로그 탄젠트 적분(log tangent integral)

작성자alun|작성시간11.02.21|조회수285 목록 댓글 0

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로그 탄젠트 적분(log tangent integral)

개요

로그 사인 적분 (log sine integrals)과 밀접하게 관련되어 있음
다음과 같은 정적분값의 계산

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=$ , 는 카탈란 상수

$\int_{0}^{\pi/4} \ln \tan x\,dx=-G$

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=$

$\int_{0}^{\pi} \ln^2 \tan \frac{x}{4}\,dx=\frac{\pi^3}{4}$

$\int_0^{\infty}\frac{\ln^2 x}{1+x^2} dx =\int_{0}^{\pi/2}\ln^2 \tan x\,dx = \frac{ \pi^3}{8}$

증명

[Vardi1988] 참조

(보조정리)

$\Gamma(s)\beta(s)=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln^{s-1}\tan x\, dx$

여기서 $\Gamma(s)$ 는 감마함수, $\beta(s)$ 는 디리클레 베타함수.

(증명)

$F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^s}$ 라 하자.

$\Gamma(s)F(s)=\int_0^{\infty}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)e^{-nt})t^{s-1}\,dt$

$z=e^{-t}$ 로 치환하면,

$\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n)(\log\frac{1}{z})^{s-1}\,\frac{dz}{z}$

만약 f(n+q)=f(n) 을 만족하면 (가령 디리클레 캐릭터의 경우)

$p(z)=\sum_{n=1}^{q-1}f(n)z^n$ 라면, $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)z^n=\frac{p(z)}{1-z^q}$ 로 쓸 수 있다.

이를 이용하면,

$\Gamma(s)F(s)=\int_0^{1}\frac{p(z)(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1-z^q}\,\frac{dz}{z}$ 를 얻는다.

가 f(3)=-1 인 주기가 4인 디리클레 캐릭터라면, q=4 , p(z)=z-z^3

따라서

$\Gamma(s)\beta(s)=\int_0^{1}\frac{(\log\frac{1}{z})^{s-1}}{1+z^2} \,dz=\int_1^{\infty}\frac{(\log u)^{s-1}}{1+u^2} \,du=\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln^{s-1}\tan x\, dx$ ■

(따름정리1)

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \tan x\, dx=$ , G는 카탈란 상수.

(증명)

위에서 얻은 보조정리에 s=2 를 적용하면,

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln^{2-1}\tan x\, dx=$ ■

(따름정리2)

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=$

(증명)

$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=$ 임을 보이자.

$\frac{d}{ds}(\Gamma(s)\beta(s))=\frac{d}{ds}\int_1^{\infty}\frac{(\log u)^{s-1}}{1+u^2} \,du=\int_1^{\infty}\frac{(\log u)^{s-1}}{1+u^2}\log \log u \,du$