[질문] A 가 integral domain 이면 A[x] 도 integral domain 이다.
[답변] A 가 integral domain 이므로 A 는 단위원을 갖는 가환환입니다.
그러면 A[x] 는 단위원을 갖는 가환환이 됩니다.
그러면 A[x] 가 정역임을 보이기 위해서는 f(x)*g(x) = 0 이고 f(x) ≠ 0 라고 가정하고 g(x) = 0 임을 보이면 됩니다.
f(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0
g(x) = b_m x^m + b_(m-1) x^(m-1) + ... + b_1 x + b_0 라고 놓습니다.
f(x) ≠ 0 이므로 일반성을 잃지 않고 a_n ≠ 0 라고 할 수 있습니다.
f(x)*g(x) = a_n b_m x^(n+m) + ... + a_0 b_0 입니다.
<최고차항의 계수를 고려합니다>
① f(x)*g(x) = 0 이므로 a_n b_m = 0 이어야 하고 a_n ≠ 0 이므로 b_m = 0 입니다.
그러면 f(x)*g(x) = a_n b_(m-1) x^(n+m-1) + ... + a_0 b_0 가 됩니다.
② f(x)*g(x) = 0 이므로 a_n b_(m-1) = 0 이어야 하고 a_n ≠ 0 이므로 b_(m-1) = 0 입니다.
그러면 f(x)*g(x) = a_n b_(m-2) x^(n+m-2) + ... + a_0 b_0 가 됩니다.
③ f(x)*g(x) = 0 이므로 a_n b_(m-2) = 0 이어야 하고 a_n ≠ 0 이므로 b_(m-2) = 0 입니다.
그러면 f(x)*g(x) = a_n b_(m-3) x^(n+m-3) + ... + a_0 b_0 가 됩니다.
④ 위의 과정을 반복하면 b_m = 0, b_(m-1) = 0, b_(m-2) = 0, ... , b_0 = 0 가 됩니다.
그러면 g(x) = b_m x^m + b_(m-1) x^(m-1) + ... + b_1 x + b_0 = 0 가 됩니다.
그러므로 A[x] 는 integral domain 입니다.
[답변] A 가 integral domain 이므로 A 는 단위원을 갖는 가환환입니다.
그러면 A[x] 는 단위원을 갖는 가환환이 됩니다.
그러면 A[x] 가 정역임을 보이기 위해서는 f(x)*g(x) = 0 이고 f(x) ≠ 0 라고 가정하고 g(x) = 0 임을 보이면 됩니다.
f(x) = a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_1 x + a_0
g(x) = b_m x^m + b_(m-1) x^(m-1) + ... + b_1 x + b_0 라고 놓습니다.
f(x) ≠ 0 이므로 일반성을 잃지 않고 a_n ≠ 0 라고 할 수 있습니다.
f(x)*g(x) = a_n b_m x^(n+m) + ... + a_0 b_0 입니다.
<최고차항의 계수를 고려합니다>
① f(x)*g(x) = 0 이므로 a_n b_m = 0 이어야 하고 a_n ≠ 0 이므로 b_m = 0 입니다.
그러면 f(x)*g(x) = a_n b_(m-1) x^(n+m-1) + ... + a_0 b_0 가 됩니다.
② f(x)*g(x) = 0 이므로 a_n b_(m-1) = 0 이어야 하고 a_n ≠ 0 이므로 b_(m-1) = 0 입니다.
그러면 f(x)*g(x) = a_n b_(m-2) x^(n+m-2) + ... + a_0 b_0 가 됩니다.
③ f(x)*g(x) = 0 이므로 a_n b_(m-2) = 0 이어야 하고 a_n ≠ 0 이므로 b_(m-2) = 0 입니다.
그러면 f(x)*g(x) = a_n b_(m-3) x^(n+m-3) + ... + a_0 b_0 가 됩니다.
④ 위의 과정을 반복하면 b_m = 0, b_(m-1) = 0, b_(m-2) = 0, ... , b_0 = 0 가 됩니다.
그러면 g(x) = b_m x^m + b_(m-1) x^(m-1) + ... + b_1 x + b_0 = 0 가 됩니다.
그러므로 A[x] 는 integral domain 입니다.
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