아폴로니우스(Apollonius, 기원전 260?∼200)

작성자폭풍속으로|작성시간04.06.07|조회수592 목록 댓글 0

아폴로니우스 아폴로니우스(Apollonius, 기원전 260?∼200)는 아르키메데스(Archimedes, 기원전 286?∼212)보다 40년 정도 뒤에 활약한 수학자이다. 그는 알렉산드리아에서 수학을 연구하고 뒤에 그 곳에서 교수가 되었다. 아폴로니오스의 연구 가운데 가장 유명한 것은 원뿔 곡선에 관한 연구였다. 그는 그 때까지의 연구를 정리하고 그것에 자신의 연구 성과를 더 보태어 유명한 「원뿔곡선론」을 남겼다. 원뿔곡선에 관한 그의 업적을 기술하기 전에 먼저 매나이크모스의 원뿔곡선에 관한 연구 성과에 대하여 기술하자. 소피스트와 플라톤학파의 사람들은 (1) 임의로 주어진 각을 3등분 하라. (2)주어진 정육면체의 두 배의 부피를 갖는 정육면체를 작도하라(델로스의 문제) (3) 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도하라. 라고 하는 3가지 어려운 문제를 연구했는데 작도 방법을 자와 컴퍼스, 곧 직선과 원에 한정시켜서는 해결할 수 없다는 것이 차차 분명하게 되었다. 이리하여 사람들은 점차 직선과 원이 아닌 곡선으로 눈을 놀리게 되었다. 이러한 정황에서 유클리드 문하에서 플라톤의 친구였던 메나이크모스(Menaichmos, 기원전 375∼325)는 원뿔곡선의 개념에 도달했다. 원뿔곡선이라는 것은 원뿔을 하나의 평면으로 자를 때, 잘린 면에 나타나는 원뿔의 옆면과 평면의 교선인데, 메나이크모스는 하나의 모선에 수직인 평면으로 원뿔을 자른 단면의 곡선을 생각했다. 그리고 원뿔의 꼭지점에서 각의 크기 α가 직각보다 작은 직원뿔을 한 모선에 수직인 평면으로 잘랐을 때에 단면에 나타나는 고선(그림 1), α가 직각인 직원뿔을 한 모선에 수직인 평면으로 잘랐을 때에 단면에 나타나는 곡선(그림 2), 그리고 α가 직각보다 큰 직원뿔을 한 모선에 수직인 평면으로 잘랐을 때에 단면에 나타나는 곡선(그림 3)을 생각했다. 이것들이 각각 오늘날 우리가 타원, 포물선, 쌍곡선이라고 하는 것이다. 보기를 들면 메나이크모스는 다음과 같은 고찰을 하여 정리하였다. 지금 꼭지점에서 꼭지점을 지나고 표면에 수직인 평면으로 자른 단면의 각의 크기가 직각인 직원뿔을 한 모선에 수직인 평면으로 잘라 얻은 포물선의 꼭지점을 O라 하고 포물선의 대칭축 위의 한 점 A에서, 단면인 평면에 축과 수직인 직선을 그어 포물선과 만나는 점을 P라 한다(그림 4). 이 때 P는 A를 지나고 이 직원뿔의 축에 수직인 평면으로 이 직원뿔을 자른 단면인 원 위에 있다. 지금 A를 지나는 이 원의 지름을 라 하면 이다. 그런데 는 일정하므로 를 상수로 하 여 로 놓을 수 있다. 따라서 위 식은 로 쓸 수 있다. 그런데 와 는 모두 일정 하기 때문에 를 놓으면 포물선의 방정식은 로 된다. 이것을 현대식으로 말하면 포물선의 꼭지점을 원점, 대칭축을 축으로 하면 포물선의 방정식은 , 가 원점이 아닌 곳에서 만나는 점의 좌표가 좌표가 이 되는 것을 이용하여 델로스의 문제를 해결했다고 한다. 그런데 아폴로니오스는 메나이크모스와 같이 여러 가지의 직원뿔을 하나로 모선에 수직인 평면으로 자르는 대신, 단 하나의 직원뿔을 여러 가지 평면으로 잘랐다. 그리고 이 평면이 밑면과 이루는 각이 모선과 밑면이 이루는 각보다 작은가, 같은가, 큰가에 따라서 위와 같은 방정식으로 나타내어 인 것을 보였다. 단, 은 일정한 길이이고, 는 일정한 상 수 이 다.(그림6) 아폴로니우스는 여기서 인 것에 주목하여 이것들을 각각 모자라다 (ellipsis) 일치하다 (parabole) 남다 (hyperbol) 이라 하였다. 이것이 타원 (ellipse) 포물선 (parabole) 쌍곡선 (hyperbola) 의 어원이다. 이상과 같이 원뿔을 하나의 평면으로 잘라 얻은 곡선을 통틀어 원뿔곡선이라 하는데, 이 원뿔곡선에 관하여 아폴로니오스는 더없이 상세하게 연구함으로써 그는 원뿔곡선의 중요한 성질의 대부분을 알게 되었다. 보기를 들면 위에 정의 도니 타원은 두 정점에서 거리의 합이 일정한 점이 자취라는 것을 다음과 같이 증명하였다. 지금 한 직원뿔을 하나의 평면으로 잘라 그 단면에 타원이 나타나고 있는 경우, 이 직원뿔에 내접하고, 또한 이 단면인 평면에도 접하는 구를 생각하면 그와 같은 구는 두 개 있다. 이 두 개의 구와 단면을 접점을 (그림 7)와 같이 각각 F, F`으로 한다. 이 두 개의 구는 직원뿔과 각각 하나의 원을 그리며 접하고 있다. 지금 타원 위에 임의의 하나의 점 P를 잡고 직원뿔의 꼭지점 S와 점 P를 잇는 직선이 구와 원뿔이 접하며 만든 두 개의 원과 만나는 점을 각각 A, B라 하면 와 는 모 두 한 점 P에서 같은 구에 그은 접 선의 길이이기 때문에 그 길이는 같다. 또, 와 도 모두 한 점 P에서 같은 구에 그은 선 은 접선의 길이이기 때문에 그 길이는 같다. 이 두 식을 변끼리 더하면 그런데 의 길이는 점 P를 타원 위의 어디에 잡아도 일 정하다. 앞 서 만들어진 두 원을 품은 평면은 평행이고, 원의 중심을 잇는 직선은 이들 두 평면에 수직이기 때문이다. 따라서 타원 위의 임의의 점 P에서 두 정점 F, F`에 이르는 거리의 합은 언제나 일정하다. 또한 아폴로니오스는 두 정점 A와 B에 이르는 거리의 비가 일정한 값 을 갖는 점 P의 자취를 연구하였다. (그림 8) 이제 ∠APB를 이등분하여 직선이 직선 AB와 만나는 점을 C라 하면 C는 선분 AB를 으로 내분하는 점이 다.(그림 9) 따라서 점 C 는 정점이다. 또, ∠APB의 바깥쪽 각을 이등분하는 직선이 직선 AB와 만나는 점을 D라 하면 D는 선분 AB를 으로 외분하는 점 이다. 따 라서 점 D는 정점이다. 그런데 위의 작도에 따르면 ∠CPD는 직각이다. 따라서, 점 P는 일정한 선분 CD를 지름으로 하는 일정한 원 위에 있다. 이 원을 아폴로니오스의 원이라 한다. 그리고 주어진 세 원 모두에 접하는 원 C를 그리는 문 제는 아폴로니오스의 문제라고 한다. (그림 10) -수학사랑통권 9호에서 발췌-








	<그림10>