내가 공부하려는 대상의 실체가 어느정도 보이는 것같다.
아마도 비선형 역학이 될 것같다. 수학적 이론적 접근에서의 비선형역학.
데릴은 기하적 역학( Geometrical mechanics)라고 하였다.
전에는 그저 비선형이라고하면 무엇인가 어렵고 이해가 안되는 것 정도로 생각했다.
심각하게 비선형이 무엇인지 그 의미를 느껴본 적은 별로 없었던 것같다.
그럼 과연 비선형이 무엇일까?
뭐 한마디로 글자 그대로 선형이 아닌 녀석(Non-linear)일 것이다.
선형과 비선형, 과연 그 차이가 어디에 있고, 그 차이가 어떤 의미를 갖게되는가?
물체의 움직임이 어떤 자연의 원리에 의하여 움직이며 변화할때에
우리가 그 변화의 모습을 정확히 이해하고, 그 변화를 만들어내는 요인(parameter)를
정확히 이해한다면, 우리는 그 변화를 예측하고 이용할 수 있다.
이러한 자연의 이해와 이용이 지난 수백년의 찬란한 과학 발전의 모습이다.
그러면 선형시스템이 여기에 어떤 역학을 하는가?
조금 과장해서 말한다면 지난 수백년간의 수학과 과학의 이해는 자연의 변화를 선형적으로
이해하여온 과정이고 매우 성공적인 과정이었다라고 말할수 있을 것같다.
선형적 해석의 기본은 아마도 운동하는 시스템이 어떤 특정 조건에서 균형점(Equilibrium)에
있게되면 움직이지 않고 가만히 멈춰있게된다.
그리고 만약 시스템의 초기조건이 이 균형점에서 아주 조금만 옆으로 벗어나게 되면,
그리고 그 균형점이 안정적인 균형점(stable equilibrium)이라면 이러한 초기조건에 의하여
시스템은 균형점 주위에서 운동을하는 진동운동을 하게된다.
이렇게 균형점 근처에서 주기운동을 할 경우에 그 주기운동은 선형적인 근사에 의하여
굉장히 잘 예측이 가능하게된다.
예를들면 진자의 운동에서 진자의 추가 정확히 밑으로 떨궈져서 있으면 정지한 균형점에
놓여있을 수 있다. 여기에서 아주 약간 옆으로 움직여서 놓아주면 진자는 진동운동을 한다.
이러한 진동운동의 경우 선형적인 수학 해석은 진자의 운동을 매우 정확히 예측할 수 있다.
하지만 진자를 들었다가 놔주는 정도가 커지면 더이상 진자의 운동은 선형적으로
근사해서 예측할 수 없다.
초기조건으로 큰 속도를 주었을 때에 진자는 고정된 점에 대하여 한쪽방향으로 여러번
회전해버릴 수도 있다.
이와같은 경우 균형점 근처의 아주 작은 진동은 선형적 해석이 가능하지만,
그 이외에는 선형적 해석이 불가능하고 시스템의 분석은 비선형역학의 해석을 필요로한다.
근데 이러한 비선형해석이 만만한가하면 그게 그리 만만하지 않다.
비선형해석은 주로 시스템의 큰 운동(global motion)을 정확히 예측하거나, 혹은 예측이
불가능할 경우(카오스)에는 큰 운동의 구조적인, 정성적인( qualitative) 이해를 추구한다.
예를들면 진자의 진동운동의 경우에는 진자의 진동이 커질때에 진동의 크기와
진동의 주기의 함수관계가 어떻게 되는지, 그리고 그러한 관계에서 특수한 물리적 성질의
변화가 있는지를 관찰하게된다.
여기서 진동의 진폭과 주기의 관계를 action-angle variable이라는 수학적 툴을 사용할 수 있고,
물리적 성질의 변화와 관련해서는 동역학계의 분기이론(bifurcation)등의 해석이 한 예가
될 수가 있다.
선형적인 해석은 자연에대한 많은 이해를 가져왔고, 눈부신 영광을 인류에게 안겨줬다.
하지만 신기하게도 자연은 근본적으로 선형적이지 않고, 선형적인 근사가 잘 맞아떨어지는
범위도 매우 한정되어있다.
그리고 어떤 문제의 경우는 성형적인 근사 자체가 의미를 갖기 힘든 경우도 있다고한다.
언뜻 생각해보아도 자연의 움직임은 단순한 선형적인 해석으로는 이해에 한계가 있다.
비선형인 자연을 이해하려는 노력은 본격적으로 시작된 것 같다.
아놀드가 이야기한 것처럼 수학이 재미가 있고 의미가 있으려면, 수학이 자연이라는
신비로운 모습을 보여주는 도구가 되어야하는 것 같다.
비선형역학, 해밀터니안, 적분가능계에서 카오스로 넘어가는 과정에 대한 설명들...
이러한 이론적 고전물리학의 이해를 위해서 필요한 수학이
group theory, Lie group, topology, differential geometry, ordinary differential equation,
partial differential equation, calculus of variation, functional analysis, Linear algebra
등등의 온갖 수학이 다 융합하여 자연의 본질을 조금씩 보여준다는 것은 꽤 흥미롭다.