각종 특수한 꼴의 소수가 무한하다는 것에 대해서,
많이 알려진 것들만 대충 정리 & 증명해 보았습니다. ^^
과외하실 때 활용하시면 효과 좋을껍니다. ㅋ
그럼
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1. 소수가 무한히 많음을 보여라.
pf) 소수가 p(1), p(2), ... , p(n) 으로 유한하다고 하자.
이때 p(1) ·p(2)·...·p(n) + 1 은 위의 모든 소수로 나누어지지 않는다.
따라서 위의 소수가 아닌 또다른 소수가 존재하므로, 소수가 n개로
유한하다는 것에 모순이다.
주의) 이때 p(1) ·p(2)·...·p(n) + 1 이것은 소수가 아닙니다. -_-;
단지 새로운 소인수를 가지고 있다는 것에 의미가 있을 뿐입니다.
2. 4k+3 꼴의 소수가 무한히 많음을 보여라.
pf) 4k+1 꼴의 소수가 3, 7, ... , p(n) 으로 유한하다고 가정하자.
그럼 4(7·11·...·p(n))+3 꼴의 수는 위의 소수들로 나누어 지지 않는다.
한편 4k+3 꼴의 수는 분명 (4a+1)(4b+3) 꼴의 곱으로 표현이 되어야 한다.
따라서 4k+3 꼴의 수는 반드시 4k+3 꼴의 소인수를 가져야 하는데, 위에서
가정된 소수외의 다른 것이어야 한다. 따라서 소수가 n개로 유한하다는
가정에 모순이므로 무한히 많다.
3. 4k+1 꼴의 소수가 무한히 많음을 보여라.
pf) n을 임의의 양수라고 하고 Q=4(n!)^2 +1 이라고 두자.
p가 Q의 소인수, 즉, p|Q 라고 하자.
Q = 4(n!)^2 + 1 ≡ 0 (mod p) 이다.
=> (2n!)^2 ≡ -1 (mod p)
따라서 -1 은 p 의 2차 잉여이다.
한편, 오일러의 정리에 의해 -1 의 르장드르 값은 (-1)^{(p-1)/2} 이고,
-1 은 이차 잉여이므로 (p-1)/2 는 짝수. 따라서 p = 4k +1 꼴이다.
따라서 Q는 n 보다 큰 4k+1 꼴의 소인수를 가진다.
n 은 임의의 수이므로 4k+1 꼴의 소수는 무한히 많다.
4. 5k+4 꼴의 소수가 무한히 많음을 보여라.
pf) 역시 n을 임의의 양수라고 하고 Q=5(n!)^2 -1 이라고 두자.
3번과 비슷하게 Q는 n보다 큰 5k+4 꼴의 소인수를 가짐을 보일 것이다.
만약 p가 Q의 소인수, 즉, p|Q 라고 하면,
Q=5(n!)^2 - 1 ≡ 0 (mod p) 이다.
=> 5(n!)^2 ≡ 1 (mod p) (양변에 5를 곱하면)
=> (5n!)^2 ≡ 5 (mod p)
따라서 5는 p의 이차 잉여이다.
따라서 가우스의 상호법칙에 의해 p는 역시 5의 이차 잉여이다.
한편 5의 이차 잉여는 1 또는 4 뿐이므로 p=5k+1 또는 5k+4 꼴의 수 이다.
한편, Q≡4(mod 5) 이므로 Q의 모든 약수가 5k+1 꼴이어서는 안된다.
따라서 어떤 5k+4 꼴인 p' 이 존재한다.
당연하게 n이하의 모든 수는 Q를 나누지 않으므로 p' 은 n 보다 크다.
따라서 5k+4 꼴의 소수는 무한히 많다.
# 덧붙이면 Dirichlet's theorem 이라고 해서 a, b 가 서로소일때, ak+b 꼴의
소수는 무한히 많다는 정리가 있습니다. 섣불리 이거 증명해준다고 하진 마세요
-_-;;; 증명 무지 어렵답니다. 거의 책한권이랍니다.
더 특수한 경우가 있으면 올리겠습니다. ^^
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