[선형][공업수학] null space, rank, clumun space 의 개념

[폭풍속으로]

1. null space (영공간) by "공업수학" 님
N(A)={xI Ax=0}: A의 영공간(null space) 또는 핵공간(kernel space)
nullity(A)=dim(N(A)): A의 영공간의 차원

<참고>
A벡터가 m*n행렬으로 주어졌을때
rank(A)+nullity(A)=n(열의 갯수)


2. rank (계수) by "공업수학" 님
행렬 A의 행공간이나 열공간의 차원을 말합니다.
여기서 차원이란 유한차원 선형공간의 기저를 구성하는 벡터(독립벡터)의 갯수를 말합니다.

예를 들면 동차 연립 1차방정식의 차원을 구하면
2x1+2x2-x3 +x5=0
-x1-x2+2x3-3x4++x5=0
x1+x2-2x3 -x5=0
x3+x4+x5=0
의 해는 x1=-s-t, x2=s, x3=-t, x4=0,x5=t
이것을 벡터로 나타내면
[x1 x2 x3 x4 x5]=s[-1 1 0 0 0]+t[-1 0 -1 0 1](종형으로 나타내시길)
이때 해공간은 두개의 벡터[-1 1 0 0 0],[-1 0 -1 0 1]에 의해 생성이 되고
이들은 1차독립벡터이므로 해공간의 차원은 2가 됩니다.
또 Rn은 n차원 선형공간, Pn은 n+1 차원 선형공간입니다.


3. clumun space (열공간) by "공업수학" 님
A벡터가 m*n행렬으로 주어졌을때
[a11 a12.......a1n]
[a21 a22.......a2n]
[................ ]
[.................]
[am1 am2.......amn]

1.column space
열공간은 행렬 A의 열벡터에 의하여 생성되는 Rm의 부분공간을 A의 열공간이라 합니다.

여기에서 한 행렬의 열공간은 세로의 표시를 가로로 바꾸기만 하면 그의 전치행렬의
행공간과 같기 때문에 행렬A의 열공간에 대한 기저를 찾기 위해서는 At(전치행렬)의
행공간에 대한 기저를 찾은 다음에 세로 표시로 바꾸면 됩니다.

예를 들면 A행렬이
[1 0 1 1]
[3 2 5 1]
[0 4 4 -4]이라하면
전치행렬을 구하면
[1 3 0]
[0 2 4]
[1 5 4]
[1 1 -4]
이것을 기약가우스핼렬로 변형하면
[1 3 0]
[0 1 2]
[0 0 0]
[0 0 0]을 얻습니다.
이때 독립인 벡터 [1 3 0], [0 1 2]가 At의 행공간의 기저가 되고 이는
A의 열공간의 기저가 됩니다.
이 기저들에 의해 생성된는 공간이 A의 행공간입니다.