복소수 [ 複素數 , complex number ]
실수와 허수의 합으로 이루어지는 수.
실수체 R에 허수단위 i(i^2＝－1이 되는 수의 하나)를 첨가함으로써 이루어지는 체(體)의 원소이다. 따라서 임의의 복소수는 2개의 실수 a, b를 사용한 a＋bi인 형식으로 표현된다. 복소수 a＋bi에서 b≠0인 경우 a＋bi를 허수라 하고, a＝0이면 순허수라 한다. 또 복소수 x＝a＋bi에 대하여 복소수 x'=a－bi를 x의 켤레복소수라고 한다. 실수 sqrt(a^2+b^2)을 x의 절대값이라 하고, |x|로 표시한다. 이때 |x|^2=xx'가 성립한다.
【복소수체】 ‘임의의 자연수 n에 대하여 복소수를 계수로 하는 n차방정식은 복소수의 범위에서 반드시(적어도 하나의) 근을 가진다’가 성립하는데, 이 사실을 방정식론의 기본정리라 한다. 이 정리에 따르면 복소수를 계수로 하는 방정식의 근은 반드시 복소수 중에 있으므로, 방정식의 근을 문제로 삼는 한 이 이상 확대시킬 필요가 없다.
【복소평면】 실수와 일직선상의 점이 1대 1로 대응하도록 복소수 z＝x＋yi에 직교좌표를 가지는 평면 위의 점 (x,y)을 대응시키면, 복소수와 평면상의 점 사이에는 일대일 대응이 성립한다. 이와 같이 대응된 평면을 복소평면, 또는 가우스평면이라 하며, 이때 x축을 실축, y축을 허축이라고 한다. 복소수 z에 대응하는 점을 P, 원점을 O, 선분 OP의 길이를 r, x축의 양의 방향과 선분 OP가 이루는 각을 θ라 할 때, r＝|z|가 되고, 또 z＝r(cosθ ＋i sinθ )가 성립한다. 이것을 복소수 z의 극형식이라고 한다.
【복소수의 구성】 실수의 순서쌍 (a,b)의 전체를 K라 하고, K의 원소 사이의 덧셈, 곱셈을
(a,b)＋(c,d)＝(a＋c,b＋d),
(a,b)·(c,d)＝(ac－bd,ad＋bc)
와 같이 정의하면, 이 덧셈과 곱셈하에서 K는 체를 이룬다. K의 덧셈의 단위원은 (0,0)이고, 곱셈의 단위원은 (1,0)이다. 그리고 실수체 R는 K의 일부이고, K는 복소수체가 됨을 알 수 있다.
e
자연로그의 밑(base)으로서, 그 근사값은 e＝2.718281828…이며, 이 수는 무리수인 동시에 초월수(超越數)인 것으로 알려져 있다. 일반적으로 x가 실수일 때,
lim (1+1/x)^x = e
(x→∞)
인 것이 증명되어 있다.
참고) 초월수(또는 함수)
즉, 유리수를 계수(係數)로 하는 대수방정식의 근(根)으로서 구할 수 있는 수를 대수적 수(代數的數), 대수적 수가 아닌 수를 초월수라고 한다. 이를테면, 원주율 π＝3.14159…, 자연로그의 밑 e＝2.71828…, 10을 제외한 정수의 상용로그, θ°(θ는 정수값)의 삼각함수의 대부분은 초월수이다.
초월수의 존재는 J.리우빌에 의해 1851년 비로소 증명되었다. e가 초월수라는 것은 1873년 C.에르미트에 의해, π가 초월수라는 것은 1882년 F.린데만에 의해 증명되었다. 또한, G.칸토어는 대수적 수 전체는 가산개(可算個)이지만, 초월수를 포함한 무리수 전체는 대수적 수 전체보다도 농도가 높은 무한집합임을 증명하였다. 이 사실도 19세기 말에야 알려진 것이다. 그러나 대수적 수론(代數的數論)은 대수학의 한 분과를 이루는 정도로 연구되고 있는데, 초월수에 관해서는 계통이 서 있지 않다.
자연로그[自然- , natural logarithm ]
실수(實數) e를 밑으로 하는 로그 log x.
네이피어 로그(Napierian logarithm)라고도 한다. 실수 e＝1＋1/1！＋1/2！＋1/3！＋…＝2.71828… 을 밑으로 하는 로그 log x를 간단히 log x로 쓰고, 이것을 x의 자연로그라고 한다.
네이피어 [Napier, John , 1550~1617.4.4]
영국의 수학자.
국적 : 영국
활동분야 : 수학
출생지 : 영국 에든버러 근교의 머키스턴성(城)
주요저서 : 《경이적인 로그법칙의 구조》(1619)
에든버러 근교의 머키스턴성(城) 출생. 스코틀랜드의 귀족 출신으로 남작이다. 13세에 세인트 앤드루스대학에서 공부하였다. 그 후 프랑스에 유학하여 앙드리크 하반(河畔)에서 오랫동안 체재하였으며, 1608년 이후로는 머키스턴성으로 돌아와서 살았다.
수학 ·신학 ·점성술 등을 좋아하였는데, 특히 신학에서는 열렬한 신교도로서 로마교황과 그 권위에 반대하여 《성 요한 묵시록 전체에서의 소박한 발견 A Plain Discovery of the Whole Revelation of Saint John》(1594)을 발표하였다.
또 점성술에서는 예언에 관한 저술을 하는 등 그 재능을 보였다. 특히 40여 년에 걸친 수학 연구로 산술 ·대수(代數) ·삼각법 등의 단순화 ·계열화를 꾀하였으며, 연구영역이 ‘네이피어 로드’ 등 계산기계의 고안에까지 미쳤다. 그 중 계산의 간편화를 목적으로 한 로그의 발명은 수학사상 커다란 업적이었다.
즉, 1614년 《경이적인 로그법칙의 기술 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》로 로그의 성질을 명백히 하였으며, 1616년에는 H.브리그스와 협력하여 10을 밑[底]으로 하는 상용로그표를 만들기 시작했으나 완성시키기 전에 죽어 《경이적인 로그법칙의 구조》(1619)가 유고로서 출판되었고, 그 일은 브리그스에게 인계되었다. 그는 로그를 등차수열적 운동과 등비수열적 운동을 대응시켜서 발견해 냈다.또한, 소수기호(小數記號)의 도입자로서도 알려졌다.
실수와 허수의 합으로 이루어지는 수.
실수체 R에 허수단위 i(i^2＝－1이 되는 수의 하나)를 첨가함으로써 이루어지는 체(體)의 원소이다. 따라서 임의의 복소수는 2개의 실수 a, b를 사용한 a＋bi인 형식으로 표현된다. 복소수 a＋bi에서 b≠0인 경우 a＋bi를 허수라 하고, a＝0이면 순허수라 한다. 또 복소수 x＝a＋bi에 대하여 복소수 x'=a－bi를 x의 켤레복소수라고 한다. 실수 sqrt(a^2+b^2)을 x의 절대값이라 하고, |x|로 표시한다. 이때 |x|^2=xx'가 성립한다.
【복소수체】 ‘임의의 자연수 n에 대하여 복소수를 계수로 하는 n차방정식은 복소수의 범위에서 반드시(적어도 하나의) 근을 가진다’가 성립하는데, 이 사실을 방정식론의 기본정리라 한다. 이 정리에 따르면 복소수를 계수로 하는 방정식의 근은 반드시 복소수 중에 있으므로, 방정식의 근을 문제로 삼는 한 이 이상 확대시킬 필요가 없다.
【복소평면】 실수와 일직선상의 점이 1대 1로 대응하도록 복소수 z＝x＋yi에 직교좌표를 가지는 평면 위의 점 (x,y)을 대응시키면, 복소수와 평면상의 점 사이에는 일대일 대응이 성립한다. 이와 같이 대응된 평면을 복소평면, 또는 가우스평면이라 하며, 이때 x축을 실축, y축을 허축이라고 한다. 복소수 z에 대응하는 점을 P, 원점을 O, 선분 OP의 길이를 r, x축의 양의 방향과 선분 OP가 이루는 각을 θ라 할 때, r＝|z|가 되고, 또 z＝r(cosθ ＋i sinθ )가 성립한다. 이것을 복소수 z의 극형식이라고 한다.
【복소수의 구성】 실수의 순서쌍 (a,b)의 전체를 K라 하고, K의 원소 사이의 덧셈, 곱셈을
(a,b)＋(c,d)＝(a＋c,b＋d),
(a,b)·(c,d)＝(ac－bd,ad＋bc)
와 같이 정의하면, 이 덧셈과 곱셈하에서 K는 체를 이룬다. K의 덧셈의 단위원은 (0,0)이고, 곱셈의 단위원은 (1,0)이다. 그리고 실수체 R는 K의 일부이고, K는 복소수체가 됨을 알 수 있다.
e
자연로그의 밑(base)으로서, 그 근사값은 e＝2.718281828…이며, 이 수는 무리수인 동시에 초월수(超越數)인 것으로 알려져 있다. 일반적으로 x가 실수일 때,
lim (1+1/x)^x = e
(x→∞)
인 것이 증명되어 있다.
참고) 초월수(또는 함수)
즉, 유리수를 계수(係數)로 하는 대수방정식의 근(根)으로서 구할 수 있는 수를 대수적 수(代數的數), 대수적 수가 아닌 수를 초월수라고 한다. 이를테면, 원주율 π＝3.14159…, 자연로그의 밑 e＝2.71828…, 10을 제외한 정수의 상용로그, θ°(θ는 정수값)의 삼각함수의 대부분은 초월수이다.
초월수의 존재는 J.리우빌에 의해 1851년 비로소 증명되었다. e가 초월수라는 것은 1873년 C.에르미트에 의해, π가 초월수라는 것은 1882년 F.린데만에 의해 증명되었다. 또한, G.칸토어는 대수적 수 전체는 가산개(可算個)이지만, 초월수를 포함한 무리수 전체는 대수적 수 전체보다도 농도가 높은 무한집합임을 증명하였다. 이 사실도 19세기 말에야 알려진 것이다. 그러나 대수적 수론(代數的數論)은 대수학의 한 분과를 이루는 정도로 연구되고 있는데, 초월수에 관해서는 계통이 서 있지 않다.
자연로그[自然- , natural logarithm ]
실수(實數) e를 밑으로 하는 로그 log x.
네이피어 로그(Napierian logarithm)라고도 한다. 실수 e＝1＋1/1！＋1/2！＋1/3！＋…＝2.71828… 을 밑으로 하는 로그 log x를 간단히 log x로 쓰고, 이것을 x의 자연로그라고 한다.
네이피어 [Napier, John , 1550~1617.4.4]
영국의 수학자.
국적 : 영국
활동분야 : 수학
출생지 : 영국 에든버러 근교의 머키스턴성(城)
주요저서 : 《경이적인 로그법칙의 구조》(1619)
에든버러 근교의 머키스턴성(城) 출생. 스코틀랜드의 귀족 출신으로 남작이다. 13세에 세인트 앤드루스대학에서 공부하였다. 그 후 프랑스에 유학하여 앙드리크 하반(河畔)에서 오랫동안 체재하였으며, 1608년 이후로는 머키스턴성으로 돌아와서 살았다.
수학 ·신학 ·점성술 등을 좋아하였는데, 특히 신학에서는 열렬한 신교도로서 로마교황과 그 권위에 반대하여 《성 요한 묵시록 전체에서의 소박한 발견 A Plain Discovery of the Whole Revelation of Saint John》(1594)을 발표하였다.
또 점성술에서는 예언에 관한 저술을 하는 등 그 재능을 보였다. 특히 40여 년에 걸친 수학 연구로 산술 ·대수(代數) ·삼각법 등의 단순화 ·계열화를 꾀하였으며, 연구영역이 ‘네이피어 로드’ 등 계산기계의 고안에까지 미쳤다. 그 중 계산의 간편화를 목적으로 한 로그의 발명은 수학사상 커다란 업적이었다.
즉, 1614년 《경이적인 로그법칙의 기술 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》로 로그의 성질을 명백히 하였으며, 1616년에는 H.브리그스와 협력하여 10을 밑[底]으로 하는 상용로그표를 만들기 시작했으나 완성시키기 전에 죽어 《경이적인 로그법칙의 구조》(1619)가 유고로서 출판되었고, 그 일은 브리그스에게 인계되었다. 그는 로그를 등차수열적 운동과 등비수열적 운동을 대응시켜서 발견해 냈다.또한, 소수기호(小數記號)의 도입자로서도 알려졌다.
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