[질문 - "공부한당" 님]
1.If a,b are integers such that a≡b(mod p) for every positive prime p,prove that a=b.
2.If a≡3(mod 4),prove that there are no integers c and d such that
a=c^2+d^2
3. If a ∈ Z, prove that the last digit of a^4 is 0,1,5 or 6
4.Prove or disprove: If [a]=[b] in Zn, then(a,n)=(b,n)
5.If n is composite, prove that there exist a,b ∈Zn such that
a≠0 and b≠0 but ab=0.
[꼬리말 - "^EINSTEIN^" 님]
3) 만약에 a가 홀수면, a^2의 끝자리는 1,5,9중에 하나죠.
그럼 a^4는 1,5만 나오죠... 비슷하게 짝수면 나머지가 나오죠...
2) Every integer is either of form 2k or 2k+1, where k is an integer.
case 1) if c=2m and d=2m, case 2) if c=2m+1, d=2n+1,
case 3) if c=2m and d=2n+1...
이렇게 하면 a≡3(mod 4) 가 절대 안나온다고 보여줄 수 있죠.
1)그냥 contradiction하면 바로 나오지 않나요?
[a]가 무슨 뜻이죠???^^
[꼬리말 - "칸토르유" 님]
Zn=Z/nZ로 보았을 때 coset [a]=a+nZ를 말합니다.
즉, a와의 차가 n의 배수가 되는 모든 정수들의 set을 말하는 것이지요...
Zn에서는 이 [a]를 하나의 숫자처럼 취급하고 있지요...
[꼬리말 - "pi=0314" 님]
1) a==b (mod p)이므로 a-b==0 (mod p)이고, 모든 양의 소수 p에 대해서 성립한다고 했으므로
a-b는 모든 양의 소수 p의 약수이고, 이런 것은 0밖에 없지 않나요... 그래서 a=b... 뭔가 허접하다는... ㅡㅡ;;
[꼬리말 - "블러디" 님]
pi 님은 배수를 약수로 얘기한것 같군요.
모든 소수의 배수는 0밖에 없다... 뭐 맞는 얘기인데 여기서는 그냥 p를 |a-b|보다 큰 소수로 택하면(소수는 무한하므로),
p는 자기보다 더 작은수를 나누어 0이 되므로 그수는 0이겠죠(division 알고리즘)
[리플 - "칸토르유" 님]
1.If a,b are integers such that a≡b(mod p) for every positive prime p,prove that a=b.
일반성을 잃지 않고 a>b라 가정합시다.(a<b인 경우도 방법은 같다는 뜻)
그러면 a-b=1 또는 a-b>1의 두가지 상황이 생기겠지요...
a-b=1인 경우, 이를 나누어주는 소수 p가 없으므로 모순...
a-b>1인 경우, a-b=(p_1)(p_2)...(p_r)의 유한개의 소수로 소인수분해가 되므로 이 이외의 소수는 a-b를 나눌 수가 없으므로 모순...
4.Prove or disprove: If [a]=[b] in Zn, then(a,n)=(b,n)
세 정수 a,b,c에 대하여 (a+cb,b)=(a,b)입니다.
Zn에서 [a]=[b]이면 a-b=qn이므로 (a,n)=(b+qn,n)=(b,n)
5.If n is composite, prove that there exist a,b ∈Zn such that
a≠0 and b≠0 but ab=0
모든 a,b ∈Zn에 대하여 "ab=0이면 a=0 또는 b=0"이라 가정합시다.
이를 다시 풀어써보면 "n|ab이면 n|a 또는 n|b"입니다.
이 성질을 만족하는 n은 반드시 prime이어야 하므로 모순...
1.If a,b are integers such that a≡b(mod p) for every positive prime p,prove that a=b.
2.If a≡3(mod 4),prove that there are no integers c and d such that
a=c^2+d^2
3. If a ∈ Z, prove that the last digit of a^4 is 0,1,5 or 6
4.Prove or disprove: If [a]=[b] in Zn, then(a,n)=(b,n)
5.If n is composite, prove that there exist a,b ∈Zn such that
a≠0 and b≠0 but ab=0.
[꼬리말 - "^EINSTEIN^" 님]
3) 만약에 a가 홀수면, a^2의 끝자리는 1,5,9중에 하나죠.
그럼 a^4는 1,5만 나오죠... 비슷하게 짝수면 나머지가 나오죠...
2) Every integer is either of form 2k or 2k+1, where k is an integer.
case 1) if c=2m and d=2m, case 2) if c=2m+1, d=2n+1,
case 3) if c=2m and d=2n+1...
이렇게 하면 a≡3(mod 4) 가 절대 안나온다고 보여줄 수 있죠.
1)그냥 contradiction하면 바로 나오지 않나요?
[a]가 무슨 뜻이죠???^^
[꼬리말 - "칸토르유" 님]
Zn=Z/nZ로 보았을 때 coset [a]=a+nZ를 말합니다.
즉, a와의 차가 n의 배수가 되는 모든 정수들의 set을 말하는 것이지요...
Zn에서는 이 [a]를 하나의 숫자처럼 취급하고 있지요...
[꼬리말 - "pi=0314" 님]
1) a==b (mod p)이므로 a-b==0 (mod p)이고, 모든 양의 소수 p에 대해서 성립한다고 했으므로
a-b는 모든 양의 소수 p의 약수이고, 이런 것은 0밖에 없지 않나요... 그래서 a=b... 뭔가 허접하다는... ㅡㅡ;;
[꼬리말 - "블러디" 님]
pi 님은 배수를 약수로 얘기한것 같군요.
모든 소수의 배수는 0밖에 없다... 뭐 맞는 얘기인데 여기서는 그냥 p를 |a-b|보다 큰 소수로 택하면(소수는 무한하므로),
p는 자기보다 더 작은수를 나누어 0이 되므로 그수는 0이겠죠(division 알고리즘)
[리플 - "칸토르유" 님]
1.If a,b are integers such that a≡b(mod p) for every positive prime p,prove that a=b.
일반성을 잃지 않고 a>b라 가정합시다.(a<b인 경우도 방법은 같다는 뜻)
그러면 a-b=1 또는 a-b>1의 두가지 상황이 생기겠지요...
a-b=1인 경우, 이를 나누어주는 소수 p가 없으므로 모순...
a-b>1인 경우, a-b=(p_1)(p_2)...(p_r)의 유한개의 소수로 소인수분해가 되므로 이 이외의 소수는 a-b를 나눌 수가 없으므로 모순...
4.Prove or disprove: If [a]=[b] in Zn, then(a,n)=(b,n)
세 정수 a,b,c에 대하여 (a+cb,b)=(a,b)입니다.
Zn에서 [a]=[b]이면 a-b=qn이므로 (a,n)=(b+qn,n)=(b,n)
5.If n is composite, prove that there exist a,b ∈Zn such that
a≠0 and b≠0 but ab=0
모든 a,b ∈Zn에 대하여 "ab=0이면 a=0 또는 b=0"이라 가정합시다.
이를 다시 풀어써보면 "n|ab이면 n|a 또는 n|b"입니다.
이 성질을 만족하는 n은 반드시 prime이어야 하므로 모순...
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