대수학 代數學 (algebra)
수학의 한 분야.
영어의 algebra는 al-jabr라는 아라비아어에서 유래하며, 방정식(方程式)의 이항을 의미한다. 우리말의 대수학은 중국어로 번역한 것을 답습하여 쓰고 있으며, 수 대신 문자를 써서 문제 해결을 쉽게 하고, 또 수학적 법칙을 일반적으로 또 간명하게 나타내는 것을 뜻한다. 어쨌든 방정식을 푸는 것이 이 분야의 출발점이었으나, 오늘날의 대수학은 그것에 그치지 않고 널리 수학 일반의 기초 분야가 된다. 역사적으로 대수학의 발전을 살펴보면 다음과 같다.
【이집트 ·바빌로니아시대】 이집트시대의 파피루스에 ‘어떤 수의 2/3와 그 1/2과 3/7을 더하면 33이 된다. 그 수는 얼마인가?’라는 문제가 씌어 있는 것이 있다. 이것은 1차방정식의 문제이다. 이집트인은 분수를 잘 썼다. 바빌로니아의 설형문자(楔形文字)로 씌어진 점토판을 해독해 보면 2차방정식이나 때로는 3차방정식의 문제가 있다. 중국의 오래 된 수학책 《구장산술(九章算術)》 등에도 저차방정식(低次方程式)에 귀착되는 문제가 있다. 그러나 이것은 모두 숫자방정식(계수가 수인 대수방정식)이며 그 해법의 일반론이 당시에 알려져 있었다는 증거는 없다.
【그리스시대】 유클리드의 《기하학원본》에는 현대어로 번역하면 2차방정식의 해법이론이 되는 부분이 있다. 그러나 기하학적으로 기술하였으며 대수학적인 기호는 전혀 쓰지 않았다. 그리스 후기의 디오판토스(Diophantos)는 바빌로니아의 영향을 받아 원시적인 대수기호를 사용하였다. 그러나 대단히 불편한 것이었다.
【인도와 아라비아】 인도에서는 BC 2세기쯤부터 자리잡기 기수법이 쓰였고 빈 자리를 나타내는 기호로 0이 사용되었다. 대수적인 사고방식이 진보하여 바스카라(Bhaskara)는 2차방정식이 음근(陰根)을 가진다는 것을 알고 있었다. 아라비아는 그리스와 인도의 두 문명의 영향을 받아 그것을 다음 시대의 유럽에 전하였다. 우마르 하이얌(‘Umar al-Hayy嚆m)은 3차방정식을 분류하여 그 해법을 연구하였다. 앞에서 말한 것과 같이 대수학이라는 영어는 아라비아어가 어원이다. 십자군(十字軍)에 의하여 유럽과 근동(近東) 사이의 교통이 열리고 13세기가 되자 동서양 간의 상업에 종사한 피보나치(Fibonacci) 등에 의하여 아라비아의 대수학이 서양에 수입되었다. 그것이 서양수학의 발달에 중대한 영향을 주었다.
【16세기의 이탈리아 수학자에서 비에트까지】 중세 말의 이탈리아는 동서교통의 요지였기 때문에 문화가 번성하였다. 그 무렵의 이탈리아 수학자들은 3차, 4차방정식의 일반해법을 알려고 경쟁했고 발견한 학자는 그 해법을 비밀로 하려고 하였다. 그것을 저서로 발표한 것은 G.카르다노였다. 다음 시대의 프랑스의 F.비에트는 처음으로 문자방정식(계수가 a, b, c 등인 문자로 표시되는 방정식 ax2＋bx＋c＝0 등)을 도입하여 비로소 근세 대수학의 싹이 텄다. 기법이 한층 정리된 것은 다음 시대의 R.데카르트 등에 의해서였다.
【17 ·18세기의 대수학】 17세기는 근대해석학이 창시된 세기이다. 그것도 F.비에트, R.데카르트에 의하여 대수학이 정비되었기 때문에 가능하였다. G.W.라이프니츠는 특히 기호의 중요성을 강조하였다. 18세기의 L.오일러는 대수적 계산에 허수(虛數)를 사용하였다. 이 시대에는 형식적 계산이 발달하여 그리스적(的)인 논리적 근거가 다소 경시되었다.
【19세기 이후】 S.d.페로에 의해 3차방정식의 해법이 L.페라리에 의해 4차방정식의 해법이 밝혀진 데 이어 5차방정식의 해법을 발견하려는 것이 18세기 후반부터의 수학자의 꿈이었다. 19세기 초에 N.H.아벨은 드디어 사칙연산과 멱근(冪根)을 구하는 일을 유한회(有限回) 사용하는 해법, 이른바 대수적 해법은 일반적인 5차 이상의 방정식에 대해서는 존재하지 않는다는 것을 증명하였다. 이어 군(群)의 방식을 도입하여 대수방정식의 해법이론을 일반적으로 해명한 것은 E.갈루아였다. 군은 연산에 의하여 정의된, 이른바 ‘대수계’의 일종이다. 환(環) ·체(體) 등도 역시 대수계이다. 19세기의 대수학은 이러한 대수계의 일반론으로 변모하고, 또한 선형대수학(線型代數學)이 전개되었다. 그것은 해석학 ·기하학에 대해서도 기초적인 구실을 하고 있다. 현재 한국은 고등학교까지는 복소수까지의 수의 계산을 중심으로 다루고 있고, 대수식의 계산 ·1차 및 2차까지의 방정식 ·부등식 문제 ·순열 ·조합 ·이항정리 ·다항정리 ·로그 ·간단한 수열(급수)의 범위에서 가르치고 있다.
<참고>
알콰리즈미 [780~850]
알마문치세(813~833)에 활약한 페르시아계 수학자 ·천문학자 ·지리학자인 당시의 최대 과학자.
활동분야 : 수학, 천문학, 지리학
주요저서 : 《복원(復元)과 대비의 계산》
이슬람교도로서, 아랍식 기수법(記數法)을 뜻하는 알고리즘(algorism)은 이 이름에서 전용된 것이다. 그리스와 인도의 지식을 종합하였으며, 그 산수는 아랍인과 유럽인에게 인도의 기수법을 소개하였다. 대수학 저서인 《복원(復元)과 대비의 계산》도 중요한 것으로, 거기에는 1차방정식과 2차방정식의 해석적 해법이 포함되어 있다. 또 2차방정식의 기하학적 해법도 보여 주고 있다. 또한 대수학을 뜻하는 영어의 algebra는 아랍어로 복원을 뜻하는 al-jabr에서 유래한다.
그의 천문표와 삼각법의 표에는 사인함수나 탄젠트함수도 포함되어 있다. 지구의 경 ·위도 측정에도 종사하였는데, 프톨레마이오스의 지리학의 본문과 지도의 양쪽을 개정하여 《지구의 표면》이라고 개제하였다.
수학의 한 분야.
영어의 algebra는 al-jabr라는 아라비아어에서 유래하며, 방정식(方程式)의 이항을 의미한다. 우리말의 대수학은 중국어로 번역한 것을 답습하여 쓰고 있으며, 수 대신 문자를 써서 문제 해결을 쉽게 하고, 또 수학적 법칙을 일반적으로 또 간명하게 나타내는 것을 뜻한다. 어쨌든 방정식을 푸는 것이 이 분야의 출발점이었으나, 오늘날의 대수학은 그것에 그치지 않고 널리 수학 일반의 기초 분야가 된다. 역사적으로 대수학의 발전을 살펴보면 다음과 같다.
【이집트 ·바빌로니아시대】 이집트시대의 파피루스에 ‘어떤 수의 2/3와 그 1/2과 3/7을 더하면 33이 된다. 그 수는 얼마인가?’라는 문제가 씌어 있는 것이 있다. 이것은 1차방정식의 문제이다. 이집트인은 분수를 잘 썼다. 바빌로니아의 설형문자(楔形文字)로 씌어진 점토판을 해독해 보면 2차방정식이나 때로는 3차방정식의 문제가 있다. 중국의 오래 된 수학책 《구장산술(九章算術)》 등에도 저차방정식(低次方程式)에 귀착되는 문제가 있다. 그러나 이것은 모두 숫자방정식(계수가 수인 대수방정식)이며 그 해법의 일반론이 당시에 알려져 있었다는 증거는 없다.
【그리스시대】 유클리드의 《기하학원본》에는 현대어로 번역하면 2차방정식의 해법이론이 되는 부분이 있다. 그러나 기하학적으로 기술하였으며 대수학적인 기호는 전혀 쓰지 않았다. 그리스 후기의 디오판토스(Diophantos)는 바빌로니아의 영향을 받아 원시적인 대수기호를 사용하였다. 그러나 대단히 불편한 것이었다.
【인도와 아라비아】 인도에서는 BC 2세기쯤부터 자리잡기 기수법이 쓰였고 빈 자리를 나타내는 기호로 0이 사용되었다. 대수적인 사고방식이 진보하여 바스카라(Bhaskara)는 2차방정식이 음근(陰根)을 가진다는 것을 알고 있었다. 아라비아는 그리스와 인도의 두 문명의 영향을 받아 그것을 다음 시대의 유럽에 전하였다. 우마르 하이얌(‘Umar al-Hayy嚆m)은 3차방정식을 분류하여 그 해법을 연구하였다. 앞에서 말한 것과 같이 대수학이라는 영어는 아라비아어가 어원이다. 십자군(十字軍)에 의하여 유럽과 근동(近東) 사이의 교통이 열리고 13세기가 되자 동서양 간의 상업에 종사한 피보나치(Fibonacci) 등에 의하여 아라비아의 대수학이 서양에 수입되었다. 그것이 서양수학의 발달에 중대한 영향을 주었다.
【16세기의 이탈리아 수학자에서 비에트까지】 중세 말의 이탈리아는 동서교통의 요지였기 때문에 문화가 번성하였다. 그 무렵의 이탈리아 수학자들은 3차, 4차방정식의 일반해법을 알려고 경쟁했고 발견한 학자는 그 해법을 비밀로 하려고 하였다. 그것을 저서로 발표한 것은 G.카르다노였다. 다음 시대의 프랑스의 F.비에트는 처음으로 문자방정식(계수가 a, b, c 등인 문자로 표시되는 방정식 ax2＋bx＋c＝0 등)을 도입하여 비로소 근세 대수학의 싹이 텄다. 기법이 한층 정리된 것은 다음 시대의 R.데카르트 등에 의해서였다.
【17 ·18세기의 대수학】 17세기는 근대해석학이 창시된 세기이다. 그것도 F.비에트, R.데카르트에 의하여 대수학이 정비되었기 때문에 가능하였다. G.W.라이프니츠는 특히 기호의 중요성을 강조하였다. 18세기의 L.오일러는 대수적 계산에 허수(虛數)를 사용하였다. 이 시대에는 형식적 계산이 발달하여 그리스적(的)인 논리적 근거가 다소 경시되었다.
【19세기 이후】 S.d.페로에 의해 3차방정식의 해법이 L.페라리에 의해 4차방정식의 해법이 밝혀진 데 이어 5차방정식의 해법을 발견하려는 것이 18세기 후반부터의 수학자의 꿈이었다. 19세기 초에 N.H.아벨은 드디어 사칙연산과 멱근(冪根)을 구하는 일을 유한회(有限回) 사용하는 해법, 이른바 대수적 해법은 일반적인 5차 이상의 방정식에 대해서는 존재하지 않는다는 것을 증명하였다. 이어 군(群)의 방식을 도입하여 대수방정식의 해법이론을 일반적으로 해명한 것은 E.갈루아였다. 군은 연산에 의하여 정의된, 이른바 ‘대수계’의 일종이다. 환(環) ·체(體) 등도 역시 대수계이다. 19세기의 대수학은 이러한 대수계의 일반론으로 변모하고, 또한 선형대수학(線型代數學)이 전개되었다. 그것은 해석학 ·기하학에 대해서도 기초적인 구실을 하고 있다. 현재 한국은 고등학교까지는 복소수까지의 수의 계산을 중심으로 다루고 있고, 대수식의 계산 ·1차 및 2차까지의 방정식 ·부등식 문제 ·순열 ·조합 ·이항정리 ·다항정리 ·로그 ·간단한 수열(급수)의 범위에서 가르치고 있다.
<참고>
알콰리즈미 [780~850]
알마문치세(813~833)에 활약한 페르시아계 수학자 ·천문학자 ·지리학자인 당시의 최대 과학자.
활동분야 : 수학, 천문학, 지리학
주요저서 : 《복원(復元)과 대비의 계산》
이슬람교도로서, 아랍식 기수법(記數法)을 뜻하는 알고리즘(algorism)은 이 이름에서 전용된 것이다. 그리스와 인도의 지식을 종합하였으며, 그 산수는 아랍인과 유럽인에게 인도의 기수법을 소개하였다. 대수학 저서인 《복원(復元)과 대비의 계산》도 중요한 것으로, 거기에는 1차방정식과 2차방정식의 해석적 해법이 포함되어 있다. 또 2차방정식의 기하학적 해법도 보여 주고 있다. 또한 대수학을 뜻하는 영어의 algebra는 아랍어로 복원을 뜻하는 al-jabr에서 유래한다.
그의 천문표와 삼각법의 표에는 사인함수나 탄젠트함수도 포함되어 있다. 지구의 경 ·위도 측정에도 종사하였는데, 프톨레마이오스의 지리학의 본문과 지도의 양쪽을 개정하여 《지구의 표면》이라고 개제하였다.
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