[스크랩] [환론]Re:아이디얼을 찾는 쉬운 방법이 있나요?

[폭풍속으로]

Z_n은 유한정역이니까 극대아이디얼과 소아이디얼은 같고

결국 극대아이디얼을 찾아주면 됩니다.

우선 극대아이디얼들은 덧셈에 대한 부분군을 만족한다는 사실에

주목을 합니다.

Z_n은 덧셈에 대한 순환군이므로,

이것의 아이디얼도 덧셈에 대한 순환부분군이 됩니다.

따라서 Z_n의 극대아이디얼의 후보로 가능성 있는 것들은

"n의 약수"개만큼 있죠.

예를 들어 Z_24을 가지고 설명하면,

Z_24의 덧셈에 대한 부분군은

τ(24)=τ(2³×3)=4*2=8개있고 이들은 나열하면,

<1> = Z_24
<2> = {0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22}
<3>={0,3,6,9,12,15,18,21}
<4>={0,4,8,12,16,20}
<6>={0,6,12,18}
<8>={0,8,16}
<12>={0,12}
<0>={0}

입니다. 여기서 좀 더 관찰해 보면, 이들은 모두 아이디얼(주아이디얼)이
된다는 사실도 알 수 있습니다. 따라서 이들이 Z_24의 아이디얼 전체가 됩니다.

그러면 Z_24의 아이디얼의 격자도(lattice 도표)를 그려보면,

Z_24
<2> <3>
<4> <6>
<8> <12>
<0>

이 됨을 알 수 있고, 이를 통해 극대아이디얼이 <2>와 <3>이 된다는 사실을
알 수 있게 됩니다.

일반적으로 Z_n의 극대아이디얼은 n의 소인수들의 개수만큼 있고 소인수들을

생성원으로 가지는 아이디얼들이 극대아이디얼이 됩니다.

예를 들어
Z_36의 경우 위수가36=2²3²이므로, 이것의 극대아이디얼은 <2>, <3>
Z_12의 경우 위수가 12=2²3 이므로, 이것의 극대아이디얼은 <2>, <3>
Z_30의 경우,위수가 30=2*3*5이므로, 이것의 극대아이디얼은 <2>, <3>, <5>