생활속의 수학
첫번째, 랜턴입니다. 손전등이라도 하죠.
밤에 랜턴을 키면, 어두운 밤에 한 줄기 빛처럼 쭉 뻗어나가죠. 절대로 빛이 퍼지거나 모아지지가 않습니다.
이것의 이유는 바로 수학에서 포물선을 응용한 것인데, 구체적으로는 일단 포물선의 그림을 그리고, 그 포물선의 초점을 찍습니다. 여기서, 초점의 의미는 한 곳(초점)에서 모아진다는 뜻인데, 이 포물선의 대칭축에 평행한 어떠한 빛을 포물선에 주입시키면, 그것은 포물선의 곡선에 다아서, 반사해가지고 무조건 초점을 지나게 됩니다.
이제 이것을 거꾸로 생각해보면, 광원이 포물선 밖이 아니라, 초점에 위치해있다면, 이곳에서 나온 빛은 포물선의 곡선에서 반사되어, 이 포물선의 대칭축에 평행하게 빛이 나가게 됩니다. 이것은 어떠한 빛이라도 마찬가지입니다.
이것을 이용하여, 랜턴을 만든 것입니다. 실제로 랜턴을 뜯어보면, 포물선 모양의 거울이 있고, 이 포물선의 초점 부분에 광원이 있는것을 볼 수 있습니다.
두번째로 A4용지를 들수 있습니다.
컴퓨터에서 A4 용지의 규격을 설정할 때 보면 그 크기가 297mm×210mm이라고 되어 있지요. 쉽게 300mm×200mm로 정하면 훨씬 편할텐데, 왜 이렇게 복잡한 숫자의 크기가 되었을까요? 그렇다고 가장 아름답게 보인다는 황금비율도 아니랍니다. 황금비는 (1 + 루트5) / 2≒1.618인 반면, A4 용지의 폭에 대한 길이의 비는 약 1.414이기 때문이지요.
대부분의 종이는 제지소에서 만든 큰 규격의 전지를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자르는 과정을 반복하면서 만들어집니다. 그런데 이렇게 절반으로 자르다 보면, 처음과는 다른 모양의 종이가 나올 수 있습니다. 가로 세로의 비율이 달라진다는 말씀이지요.
예를 들어 300mm×200mm와 같이 폭에 대한 길이의 비가 1.5인 종이를 절반으로 자르면, 200mm×150mm 크기로 만들어지고 이때의 비는 1.333(4/3)입니다. 1.333의 비를 가진 직사각형은 1.5의 비를 가진 처음 종이에 비해 뭉툭해 보입니다. 이런 종이를 실생활에 필요한 용도로 이용하기 위해서는 일부를 잘라내어 보기 좋은 형태로 만들어야 하니까 아까운 종이와 펄프를 낭비하게 됩니다.
독일공업규격 위원회(Deutsche Industrie Normen)는 큰 종이를 잘라서 작은 종이를 만드는 과정에서 종이의 낭비를 최소로 줄일 수 있는 종이의 형태와 크기를 제안했습니다. 적절한 규격을 선택했을 때, 타자지의 절반을 그대로 편지지로 사용하고 편지지의 절반을 그대로 메모지로 사용한다면 종이를 많이 절약할 수 있을 것이라고 여겼지요. 이렇게 해서 등장한 것이 A4 용지입니다.
절반으로 자르는 과정에서 만들어지는 종이를 그대로 사용하기 위해서는 어떻게 해야 할까요? 우선 전지의 규격이 보기 좋아야하고, 이를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자른 작은 종이들이 전지의 규격과 같으면 바람직하다. 수학적으로 말하면 서로 닮은꼴이어야 한다는 얘기이지요.
여기서 수학을 이용하여야 하니 좀 머리를 쓰셔야 합니다.
전지의 길이 대 폭의 비를 x:1이라고 하면 이것을 절반으로 자른 종이의 길이 대 폭의 비는 1: x/2가 됩니다. 두 직사각형이 서로 닮은꼴이므로 비례식 x:1 = 1: x/2 가 성립하고, 이로부터 이차 방정식 x2=2를 얻게 됩니다. 그래서 x=루트2 가 되지요. 이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 로 택하면, 반으로 자르는 과정에서 이 비가 항상 유지되겠지요. 는 황금비는 아니지만 눈으로 보아서 그렇게 큰 차이가 나지 않습니다.
첫번째, 랜턴입니다. 손전등이라도 하죠.
밤에 랜턴을 키면, 어두운 밤에 한 줄기 빛처럼 쭉 뻗어나가죠. 절대로 빛이 퍼지거나 모아지지가 않습니다.
이것의 이유는 바로 수학에서 포물선을 응용한 것인데, 구체적으로는 일단 포물선의 그림을 그리고, 그 포물선의 초점을 찍습니다. 여기서, 초점의 의미는 한 곳(초점)에서 모아진다는 뜻인데, 이 포물선의 대칭축에 평행한 어떠한 빛을 포물선에 주입시키면, 그것은 포물선의 곡선에 다아서, 반사해가지고 무조건 초점을 지나게 됩니다.
이제 이것을 거꾸로 생각해보면, 광원이 포물선 밖이 아니라, 초점에 위치해있다면, 이곳에서 나온 빛은 포물선의 곡선에서 반사되어, 이 포물선의 대칭축에 평행하게 빛이 나가게 됩니다. 이것은 어떠한 빛이라도 마찬가지입니다.
이것을 이용하여, 랜턴을 만든 것입니다. 실제로 랜턴을 뜯어보면, 포물선 모양의 거울이 있고, 이 포물선의 초점 부분에 광원이 있는것을 볼 수 있습니다.
두번째로 A4용지를 들수 있습니다.
컴퓨터에서 A4 용지의 규격을 설정할 때 보면 그 크기가 297mm×210mm이라고 되어 있지요. 쉽게 300mm×200mm로 정하면 훨씬 편할텐데, 왜 이렇게 복잡한 숫자의 크기가 되었을까요? 그렇다고 가장 아름답게 보인다는 황금비율도 아니랍니다. 황금비는 (1 + 루트5) / 2≒1.618인 반면, A4 용지의 폭에 대한 길이의 비는 약 1.414이기 때문이지요.
대부분의 종이는 제지소에서 만든 큰 규격의 전지를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자르는 과정을 반복하면서 만들어집니다. 그런데 이렇게 절반으로 자르다 보면, 처음과는 다른 모양의 종이가 나올 수 있습니다. 가로 세로의 비율이 달라진다는 말씀이지요.
예를 들어 300mm×200mm와 같이 폭에 대한 길이의 비가 1.5인 종이를 절반으로 자르면, 200mm×150mm 크기로 만들어지고 이때의 비는 1.333(4/3)입니다. 1.333의 비를 가진 직사각형은 1.5의 비를 가진 처음 종이에 비해 뭉툭해 보입니다. 이런 종이를 실생활에 필요한 용도로 이용하기 위해서는 일부를 잘라내어 보기 좋은 형태로 만들어야 하니까 아까운 종이와 펄프를 낭비하게 됩니다.
독일공업규격 위원회(Deutsche Industrie Normen)는 큰 종이를 잘라서 작은 종이를 만드는 과정에서 종이의 낭비를 최소로 줄일 수 있는 종이의 형태와 크기를 제안했습니다. 적절한 규격을 선택했을 때, 타자지의 절반을 그대로 편지지로 사용하고 편지지의 절반을 그대로 메모지로 사용한다면 종이를 많이 절약할 수 있을 것이라고 여겼지요. 이렇게 해서 등장한 것이 A4 용지입니다.
절반으로 자르는 과정에서 만들어지는 종이를 그대로 사용하기 위해서는 어떻게 해야 할까요? 우선 전지의 규격이 보기 좋아야하고, 이를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자른 작은 종이들이 전지의 규격과 같으면 바람직하다. 수학적으로 말하면 서로 닮은꼴이어야 한다는 얘기이지요.
여기서 수학을 이용하여야 하니 좀 머리를 쓰셔야 합니다.
전지의 길이 대 폭의 비를 x:1이라고 하면 이것을 절반으로 자른 종이의 길이 대 폭의 비는 1: x/2가 됩니다. 두 직사각형이 서로 닮은꼴이므로 비례식 x:1 = 1: x/2 가 성립하고, 이로부터 이차 방정식 x2=2를 얻게 됩니다. 그래서 x=루트2 가 되지요. 이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 로 택하면, 반으로 자르는 과정에서 이 비가 항상 유지되겠지요. 는 황금비는 아니지만 눈으로 보아서 그렇게 큰 차이가 나지 않습니다.
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