[질문1] 상군이 G라는 군을 N=정규부분군 으로 나눈거잖아요..
그럼 G라는 군이 N에 의해 분할된다고 설명할수 있나요??
즉 같은 잉여류안에 있는 원소들은 동치관계에 있다고 써야 하나요??
만약 된다면 환(R)을 이데알(I)로 나눈 상환에서도 이 관계가 성립하나요??
[답변] 상군(또는 잉여군) 의 도입은 우선 잉여류의 정의에서 출발합니다.
G 를 군이라 하고, N 을 G 의 임의의 부분군(여기서는 N 이 정규부분군일 필요는 없습니다.)이라고 가정합니다.
이때, G 에서 동치관계를 N 을 이용하여 정의합니다.
G 의 원소 a,b 에 대하여 a~b 라는 것을 a-¹b ∈N 로 정의합니다.
그러면 위에서 정의한 관계 ~ 는 G 위의 동치관계가 됩니다.
~ 가 G 위의 동치관계이므로 ~ 에 의한 동치류를 잡을 수 있습니다.
G 의 원소 a 를 포함하는 동치류의 원소 구조가 어떻게 되는지 살펴보겠습니다.
일반적으로, 동치관계 ~ 에 의한 a 를 포함하는 동치류를 a/~ 로 표현합니다.
a/~ = { b∈G | a~b } = { b∈G | a-¹b ∈N } = { b∈G | ∃n∈N ; a-¹b=n }
= { b∈G | ∃n∈N ; b=an } = { an∈G | n∈N } = aN
여기서, aN 을 a 를 포함하는 N 의 잉여류라고 부릅니다.
즉, 잉여류는 위에서 정의한 동치관계 ~ 에 의한 동치류가 되는 것입니다.
또, 위에서 정의한 동치관계 ~에 의한 동치류에 의해 G 가 분할이 됩니다.
이것은 대부분의 집합론 교재에 설명이 되어 있는 "분할과 동치관계" 의 상관관계 때문입니다.
즉, "동치관계가 정의되면 그 동치관계에 의한 동치류로 원 집합이 분할된다" 는 것입니다.
그러면 위에서 계속 언급을 했지만 잉여류라는 것 자체가 하나의 동치류이므로
같은 잉여류에 속한 원소들은 서로 동치관계에 있는 원소일 수 밖에 없습니다.
자~ 이제 잉여군(상군) 이 무엇인지 살펴보겠습니다.
잉여군이라는 것은 위에서 설명한 동치관계에 의한 동치류의 집합에 적당한 연산을 정의하여 군의 구조를 만든 것입니다.
이때, 연산은 잘 알고 계시는 것처럼 aN*bN = abN 입니다.
그런데 이 연산은 언제나 잘정의되는 것이 아니라 N 이 G 의 정규부분군일 때만 성립합니다.
그래서 대부분의 대수학교재에는 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건이 N 이 G 의 정규부분군이라는 정리가 설명되어 있습니다.
잉여환(상환) 은 기본적으로 잉여군에서 출발합니다.
R 이 환이고 N 이 R 의 아이디얼이라고 가정합니다.
이때, 연산을 덧셈으로만 제한하여 R 과 N 을 살펴본다면 R 은 가환환이고 N 은 R 의 부분군이 됩니다.
그런데 가환환의 모든 부분군은 정규부분군이므로 N 은 R 의 정규부분군이 됩니다.
그러면 R/N 이라는 잉여군을 생각할 수 있습니다.
이때, R/N 을 군으로 만드는 연산은 (a+N) + (b+N) = (a+b) + N 입니다.
이 잉여군 R/N 에 곱셈을 정의하여 환의 구조로 만든 것이 바로 잉여환입니다.
그러므로 잉여환과 아이디얼 사이에도 님께서 말씀하신 분할이라는 개념이 적용됩니다.
[질문2] 유한군G의 부분군H에 의한 좌잉여류들 사이에 다음과 같은 *를 정의하면
(aH)*(bH)=(ab)H, *는 잘 정의된 연산이다..
를 증명하는데요..
ahbh＇에서 hb를 bh˚로 바꿀수 있나요??
정규부분군이라고 나오지 않았으니 좌잉여류하고 우잉여류가 같다고 할 수 없으니
이렇게 바꿔 표현할 수 없나요??
그럼 이 문제는 증명이 아닌 반증을 해야하나요??
[답변] (aH)*(bH)=(ab)H 이 잘 정의된 연산일 필요충분조건은 H 가 G 의 정규부분군인 것입니다.
그러므로 H 가 G 의 정규부분군이 아니면 연산은 잘 정의되지 않습니다.
그러므로 반례는 H 가 G 의 정규부분군이 아닌 것에서 찾으면 됩니다.
가장 간단한 예는 3차 대칭군 S_3 에서 찾으실 수 있습니다.
그럼 G라는 군이 N에 의해 분할된다고 설명할수 있나요??
즉 같은 잉여류안에 있는 원소들은 동치관계에 있다고 써야 하나요??
만약 된다면 환(R)을 이데알(I)로 나눈 상환에서도 이 관계가 성립하나요??
[답변] 상군(또는 잉여군) 의 도입은 우선 잉여류의 정의에서 출발합니다.
G 를 군이라 하고, N 을 G 의 임의의 부분군(여기서는 N 이 정규부분군일 필요는 없습니다.)이라고 가정합니다.
이때, G 에서 동치관계를 N 을 이용하여 정의합니다.
G 의 원소 a,b 에 대하여 a~b 라는 것을 a-¹b ∈N 로 정의합니다.
그러면 위에서 정의한 관계 ~ 는 G 위의 동치관계가 됩니다.
~ 가 G 위의 동치관계이므로 ~ 에 의한 동치류를 잡을 수 있습니다.
G 의 원소 a 를 포함하는 동치류의 원소 구조가 어떻게 되는지 살펴보겠습니다.
일반적으로, 동치관계 ~ 에 의한 a 를 포함하는 동치류를 a/~ 로 표현합니다.
a/~ = { b∈G | a~b } = { b∈G | a-¹b ∈N } = { b∈G | ∃n∈N ; a-¹b=n }
= { b∈G | ∃n∈N ; b=an } = { an∈G | n∈N } = aN
여기서, aN 을 a 를 포함하는 N 의 잉여류라고 부릅니다.
즉, 잉여류는 위에서 정의한 동치관계 ~ 에 의한 동치류가 되는 것입니다.
또, 위에서 정의한 동치관계 ~에 의한 동치류에 의해 G 가 분할이 됩니다.
이것은 대부분의 집합론 교재에 설명이 되어 있는 "분할과 동치관계" 의 상관관계 때문입니다.
즉, "동치관계가 정의되면 그 동치관계에 의한 동치류로 원 집합이 분할된다" 는 것입니다.
그러면 위에서 계속 언급을 했지만 잉여류라는 것 자체가 하나의 동치류이므로
같은 잉여류에 속한 원소들은 서로 동치관계에 있는 원소일 수 밖에 없습니다.
자~ 이제 잉여군(상군) 이 무엇인지 살펴보겠습니다.
잉여군이라는 것은 위에서 설명한 동치관계에 의한 동치류의 집합에 적당한 연산을 정의하여 군의 구조를 만든 것입니다.
이때, 연산은 잘 알고 계시는 것처럼 aN*bN = abN 입니다.
그런데 이 연산은 언제나 잘정의되는 것이 아니라 N 이 G 의 정규부분군일 때만 성립합니다.
그래서 대부분의 대수학교재에는 이 연산이 잘 정의될 필요충분조건이 N 이 G 의 정규부분군이라는 정리가 설명되어 있습니다.
잉여환(상환) 은 기본적으로 잉여군에서 출발합니다.
R 이 환이고 N 이 R 의 아이디얼이라고 가정합니다.
이때, 연산을 덧셈으로만 제한하여 R 과 N 을 살펴본다면 R 은 가환환이고 N 은 R 의 부분군이 됩니다.
그런데 가환환의 모든 부분군은 정규부분군이므로 N 은 R 의 정규부분군이 됩니다.
그러면 R/N 이라는 잉여군을 생각할 수 있습니다.
이때, R/N 을 군으로 만드는 연산은 (a+N) + (b+N) = (a+b) + N 입니다.
이 잉여군 R/N 에 곱셈을 정의하여 환의 구조로 만든 것이 바로 잉여환입니다.
그러므로 잉여환과 아이디얼 사이에도 님께서 말씀하신 분할이라는 개념이 적용됩니다.
[질문2] 유한군G의 부분군H에 의한 좌잉여류들 사이에 다음과 같은 *를 정의하면
(aH)*(bH)=(ab)H, *는 잘 정의된 연산이다..
를 증명하는데요..
ahbh＇에서 hb를 bh˚로 바꿀수 있나요??
정규부분군이라고 나오지 않았으니 좌잉여류하고 우잉여류가 같다고 할 수 없으니
이렇게 바꿔 표현할 수 없나요??
그럼 이 문제는 증명이 아닌 반증을 해야하나요??
[답변] (aH)*(bH)=(ab)H 이 잘 정의된 연산일 필요충분조건은 H 가 G 의 정규부분군인 것입니다.
그러므로 H 가 G 의 정규부분군이 아니면 연산은 잘 정의되지 않습니다.
그러므로 반례는 H 가 G 의 정규부분군이 아닌 것에서 찾으면 됩니다.
가장 간단한 예는 3차 대칭군 S_3 에서 찾으실 수 있습니다.
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