양자 역학과 중력을 통합할 가장 유력한 후보로 꼽히는 끈 이론은 여분 차원을 고려해야 하는 구체적인 이유를 제시한다.
정합적인 끈 이론은 모두 다 여분 차원이라는 놀라운 토대 위에 세워져 있기 때문이다.
여분 차원은 끈 이론의 부상과 더불어 주목받게 되었지만, 여분 차원에 대한 생각이 시작된 것은 끈 이론보다 훨씬 전
으로 거슬러 올라간다.
20세기 초반으로 가보면, 아인슈타인은 상대성 이론을 통해 여분 차원의 가능성을 열어 주었다.
그의 상대성 이론은 중력을 기술하고 있지만 왜 우리가 지금과 같은 중력을 경험하는지 알려 주지는 않는다.
아인슈타인의 이론이 특정 차원의 공간을 더 선호하지는 않기 때문이다.
그의 이론은 3차원, 4차원, 또는 10차원에서도 똑같이 잘 설명된다.
그렇다면 도대체 왜 공간이 3차원으로 보이는 것일까?
아인슈타인의 일반 상대성 이론(1915년 완성)이 나온 직후인 1919년 독일 수학자 테오도르 칼루자는 아인슈타인의 이론
에서 여분 차원이 존재할 수 있다는것을 알아차리고 대담하게도 보이지 않는 새로운 공간 차원인 네 번째 공간 차원이
있다는 제안을 했다.
칼루자는 여분 차원을 무한한 크기를 갖는 3차원의 공간과는 다소 다르다고 생각했지만 그것이 어떻게 다른지를 구체적
으로 설명하지는 않았다.
그가 여분 차원에서 목적했던 바는 중력과 전자기력을 통합하는 것이었다.
통합 시도는 실패했고 그가 제안했던 세부 사항은 이제 적절치 않지만, 그가 대담하게 제안했던 여분 차원이라는 개념은
실로 매우 타당한 것이었다.
1926년 스웨덴 출신의 수학자 오스카르 클라인은 여분 차원이 원형으로 말려 있을 것이라는 제안을 했다.
그리고 그 크기는 극히 작아서, 10-³³센티미터, 즉 1센티미터의 1조분의 100만분의 1000분의 1센티미터에 불과할 것이
라고 생각했다.
이처럼 극소하게 말려 있는 차원이 어디에나 있으며, 공간상의 모든 점이 각각 10-³³센티미터 크기의 작은 원형 공간을
가지고 있다는 것이었다.
이 작은 크기는 플랑크 길이(Plank length)로 나중에 중력에 대해 더 자세히 살펴볼 때 중요한 양이다.
우리에게 친숙한 세 차원 중 하나가 알아보기 어려울 정도로 작아지는 경우는 일상생활에서도 찾아볼 수 있다.
벽에 칠한 페인트나 멀리서 바라본 빨랫줄은 3차원보다 낮은 차원으로 보인다.
우리는 페이트가 칠해진 두께나 빨랫줄의 굵기를 무시한다.
클라인에게 감지할 수 없이 작은 것은 물체의 두께가 아니라 바로 차원 그 자체였다.
차원이 작다는 것은 무슨 의미일까?
말려 있는 차원을 가진 우주는 그 안의 사람들에게 어떻게 보일까?
한번 더 말하지만, 이에 대한 답은 전적으로 말려 있는 차원의 크기에 달려 있다.
말려 있는 여분 차원보다 작은 존재가 세계를 보는 경우와 큰 존재가 세계를 바라보는 경우를 생각해 보자.
4차원 또는 그 이상의 공간 차원을 시각적으로 묘사하는 것은 불가능하기 때문에, 먼저 2차원 우주를 예로 들어 압축된
작은 차원을 지닌 우주를 설명해 보겠다.
이 우주에서 하나의 차원은아주 작은 크기로 동그랗게 말려 있다.
풀밭에 놓여 있는 호스를 한 번 떠올려 보면, 호스는 긴 고무판이 튜브처럼 말려 있는 것으로 그 단면은 작은 원이다.
이제 호스를 우주 안의 물체가 아니라 우주 전체라고 생각해 보자.
우주가 풀밭에 놓여 있는 호스처럼 생겼다면, 그것은 길이가 매우 긴 차원 하나와 아주 작게 말려 있는 또 다른 차원
으로 되어 있을 것이다.
풀밭 호스 우주에 사는 아주 작은 생물, 예를 들어 넓적노린재에게는 우주가 2차원으로 보일 것이다.
말려 있는 차원에서 좀더 중요한 사항을 이해해 보자.
둥글게 말려 잇는 호스 또는 한 차원이 둥글게 말려있는 우주를 나타낸다.
무한하게 뻗어 있는 차원상의 한 점에 주목해 보자.
어떤 점을 취하든 그곳에는 완전히 압축된 공간, 즉 원이 놓일수 있음을 명심하자.
이 원들이 앞서 말한 구의 단면인 원반들처럼 한데 모여서 호스를 이루고 있다.
또 다른 예로 하나가 아니라 두 방향으로 놓인 무한한 차원 위에 원형으로 말려 있는 차원이 하나 추가된다.
이 경우 2차원 공간상의 모든 점에 원이 놓인다.
그리고 만약 3개의 무한한 차원이 있다면, 3차원 공간상의 모든 점에 말려 있는 여분 차원이 존재할 것이다.
여분 차원이 놓인 각 점은 당신의 몸을 구성하는 세포에 비유할 수 있는데, 이 세포들은 각각 전부 다 온전한 DNA 서열을
갖는다.
마찬가지로 우리가 사는 3차원 공간상의 각 점은 압축된 원형 차원을 온전히 갖고 있다.
이제까지 우리는 둥글게 말려 있는 하나의 여분 차원만 생각했다.
하지만 지금껏 우리가 이야기한 것들은 말려 있는 차원의 모양이 달라도 참이다.
그리고 이것은 임의의 모양으로 작게 말려 있는 여분 차원이 2개 또는 그 이상이 되더라도 참이다.
어쨋든 차원의 크기가 충분히 작다면 얼마나 많든, 어떻게 생겼든 우리는 그것을 전혀 알아볼 수 없다.
말려 있는 차원이 2개인 경우를 생각해 보자.
2개의 차원이 말려 있는 모양은 여러 가지지만, 2개의 차원이 동시에 동그랗게 말려 있는 도넛 모양의 토러스(torus)를
예로 들어 보자.
2개의 원형 차원, 즉 도넛 구멍 둘레를 따라 둥글게 말려 있는 차원과 도넛 자체를 따라 둥글게 말려 있는 차원이 모두
충분히 작다면, 말려 있는 이 두 여분 차원은 결코 보이지 않을 것이다.
하지만, 이것은 여러 예들 중 하나일 뿐이다.
더 많은 여분 차원을 갖는 압축 공간(말려 있는 공간)을 엄청나게 많이 생각할 수 있다.
이들은 각 차원이 어떻게 말려 있는가로 정확히 구분된다.
끈 이론에서 중요한 압축 공간으로는 칼라비-야우 다양체(Calavi-Yau manifold)가 있다.
이 다양체의 기하학적인 형태는 복잡한 여분 차원이 매우 특별한 방식으로 한데 감겨서 말려 있는 모양을 하고 있다.
여기서 차원들은 다른 압축화된 차원들과 마찬가지로 작은 크기로 말려 있지만, 얽혀 있는 방식이 매우 복잡해 그림
으로 표현하기가 무척 어렵다.
말려 있는 여분 차원이 어떤 모양이든, 또 무한히 많은 차원상의 각 점에 놓인 여분 차원의 수가 얼마이든, 말려 있는
차원을 가지는 작은 압축 공간은 존재할 수 있다.
만약 끈 이론이 옳다면, 우리 눈이 볼 수 있는 곳이라면 어디나, 예를 들어 당신의 코끝이나 금성의 북극점 또는 당신이
마지막 서브를 한 테니스장의 한 점 위 어디라도 너무 작아서 보이지 않는 6차원 칼라비-야우 다양체가 존재한다.
공간의 모든 점에 고차원 기하 공간이 존재할 것이다.
클라인과 마찬가지로 끈 이론가들은 대체로 말려 있는 차원이 플랑크 길이인 10-³³센티미터 정도로 작다고 생각한다.
플랑크 길이 정도인 여분 차원이 자신의 흔적을 드러내지 않을 가능성은 매우 높다.
그러므로 플랑크 길이 정동의 여분 차원이 있는 우주에 우리가 살고 있어도, 우리는 여전히 우리에게 익숙한 3차원 공간
만을 감지할 뿐이다.
우주에 그처럼 작은 차원이 무수히 많다고 해도 우리는 결코 그것을 찾아내지 못할 것이다.
뉴턴의 중력 법칙과 여분 차원
17세기에 뉴턴이 제안한 중력 법칙은 매우 체계적인 법칙이다.
뉴턴의 중력 법칙은 중력이 질량을 가진 두 물체 사이에서 거리에 따라 어떻게 변화하는지를 보여준다.
이 법칙은 중력의 세기가 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례하는 역 제곱의 법칙이다.
예를 들면 두 물체 사이의 거리가 두 배로 멀어지면 중력의 세기는 4분의1로 감소하고, 거리가 세 배로 멀어지면 중력의
세기는 9분의 1로 줄어든다.
중력의 역제곱 법칙은 물리학에서 가장 오래되고 가장 중요한 법칙 중 하나이다.
특히 이 법칙은 행성의 궤도가 지금과 같은 모습을 갖춘 이유를 밝혀 준다.
뉴턴의 중력 법칙은 거리 제곱에 반비례한다.
이는 공간이 몇 차원인지와 밀접하게 관련이 있다.
중력이 얼마나 빠르게 공간에 퍼져 나가는가를 공간 차원의 수가 결정하기 때문이다.
호스나 스프링클러를 통해 꽃밭에 물을 주는 경우를 상상해 보자.
호스나 스프링클러를 흐르는 물의 양이 동일하고, 호스와 스프링클러로 정원에 있는 어떤 꽃 한 송이에 물을 준다고
생각해보자.
호스로 공급된 물은 모두 꽃을 적시는데 사용된다고 생각해 보자.
이번엔 같은 양의 물이 많은 꽃을 동시에 적시는 스프링클러를 통해 분사된다고 가정해 보자.
물이 같은 거리에 있는 모든 곳으로 퍼지기 때문에 꽃은 호스로 주었을 때와 동일한 양의 물을 흡수하지 못한다.
게다게 꽃이 스프링클러에서 더 멀리 떨어져 있으면 있을수록, 즉 스프링클러가 물을 주어야 하는 꽃은 더 많아지고
물은 더 넓은 면적으로 분사될 것이다.
스프링클러 원의 둘레가 3미터라면 1미터일 때보다 더 많은 식물을 심을 수 있기 때문이다.
물이 더 넓게 분사되기 때문에, 더 멀리 있는 꽃에는 더 적은 양의 물이 도달하게 된다.
물과 마찬가지로 중력도 거리가 멀어질수록 더 넓게 분산된다.
앞의 예를 통해 물이나 중력이 퍼져 나가는 정도가 공간 차원의 수에 좌우되는 이유를 알 수 있다.
물이 퍼져 나가지 않는 1차원 호스와 달리 2차원 스프링클러에서 나온 물은 거리에 따라 더 넓게 퍼져 나간다.
이번에는 원형이 아니라 구형으로 물을 분사하는 스프링클러를 떠올려 보자.
이때 거리가 멀어지면 물이 확산되는 속도는 훨씬 빠를 것이다.
이제 이러한 논리를 중력에 적용하여 3차원에서 중력의 거리 의존도가 어떤지 정확히 따져 보자.
뉴턴의 중력 법칙은 두 가지의 전제를 따르는데, 즉 중력은 모든 방향으로 동등하게 작용하며 공간은 3차원이다.
예를 들면 달에 작용하는 중력의 세기는 방향과 무관하며 오로지 그들 사이의 거리에 의해 정해진다.
질량을 가진 물체로부터의 거리가 얼마이든지 간에, 구의 표면을 통과해 퍼져 나가는 역선의 수는 같다.
그런데 구의 표면적은 반지름의 제곱에 비례한다.
일정량의 역선이 구의 표면을 따라 퍼져 나가기 때문에, 중력의 세기는 반지름의 제곱에 따라 감소해야만 한다.
이렇게 중력장이 퍼져 나가는 것이 바로 역제곱 법칙의 기원이다.
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