.
실제로, (1/2 + Z) + (1/2 + Z) = 1 + Z = Z 이므로 (1/2 + Z) 의 위수는 2 입니다.
d.R/Z under addition has elements of order n for all n∈N
->당연히...몰르겠습니다
☞ 참입니다.
위의 c 번을 참고하시면 1/n + Z 의 위수가 n 이 됨을 알 수 있습니다.
e. R/Z under addition has an infinite number of elements of order 4.
->false(왜 그렇죠? 전 처음에 True라고 생각했거든요)
☞ 위수가 4인 원소는 1/4 + Z, 3/4 + Z 의 2개 뿐입니다.
실제로, 위수가 n 인 원소의 개수는 n 과 n 보다 작으면서 n 과 서로소인 자연수의 개수와 일치합니다.
(R/Z 군에 대해서 하나도 모르겠어요..뭐랄까..개념이 안선다고 해야할까나...R/Z에 대해서는 true or false문제도 제대로 못풀었거든요)
☞ 그림없이 말로 설명을 할려니까 어떻게 시작을 해야 할지를 모르겠네요... ^ㅡ^;;
우선 수직선을 그리시고요, 그다음에 보통 수직선 그리는 것처럼 정수점을 표시하세요.
그러면 수직선 전체는 군 R 이고 정수점은 R 의 부분군 Z 를 나타내는 것입니다.
우선, 형식적으로 R/Z = { r+Z | r∈R } 입니다.
여기서, 하나의 잉여류 r+Z 에 대해서 설명하겠습니다.
r+Z = { r+m | m∈Z } 입니다.
이것은 수직선 상에서 정수점 들을 r 만큼 평행이동한 것입니다.
그런데 r+Z 를 잘 관찰해 보시면 아시겠지만 굳이 r 만큼 평행이동할 필요가 없다는 것입니다.
r 의 정수부분을 제외한 소수부분 만큼만 평행이동을 시키면 되는 것이죠.
그래서 R/Z = { r+Z | r∈R } = { x+Z | x∈[0,1) } 이 된다는 것이 아주 중요합니다.
아마 교재에 U 라고 주어진 군이 있을거에요.
U = { c∈C | |c| = 1 } ... 복소평면상에서 중심이 원점이고 반지름이 1인 단위원 위에 있는 복소수의 곱셈군입니다.
R/Z 는 U 와 동형입니다.
그러면 동형사상을 정의하는게 상당히 중요한데요...
R/Z = { x+Z | x∈[0,1) }, U = { e^ix | x∈[0,1) } 입니다.
그러면 f : R/Z -> U, f(x+Z) = e^ix 로 정의한 사상 f 가 동형사상이 됩니다.
[True or false]
c.R/Z under addition has no element of order 2.
-> false (그런데 어떻게 찾아내야할지 모르겠어요 예제 하나만 들어주시지않을래요?)
☞ 위 명제가 거짓이라는 것은 위수가 2인 원소가 있다는 것입니다.
r+Z 의 위수가 2라면 (r+Z) + (r+Z) = Z 입니다.
그러면 잉여류의 연산에 의해 (r+Z) + (r+Z) = 2r + Z 이므로 2r ∈ Z 인 r 을 찾으면 됩니다.
제일 간단한 것은 r = 1/2 입니다.
실제로, (1/2 + Z) + (1/2 + Z) = 1 + Z = Z 이므로 (1/2 + Z) 의 위수는 2 입니다.
d.R/Z under addition has elements of order n for all n∈N
->당연히...몰르겠습니다
☞ 참입니다.
위의 c 번을 참고하시면 1/n + Z 의 위수가 n 이 됨을 알 수 있습니다.
e. R/Z under addition has an infinite number of elements of order 4.
->false(왜 그렇죠? 전 처음에 True라고 생각했거든요)
☞ 위수가 4인 원소는 1/4 + Z, 3/4 + Z 의 2개 뿐입니다.
실제로, 위수가 n 인 원소의 개수는 n 과 n 보다 작으면서 n 과 서로소인 자연수의 개수와 일치합니다.
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