Mark each of the following true or false.
1. Every function from a finite set onto itself must be one to one.
-> true
왜 일대일 함수가 되는지 모르겠어요..--;;;
2.Every group G is isomorphic to a subgroup of S_G.
-> true(제 생각)
이것은 제가 예전에 풀어놓았을때는 false라고 해놓았더라구요
그런데 이게 케일리 정리에 의해서 참이 되지 않나요??
3. Every subgroup of an abelian group is abelian.
-> true
왜 그렇죠???
4. Every element of a group generates a cyclic subfeoup of the group.
->true
어떤 군이 있을때 그 군의 원소들은 순환 부분군을 생성한다..
이 해석이 맞나요?? 직관적으로 봤을때 true라고 생각되는데요
왜 그런지 설명해라..라고 하면 못하겠더라구요
5. S_7 is isomorphic to the subgroup of all those elements of S_8 that leave the number 8 fixed.
-> S_7은 S_8의 8개는 남겨놓고 나머지 원소들의 부분군과 동형이다.
이 해석이 맞나요??^^*
이게 동형이 되나요???
6. S_7 is isomorphic to the subgroup of all those elements of S_8 that leave the number 5 fixed.
-> 5번과 같은 문제인데요^^ 5번을 잘 모르니 이것도 모르겠더라구요^^*
7.일반적인 군 G위에서 두 원소 a, b의 위수가 유한이면 ab의 위수도 유한일까?
또, 두 원소 a, b의 위수가 무한이면 ab의 위수도 무한일까?
첫번째는 맞는것같은데요 두번째는 잘 모르겠네요..--;; 저의 생각이 너무 짧죠??ㅜㅜ
-Let A be a nonempty set. What type of algebraic sturcture mentionde previously in the text is given by the set of all functions mapping A into itself under function composition??
공집합 A가 있다고 하자. A에서 A로 가는 모든 함수들의 집합에서 언급되어야할 대수적 구조는 무엇인가....? 이 해석이 맞나요??^^*
monoid라고 하는데요 왜 그런지 잘 모르겠어요 아무래도 제가 지금 해석을 잘못하지 않았나 싶네요^^ 군이라는 말이 안나왔는데 갑자기 왜 monoid가 나오는것일까요?^^*
-군 G위에서 임의의 선형방정식 ax=b가 유일한 해를 갖는다는 것을
G 위의 함수를 이용한 동치조건으로 설명하라.앞에서 공부할때
[G는 군일 필요충분조건은 임의의 선형 방정식 ax=b가 유일한 해를 갖는다.]를 배웠었잖아요 그런데 함수를 이용해서 동치조건은 어떻게 해야하는가요???
그리고 제가 머리를 가장 싸맸던 문제입니다^^
section 6 48.
Show that a group that has only a finite number subgroups must be a finite group
어떻게 잡고 시작을 해야할지 길을 모르겠어요
49. If A is a set, then a subgroup H of S_A is transitive on A if for each a,b∈A thete exists ∮∈H (시그마 표시가 없어서 대신 이거으로 표현했습니다) such that ∮(a)=b. Show that if A is a nonempty finite set, then there exists a finite cyclic group H of S_A with lHl=lAl that is transitive on A.
풀이 Let A={a_1,a_2,........a_n} and lAl=n<무한대
Let H = { ∮ l ∮(a_1)=a_2, ∮(a_2)=a_3,.....∮(a_n-1)=a_n, ∮(a_n)= a_1}
={ ∮l ∮(a_i)=a_(i+1) , ∮(a_n)=a_1, 1≤i≤n-1}
a_1+∮(a_n)=∮(∮(a_n-1))=∮(∮(.......∮(a_1))....) = (∮∮....∮)(a_1)=∮^n(a_1)
따라서 ∮^n(a_1)=a_1이므로 lHl=n
이게 제 풀이인데요 맞는지 확인 부탁드릴께요^^*
50. Referring to the definition before Exercise 11 and to Exercise 49, Show that for ∮∈S_A , <∮> is transitive on A iff O_a,∮ = A for some a∈A
여기에서 O_a,∮={∮^n(a) l n∈Z}
이거는 도저히 못풀겠더라구요 ~ㅜㅜ 어제 새벽까지 머리를 쥐어짰지만...흑흑
며칠전에 제가 작년에 여기에 들어와서 공부하면서 질문한것들 보니깐 참 뿌듯하기도 하면서 제가 좀 한심스럽게 느껴지더라구요 다시 공부하는건데 왜 생각이 나지 않는지 말이에요..
에고..오늘도 공부한만큼 제가 모르는거 한번 올려봤습니다^^
따가운 질책도 괜찮습니다^^ 부탁드립니다~~~^^*