변수분리법

작성자alun|작성시간11.09.10|조회수207 목록 댓글 0

변수분리법

위의 식과 같은 형태로 이루어진 미분방정식은 '변수 분리법'이 가능하다.
일반적인 해법은 다음과 같다.

$\frac{1}{Q(y)}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=H(x)\; \Rightarrow \frac{1}{Q(y)}\mathrm{d} y=H(x)\mathrm{d} x \; \Rightarrow \int \frac{1}{Q(y)}\mathrm{d} y=\int H(x)\mathrm{d} x + c$

ex)

1. y'=2y 의 일반해를 구하라.

Sol.
먼저 양변을 y에 관한 함수로 나눈다.
$\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 2 \Rightarrow \frac{1}{y}\mathrm{d} y = 2\mathrm{d} x$

양변을 적분하면,
$\Rightarrow \int \frac{1}{y}\mathrm{d} y = \int 2\mathrm{d} x \; \Rightarrow \; ln\mid y\mid = 2x + c_{1}$

양변을 지수함수꼴로 고치면,
$\Rightarrow \; \mid y\mid = e^{2x + c_{1}}=e^{c_{1}}e^{2x}$

이것을 일반화하여 쓰면,
$\Rightarrow \; y = \pm e^{c_{1}}e^{2x}=ce^{2x}$ 가 된다.

따라서 일반해는,
$\therefore y =ce^{2x}$ 가 된다.

2. y'=1+y^2 의 일반해를 구하라.

Sol.

$\frac{1}{1+y^2}\mathrm{d}y=\mathrm{d} x \; \Rightarrow \; \int \frac{1}{1+y^2}\mathrm{d}y=\int \mathrm{d} x$

적분을 하면,
$\Rightarrow tan^{-1}y = x+c$

y에 관해 쓰면,
$\therefore y=tan(x+c)$

주의 해야할 것이 있는데, y=tanx+c

는 해가 아니다.

$y'=f(\frac{y}{x})$ 의 형태는 다음과 같이 푼다.

먼저, $u = \frac{y}{x}$ 로 치환을 한다. 이렇게 치환했을 때 y'은,

$y =ux \Rightarrow y'=u'x+u$ 가 되는데, 우변을 곱의 미분법을 한 이유는 u는 x에 관한 함수이기 때문이다.
치환한 것을 준식에 대입하면,

따라서 u와 x에 관한 함수로 바뀌게 되어 변수분리를 할 수 있게 된다. 변수분리를 하면,

$\frac{1}{f(u)-u}\mathrm{d} u = \frac{1}{x}\mathrm{d} x$

위의 식을 적분하여 풀면 된다.

ex)
$y' = \frac{4x^2+y^2}{xy}$ 의 일반해를 구하여라.

먼저 약분을 하면,
$y' = \frac{4x}{y}+\frac{y}{x}$ 이 되는데, $u = \frac{y}{x}$ 로 치환하자.

그래서 준식에 대입을 하면, $u'x+u = \frac{4}{u}+u$ 가 되는데, 이것을 변수분리하면 된다.

$\Rightarrow \int u \mathrm{d} u=\int \frac{4}{x}dx \Rightarrow \frac{1}{2}u^2 = 4ln\mid x\mid +c_1$

u에 대해 정리하면,
$u^2 = 8ln\mid x\mid +c$

그리고 원래의 y로 바꾸어주면 답이 된다.

$\therefore y^2 = 8x^2ln\mid x\mid +cx^2$

의 형태도 역시 치환을 통해 변수분리가 가능해진다.

u를 다음과 같이 치환하면 된다.
$u= ax+by+c$ 이것을 준식에 대입하면, 변수분리가 가능하게 바뀐다.

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