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제가 다른 곳에 올린 글인데...
여기에 올려도 좋을 것 같아서 이렇게 올려 봅니다.
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잠이 안와서 야심한 밤에 한번 올려 봅니다. ^^;
아래 그림은 말 안장 그림입니다.
그림에도 나오지만, 이 곡면의 방정식은 다음과 같습니다.
z = x^2 - y^2
한 가운데가 말 안장 점(saddle point)이지요.
말 위에 올려 놓은 말 안장이 머리 속에 떠오르나요??
아래 그림의 말 안장점은 x 축방향으로 이동 할 때는 극소점이 되고,
y 축 방향으로 이동할 때는 극대점이 됩니다.
그래서 말 안장점은 x축, y축 편미분이 모두 0 이지만...
불안정한 평형점인 곳이지요.
위 그림은 원문에 있었던 그림이구요.
말안장 그림과 비교하기 편하라고 여기에도 올렸습니다.
위 그림의 가운데는 어느쪽 방향으로도 극소점 이므로 안정한 평형점입니다.
하지만, 가운데 놓는 전하의 부호가 바뀌면...
불안정한 평형점이 되겠지요.
위 그림을 위아래로 뒤집은 형태를 생각하면 됩니다.
음...
굳이 사족을 달자면...
위의 곡면은 비유클리드 기하학의 대표적인 곡면들이죠.
고등학생들을 위해 부연 설명을 하면...
직선은 측지선(geodesic)의 개념으로 설명합니다.
측지선이란 두 점 사이를 연결하는 수 많은 곡선중 그 길이가 가장 짧은 선을 말합니다.
평면 위에서의 측지선은 우리가 이미 알고 있는 '직선'이지요.
그럼 구면 위에서의 측지선은 어떨까요?
그것은 두 점과 구의 중심, 이렇게 세점을 지나는 평면과 구의 교선이 됩니다.
이러한 원을 대원(great circle)이라고 하지요.
대원은 구에서 얻을 수 있는 가장 큰 원입니다.
이 대원이 대권항로(배나 비행기의 항로중 가장 짧은 항로)가 되는 것이지요.
구면 위에서의 직선(측지선)은 바로 대원입니다.
유클리드의 5번째 공리를 만족하는 기하학을 유클리드 기하학이라고 합니다.
5번째 공리 : 직선과 직선 밖의 한점에 대해서,
직선과 평행이고 그 점을 지나는 직선은 오직 하나 존재한다.
고등학교 과정까지의 기하학은 모두 유클리드 기하학입니다.
비유클리드 기하학은 대학교 과정이지요.
5번째 공리와 동치 조건이 '삼각형의 내각의 합은 180도 이다.'입니다.
삼각형의 내각의 합이 180도 라는 사실은 정리가 아니고,
유클리드 기하학의 정의 입니다.
리만(Riemann) 기하학은 다른 말로 타원 기하학이라고 합니다.
위 그림의 두번째 그림의 곡면이 그것에 해당하지요.
쉬운 예(특수한 예)로 앞에 말한 구면을 생각하면 됩니다.
구면기하학(구의 내부나 외부는 생각 안하고 표면만 생각함)에서는 5번째 공리를 만족하지 않지요.
직선(대원) 외부의 점을 지나고 그 직선(대원)과 평행인 직선(대원)은 없습니다.
모든 직선(대원)은 항상 두 점에서 만나기 때문이죠.
그리고 구면삼각형은 그 내각의 합이 180도 보다 큽니다.
참고로, 구면의 반지름을 r 구면삼각형의 세 각을 a, b, c(라디안) 라고 할 때
구면삼각형의 넓이는 (a + b + c - pi)r^2 입니다.
이것은 구면의 넓이는 4 pi r^2 이라는 사실만 이용하면 증명할 수 있습니다.
어려운 미분기하학 사용하지 않고서 말이죠...
로바체프스키(Lobachevsky) 기하학은 다른 말로 쌍곡선기하학이라고 합니다.
첫번째 그림인 말안장이 그것에 해당합니다.
말안장의 방정식이 z = x^2 - y^2 이라고 했는데,
z 에 1, 2, 3, ... 따위의 상수를 넣으면 그 곡선(평면 z=1 과 말안장의 교선, 다른 말로 등고선)은
쌍곡선이 된다는 것을 쉽게 알 수 있을 것입니다.
직선 외부의 점을 지나고 그 직선과 평행인 직선은 무한히 많습니다.
그리고 그 곡면에서의 삼각형은 그 내각의 합이 180도 보다 작습니다.
우리가 사는 우주가 열린 우주(계속 팽창함)냐?
닫힌 우주(언젠가는 팽창을 멈추고 다시 수축함)냐?
하는 문제가 위의 쌍곡선 기하학, 타원 기하학과도 관련이 있습니다.
자세한 것은 저도 잘 모르므로 생략 ^^;
심심하신 분은 아래 링크를 참조하세요.
http://100.naver.com/100.php?id=81771&cid=AD1057742420807&adflag=1
벡터의 내적(dot product)에는 다음과 같은 성질이 있지요.
a = (a1, a2, a3)인 3차원 공간 벡터라고 하면,
|a|^2 = a*a
그런데, 관점을 바꾸어서, 길이를 다음과 같이 정의합니다.
|a| = sqrt(a*a)
이렇게 하면 내적을 어떻게 정의 하느냐에 따라서 길이가 달라지게 됩니다.
a*b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 가 원래 내적의 정의이지만,
a*b = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3) / | a1 + b1 |
a*b = (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3) x (a1 - b1)^2
등등 새로운 내적을 정의할 수 있습니다.
(위의 내적이 올바르게 정의된(well defined) 건지는 저도 헷갈리네요 ㅡㅡ;;
내적이 만족해야 할 몇가지 성질이 있는데...)
dot product를 확장한 개념의 일반화된 내적을 inner product 라고 합니다.
내적에 따라 길이가 달라지면 두 점 사이를 연결하는 가장 짧은 곡선(측지선)도 달라지게 됩니다.
결국, 내적을 다르게 정의한다는 말은 비유클리드 공간을 만든다는 뜻입니다.
자세한 내용은 '미분기하학'이라는 분야에서 나옵니다.
아인슈타인의 중력 이론에 의하면, 질량을 가진 물체에 의해서 공간이 휘어지죠.
우리가 사는 실제 세계는 유클리드 공간이 아니라 비유클리드 공간입니다.
아인슈타인의 중력이론을 배우기 위해서는 미분기하학을 배워야 하죠.
ps. 사족이 더 길어졌네요 ㅡㅡ;;
백과사전을 읽어보니 그것의 내용하고 제 글하구 안 맞는 부분이 있네요.
내가 틀린건가, 백과사전이 틀린건가... ㅡㅡ;;
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