[문제] 3. An element a of a ring R is nilpotent if a^n = 0 for some n∈Z+.
Show that if a and b are nilpotent elements of commutative ring,
then a+b is so nilpotent.
[증명] a,b∈R 가 멱영원이라고 가정합니다.
그러면 적당한 자연수 n,m∈N 에 대하여 a^n = 0, b^m = 0 입니다.
(a+b)^nm = nmC0 a^nm + nmC1 a^(nm-1) b + nmC2 a^(nm-2) b^2 + ... + nmCnm b^nm
이때, 각 이항계수는 a^n 을 포함하거나 b^m을 포함합니다.
그런데 a^n = 0, b^m = 0 이므로 각 이항계수는 모두 0 입니다.
그러면 (a+b)^nm = 0 이므로 a+b는 멱영원입니다.
Show that if a and b are nilpotent elements of commutative ring,
then a+b is so nilpotent.
[증명] a,b∈R 가 멱영원이라고 가정합니다.
그러면 적당한 자연수 n,m∈N 에 대하여 a^n = 0, b^m = 0 입니다.
(a+b)^nm = nmC0 a^nm + nmC1 a^(nm-1) b + nmC2 a^(nm-2) b^2 + ... + nmCnm b^nm
이때, 각 이항계수는 a^n 을 포함하거나 b^m을 포함합니다.
그런데 a^n = 0, b^m = 0 이므로 각 이항계수는 모두 0 입니다.
그러면 (a+b)^nm = 0 이므로 a+b는 멱영원입니다.
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