G = <a> 이고 |G| = n 이라 하고 S = { g∈G | g^m = e }로 놓자.
① m|n이므로 적당한 정수 k에 대하여 n=km이다.
이때, a^k 로 생성되는 순환부분군의 원소개수를 생각해본다.
|<a^k>| = n/(n,k) = n/k = m 이므로 <a^k>의 모든 원소들은 m제곱하면 그 결과가 e이다. 즉, 모든 b∈<a^k>에 대하여 b^m = e 이다.
그러므로 <a^k> ⊆ S 이다. 그러면 m = |<a^k>| ≤|S| 이다.
즉, x^m = e 의 해가 적어도 m개는 존재한다.
② 위수가 m인 부분군은 <a^k>가 유일하므로 <a^k> = S 이다. 그러면 m = |<a^k>| = |S| 이다.
그러므로 x^m = e 의 해는 정확히 m개가 존재한다.
--------------------- [원본 메세지] ---------------------
위수 n인 순환군 G에서 방정식 X^m=e는 n을 나누는 각 양의정수 m에 대하여G 내에서 m 개의 해를 가지고 있음을 보여라입니다.
정수의 정렬성 가지고 풀려고 했는데 잘 안되네요. 점심시간인것 같아서 올립니다.
① m|n이므로 적당한 정수 k에 대하여 n=km이다.
이때, a^k 로 생성되는 순환부분군의 원소개수를 생각해본다.
|<a^k>| = n/(n,k) = n/k = m 이므로 <a^k>의 모든 원소들은 m제곱하면 그 결과가 e이다. 즉, 모든 b∈<a^k>에 대하여 b^m = e 이다.
그러므로 <a^k> ⊆ S 이다. 그러면 m = |<a^k>| ≤|S| 이다.
즉, x^m = e 의 해가 적어도 m개는 존재한다.
② 위수가 m인 부분군은 <a^k>가 유일하므로 <a^k> = S 이다. 그러면 m = |<a^k>| = |S| 이다.
그러므로 x^m = e 의 해는 정확히 m개가 존재한다.
--------------------- [원본 메세지] ---------------------
위수 n인 순환군 G에서 방정식 X^m=e는 n을 나누는 각 양의정수 m에 대하여G 내에서 m 개의 해를 가지고 있음을 보여라입니다.
정수의 정렬성 가지고 풀려고 했는데 잘 안되네요. 점심시간인것 같아서 올립니다.
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