제노의 역설

작성자dhleepaul|작성시간25.09.20|조회수218 목록 댓글 0

제노의 역설

벨리아에서 발견된 파르메니데스의 흉상은 부분적으로 메트로도로스 흉상을 모델로 한 것으로 생각됩니다.
c. 기원전 6세기 후반 엘레아, 마그나 그라에키아
기 원전 5세기경

소크라테스 이전 철학
서양 철학
엘리아틱 학교
온톨로지, 시, 우주론
일원론, 진리/의견 구분

엘레아의 파르메니데스 (/pɑːrˈmɛnɪdiːz ... ˈɛliə/; 고대 그리스어: Παρμενίδης ὁ Ἐλεάτης; fl. 기원전 6세기 말 또는 5세기 초)는 마그나 그라에키아(남부 이탈리아)의 엘레아 출신의 소크라테아 이전 그리스 철학자였습니다.

파르메니데스는 그리스 식민지 엘레아에서 부유하고 저명한 가문에서 태어났습니다. [ᅡ] 그의 정확한 출생 날짜는 확실하게 알려져 있지 않습니다. 한편으로 독서학자 디오게네스 라에르티우스(Diogenes Laërtius)에 따르면 파르메니데스는 기원전 500년 직전 기간에 번성했으며 [b] 그의 출생 연도는 기원전 540년경입니다. 반면에 대화에서 파르메니데스 플라톤은 소크라테스가 기 원전 450년경 젊었을 때 65세의 나이로 아테네를 방문한 것으로 묘사하며, [c] 사실이라면 기 원전 515년경의 잠재적인 출생 연도를 암시합니다. [1] 파르메니데스는 기원전 475년경에 전성기(또는 "플로루이트")에 있었던 것으로 생각됩니다. [2]

파르메니데스의 알려진 단일 작품은 원래 제목은 알려지지 않았지만 종종 자연에 관하여(On Nature)라고 불리는 지각형 헥사미터 구절로 된 철학시입니다.[3] 그 중 일부만 남아 있지만 시의 완전성은 거의 모든 다른 소크라테스 이전 철학자들의 작품에서 우리에게 내려온 것보다 현저히 높기 때문에 고전주의자들은 철학적 교리를 더 정확하게 재구성할 수 있습니다. 파르메니데스는 그의 시에서 현실에 대한 두 가지 견해를 규정합니다. 첫 번째, "알레테이아" 또는 진리의 길은 모든 현실이 하나이고, 변화가 불가능하며, 존재가 어떻게 시대를 초월하고 균일한지를 설명합니다. 두 번째 견해인 "독사" 또는 의견의 방식은 개인의 감각 능력이 거짓되고 기만적인 개념으로 이어지는 외모의 세계를 설명합니다.

파르메니데스는 존재론의 창시자로 여겨져 왔으며 플라톤에 대한 그의 영향을 통해 서양 철학의 전체 역사에 영향을 미쳤습니다. [4] 그는 또한 엘레아의 제노와 사모스의 멜리수스를 포함하는 엘레아틱 철학 학파의 창시자로 간주됩니다. 제노의 운동 역설은 파르메니데스의 견해를 옹호하기 위해 개발되었습니다. 현대 철학에서 파르메니데스의 작업은 시간 철학에 대한 논쟁에서 여전히 관련성이 있습니다.

기원전 5세기에 제노는 우리 모두가 육체적 경험을 통해 알고 있는 것, 즉 달리는 사람은 달리고, 화살은 날며, 세상에는 여러 가지 다른 것들이 있다는 것과 모순되는 결론을 내린 논증을 제시했습니다. 이러한 논쟁은 고대 그리스 철학자들에게 역설적이었습니다. 제노의 많은 주장이 공간과 시간이 무한히 나눌 수 있다는 개념에 결정적으로 의존하기 때문에 그는 무한의 개념이 문제가 있음을 보여준 최초의 사람이었습니다.

그의 아킬레스건 역설에서 아킬레스는 느린 주자, 예를 들어 그에게서 일직선으로 기어가는 거북이를 잡기 위해 경주합니다. 거북이는 앞서 나가기 때문에 아킬레우스가 거북이를 추월하려면 적어도 거북이가 현재 있는 곳까지 달려가야 한다고 제노는 추론하지만, 거기에 도착할 때쯤에는 거북이가 새로운 장소로 기어갔을 것이므로 아킬레우스는 적어도 이 새로운 장소로 달려가야 합니다. 제노의 추론에 따르면 아킬레우스는 결코 거북이를 잡을 수 없습니다. 제노와 파르메니데스 자신이 운동을 거부했는지 여부는 매우 논란의 여지가 있지만, 수세기에 걸쳐 이후의 학자들은 이것을 가정했기 때문에 다수결의 입장이 되었습니다. 한 가지 소수의 입장은 그들이 동의를 거부하는 것이 아니라 반대자들이 이에 전념하고 있음을 보여줄 뿐이라는 것입니다.

우리는 자리에서 벌떡 일어나 거북이를 쫓는다는 것으로써, 또는 제노의 반대자들이 아킬레우스가 더 나은 조준을 하고 거북이보다 앞선 곳을 향해 달려가는 새로운 주장을 구성했어야 한다고 말함으로써 아킬레우스의 역설에서 벗어날 수 없습니다. 아킬레우스가 적어도 거북이가 한때 있던 모든 곳으로 달려가야 한다고 말한 제노의 말이 옳았기 때문에 필요한 것은 제노 자신의 주장에 대한 더 나은 분석입니다.

이 기사에서는 그의 알려진 10가지 역설을 설명하고 제공된 치료법을 고려합니다. 아킬레스건의 역설에서 제노는 거리와 지속 시간이 실제 무한한 부분을 갖는다는 의미에서 무한히 나눌 수 있다고 가정했으며, 주자가 완료하기에는 이러한 부분이 너무 많다고 가정했습니다. 아리스토텔레스의 치료법에 따르면 제노는 대신 달릴 수 있는 장소가 무한할 수 있다고 가정했어야 했고, 따라서 언제든지 가상의 부분으로 나누면 유한한 수의 부분만 생성되고 주자는 이 모든 부분을 완성할 시간을 갖게 되었습니다. 아리스토텔레스의 치료법은 19세기 후반까지 일반적으로 받아들여졌습니다. 소위 "표준 솔루션"이라고 불리는 현재의 표준 치료법은 아킬레스의 경로에 실제 무한대와 부분이 포함되어 있음을 암시하지만 Zeno는 이것이 너무 많다고 생각하는 착각을 가지고 있습니다. 이 치료는 현대 과학의 발전에 필수불가결하다는 것을 입증한 미적분학의 수학적 장치를 사용합니다. 이 기사는 1950년대 이후 개발된 역설에 대한 새로운 처리법과 톰슨의 램프 역설과 같은 관련 역설을 탐구하는 것으로 끝납니다.

1. 엘레아의 제노a. 그의 생애

제노는 기원전 490년경에 지금의 이탈리아 남부 서해안에 있는 그리스 도시 국가 엘레아(지금의 벨리아)에서 태어났습니다. 그리고 기원전 430년경에 사망했습니다. 그는 파르메니데스의 친구이자 제자였는데, 파르메니데스는 25세 위였으며 엘레아에 살았습니다. 그는 수학자가 아니었습니다.

제노의 삶에 대한 추가적이고 신뢰할 수 있는 정보는 거의 없습니다. 플루타르코스는 제노가 아테네를 방문했다고 말했습니다. 이전에 플라톤은 (파르메니데스 127b에서) 파르메니데스가 제노를 아테네로 데려가 제노보다 약 20살 어린 소크라테스를 만났다고 언급했지만, 오늘날의 학자들은 이 만남이 아마도 플라톤이 스토리 라인을 개선하기 위해 발명한 것이라고 생각합니다. 제노는 또한 엘레아를 통치한 폭군에 반대하는 반군에게 무기를 가져간 혐의로 체포된 것으로 알려졌다. 당국이 공범에 대해 물었을 때 제노는 폭군에게 개인적으로 뭔가를 속삭이고 싶다고 말했습니다. 그러나 폭군이 가까이 오자 제노는 그를 물었고 칼에 찔릴 때까지 놓지 않았습니다. 디오게네스 라에르티우스는 제노가 죽은 지 700년 후에 이 외경 이야기를 보고했습니다.

b. 그의 책

플라톤의 파르메니데스(127a-128e)의 주석에 따르면, 제노는 아테네를 방문했을 때 논문을 가져왔습니다. 그것은 파르메니데스의 철학을 옹호하는 역설의 책이라고 합니다. 플라톤(기원전 427-347년)과 아리스토텔레스는 이 책을 접할 수 있었을지 모르지만, 플라톤은 어떤 논증도 언급하지 않았으며, 아리스토텔레스의 논증에 대한 제시는 매우 압축되어 있습니다. 여러 세기 후, 그리스 철학자 프로클로스(기원 412-485년)와 심플리시우스(기원 490-560년)는 이 책과 그 논증에 대해 논평했습니다. 그들은 책의 일부, 아마도 전부에 접근할 수 있었지만 살아남지는 못했습니다. 프로클루스는 이 책에 40개의 논증이 포함되어 있다고 말한 최초의 사람이다. 이 숫자는 6세기 주석가 엘리아스에 의해 확인되었는데, 그는 프로클루스를 언급하지 않았기 때문에 독립적인 출처로 간주됩니다. 불행히도, 우리는 제노가 자신의 역설을 작곡한 시기에 대한 구체적인 날짜를 알지 못하며, 제노가 자신의 역설을 어떻게 진술했는지에 대해서도 거의 알지 못합니다. 우리는 밀도의 역설에 대한 심플리시우스를 통한 직접 인용과 크고 작은 역설에 대한 심플리시우스를 통한 부분 인용을 가지고 있습니다. 전체적으로 우리는 Zeno에 기인할 수 있는 단어가 200개 미만입니다. 이 두 가지 역설과 이 글에서 논의된 다른 일곱 가지에 대한 우리의 지식은 주로 그의 네 명의 반대자인 아리스토텔레스, 플라톤, 프로클루스, 심플리시우스에 의한 의역과 논평을 통해 간접적으로 우리에게 다가옵니다. 역설의 이름은 Zeno가 아니라 후대의 주석가들에 의해 만들어졌습니다. 제노 이후 천 년 후, 헤시키우스의 한 논평은 플라톤이 언급한 책보다 제노의 책이 세 권 더 많았을 것이라고 제안했지만, 학자들은 헤시키우스의 책 이름 중 적어도 세 권이 단 한 권의 책의 이름으로 여겨지기 때문에 일반적으로 이 주장을 받아들이지 않습니다.

c. 그분의 목표

기원전 5세기 초에 파르메니데스는 겉모습과 실재의 구별을 강조했습니다. 그는 현실은 변하지 않고 파괴될 수 없는 매끄러운 통일체이기 때문에 현실의 모습은 기만적이라고 말했습니다. 우리의 일반적인 관찰 보고서는 거짓입니다. 그들은 진짜를 보고하지 않습니다. 이 형이상학적 이론은 헤라클레이토스의 이론과 반대입니다. 비록 제노 자신으로부터 그가 자신의 역설적인 주장을 받아들였는지, 그가 그것들로 정확히 어떤 요점을 제시하고 있었는지, 파르메니데스의 견해와 제노의 견해 사이에 어떤 관계가 있었는지는 알 수 없지만, 이 모든 것에 대해 역사적으로 가장 영향력 있는 입장은 플라톤의 입장이다. 플라톤은 역설이 운동, 변화, 존재론적 복원성(즉, 많은 것들이 존재한다는 것)의 현실에 대한 그리스의 상식적 확신이 부조리를 포함한다는 것을 보여줌으로써 파르메니데스의 신념에 대한 상세하고 뒷받침하는 논증을 제공하기 위해 고안되었다고 말했습니다. 제노에 대한 플라톤의 고전적 해석은 아리스토텔레스와 그 사이에 여러 세기 동안 대부분의 다른 주석가들에 의해 받아들여졌습니다. 플라톤의 해석에 따르면, 제노의 목표는 그의 이분법과 아킬레스의 역설이 모든 연속적인 과정에는 무한한 시간이 걸린다는 것을 보여주는 것이었다고 합리적으로 말할 수 있으며, 이는 역설적인 반면, 제노의 화살과 스타디움의 역설은 불연속적인 변화의 개념이 역설적이라는 것을 보여줍니다. 연속적인 변화와 불연속적인 변화는 모두 역설적이기 때문에 모든 변화도 역설적입니다.

이것이 제노의 목표에 대한 그레고리 블라스토스의 입장이다. 아리스토텔레스의 제자인 에우데무스는 제노의 목표에 대해 또 다른 해석을 제시했습니다. 그는 제노가 다원주의와 파르메니데스의 일원론에 도전하고 있다고 제안했는데, 이는 제노가 허무주의자임을 암시할 것입니다. 1885년 폴 태너리(Paul Tannery)와 2001년 월리스 매트슨(Wallace Matson)은 운동의 역설에 관한 제노의 목표에 대한 세 번째 해석을 제시했습니다. 플라톤과 아리스토텔레스는 제노의 주장이나 그의 목적을 이해하지 못했다고 그들은 말합니다. 제노는 실제로 그리스 상식이 아닌 피타고라스 학파와 그들의 특정한 다원주의에 도전하고 있었습니다. 태너리와 매트슨은 제노 자신이 자신의 역설에 대한 결론을 믿지 않았다고 제안한다.

The controversial issue of interpreting Zeno’s true goals and purposes is not pursued further in this article. Instead, Plato’s classical interpretation is assumed because it is the one that was so influential throughout history and because the paradox as classically interpreted still needs to be countered even if Matson and Tannery are correct about Zeno’s own position. The more important goal for the field of philosophy is to understand how to treat the very strongest versions of Zeno’s arguments even if Zeno himself did not present them. This article continues to call Zeno’s arguments “paradoxes” even though they now are considered more to be puzzles of varying difficulty than to be actual paradoxes.

Aristotle believed Zeno’s Paradoxes were trivial and easily resolved, but later philosophers have not agreed on the triviality.

d. His Method

Before Zeno, Greek thinkers favored presenting their philosophical views by writing poetry. Zeno began the grand shift away from poetry toward a prose that contained explicit premises and conclusions. And he employed the method of indirect proof in his paradoxes by temporarily assuming some thesis that he opposed and then attempting to deduce an absurd conclusion or a contradiction, thereby undermining the temporary assumption. This method of indirect proof or reductio ad absurdum probably originated with Greek mathematicians, but Zeno used it more systematically and self-consciously.

2. The Standard Solution to the Paradoxes

Any paradox can be treated by abandoning enough of its crucial assumptions. In examining Zeno’s paradoxes, it is very interesting to consider which assumptions to abandon, and why those. A paradox, as the term is used in this article, is an argument that reaches a contradiction by apparently legitimate steps from apparently reasonable assumptions, while the experts at the time cannot agree on the way out of the paradox, that is, agree on its resolution. It is this latter point about disagreement among the experts that distinguishes a paradox from a mere puzzle in the ordinary sense of that term. Zeno’s paradoxes are now generally considered to be puzzles because of the wide agreement among today’s experts that there is at least one acceptable resolution of the paradoxes, and it applies the tools of calculus.

This resolution is called the Standard Solution. It points out that, although Zeno was correct in saying that at any point or instant before reaching the goal there is always some as yet uncompleted path to cover, this does not imply that the goal is never reached, despite Zeno’s claim that it does. More specifically, the Standard Solution says that for the runners in the Achilles Paradox and the Dichotomy Paradox, the runner’s path is a physical continuum that is completed by running at a positive, finite speed. The details presuppose differential calculus and classical mechanics. The Standard Solution treats speed as the derivative of distance with respect to time. It assumes that physical processes are sets of point-events. It implies that durations, distances and line segments are all linear continua composed of indivisible points, and it uses these ideas to challenge various assumptions made, and inference steps taken, by Zeno. To be very brief and anachronistic, Zeno’s mistake (and Aristotle’s mistake) was to fail to use calculus. More specifically, in the case of the paradoxes of motion such as the Achilles and the Dichotomy, Zeno’s mistake was not his assuming there is a completed infinity of places for the runner to go, which was what Aristotle said was Zeno’s mistake. Instead, Zeno’s and Aristotle’s mistake was in assuming that this is too many places for the runner to go to in a finite time.

A key background assumption of the Standard Solution is that this resolution is not simply employing some concepts that will undermine Zeno’s reasoning—Aristotle’s reasoning does that, too, at least for most of the paradoxes—but that it is employing concepts which have been shown to be appropriate for the development of a coherent and fruitful system of mathematics and physical science. Aristotle’s treatment of the paradoxes does not employ these fruitful concepts of mathematical physics. Aristotle did not believe that the use of mathematics was needed to understand the world. The Standard Solution is much more complicated than Aristotle’s treatment, and no single person can be credited with creating it. Also, the main goal of the field of philosophy is to resolve the paradoxes in the strongest form, not simply their original form.

The Standard Solution allows us to speak of one event happening pi seconds after another, and of one event happening the square root of three seconds after another. In ordinary discourse outside of science we would never need this kind of precision, but it is needed in mathematical physics and its calculus. The need for this precision has led to requiring time to be a linear continuum, very much like a segment of the real number line. By “real numbers” we do not mean actual numbers but rather decimal numbers.

Calculus was invented in the late 1600’s by Newton and Leibniz. Their calculus is a technique for treating continuous motion as being composed of an infinite number of infinitesimal steps. After the acceptance of calculus, most all mathematicians and physicists believed that continuous motion should be modeled by a function which takes real numbers representing time as its argument and which gives real numbers representing spatial position as its value. This position function should be continuous or gap-free. In addition, the position function should be differentiable in order to make sense of speed, which is treated as the rate of change of position. By the early 20th century most mathematicians had come to believe that, to make rigorous sense of motion, mathematics needs a fully developed set theory that rigorously defines the key concepts of real number, continuity and differentiability. Doing this requires a well defined concept of the continuum. Unfortunately Newton and Leibniz did not have a good definition of the continuum, and finding a good one required over two hundred years of work.

The continuum is a very special set; it is the standard model of the real numbers. Intuitively, a continuum is a continuous entity; it is a whole thing that has no gaps. Some examples of a continuum are the path of a runner’s center of mass, the time elapsed during this motion, ocean salinity, and the temperature along a metal rod. Distances and durations are normally considered to be real physical continua whereas treating the ocean salinity and the rod’s temperature as continua is a very useful approximation for many calculations in physics even though we know that at the atomic level the approximation breaks down.

The distinction between “a” continuum and “the” continuum is that “the” continuum is the paradigm of “a” continuum. The continuum is the mathematical line, the line of geometry, which is standardly understood to have the same structure as the real numbers in their natural order. Real numbers and points on the continuum can be put into a one-to-one order-preserving correspondence. There are not enough rational numbers for this correspondence even though the rational numbers are dense, too (in the sense that between any two rational numbers there is another rational number).

For Zeno’s paradoxes, standard analysis assumes that length should be defined in terms of measure, and motion should be defined in terms of the derivative. These definitions are given in terms of the linear continuum. The most important features of any linear continuum are that (a) it is composed of indivisible points, (b) it is an actually infinite set, that is, a transfinite set, and not merely a potentially infinite set that gets bigger over time, (c) it is undivided yet infinitely divisible (that is, it is gap-free), (d) the points are so close together that no point can have a point immediately next to it, (e) between any two points there are other points, (f) the measure (such as length) of a continuum is not a matter of adding up the measures of its points nor adding up the number of its points, (g) any connected part of a continuum is also a continuum, and (h) there are an aleph-one number of points between any two points.

Physical space is not a linear continuum because it is three-dimensional and not linear; but it has one-dimensional subspaces such as paths of runners and orbits of planets; and these are linear continua if we use the path created by only one point on the runner and the orbit created by only one point on the planet. Regarding time, each (point) instant is assigned a real number as its time, and each instant is assigned a duration of zero. The time taken by Achilles to catch the tortoise is a temporal interval, a linear continuum of instants, according to the Standard Solution (but not according to Zeno or Aristotle). The Standard Solution says that the sequence of Achilles’ goals (the goals of reaching the point where the tortoise is) should be abstracted from a pre-existing transfinite set, namely a linear continuum of point places along the tortoise’s path. Aristotle’s treatment does not do this. The next section of this article presents the details of how the concepts of the Standard Solution are used to resolve each of Zeno’s Paradoxes.

Of the ten known paradoxes, The Achilles attracted the most attention over the centuries. Aristotle’s treatment of the paradox involved accusing Zeno of using the concept of an actual or completed infinity instead of the concept of a potential infinity, and accusing Zeno of failing to appreciate that a line cannot be composed of indivisible points. Aristotle’s treatment is described in detail below. It was generally accepted until the 19th century, but slowly lost ground to the Standard Solution. Some historians say Aristotle had no solution but only a verbal quibble. This article takes no side on this dispute and speaks of Aristotle’s “treatment.”

The development of calculus was the most important step in the Standard Solution of Zeno’s paradoxes, so why did it take so long for the Standard Solution to be accepted after Newton and Leibniz developed their calculus? The period lasted about two hundred years. There are four reasons. (1) It took time for calculus and the rest of real analysis to prove its applicability and fruitfulness in physics, especially during the eighteenth century. (2) It took time for the relative shallowness of Aristotle’s treatment of Zeno’s paradoxes to be recognized. (3) It took time for philosophers of science to appreciate that each theoretical concept used in a physical theory need not have its own correlate in our experience. (4) It took time for certain problems in the foundations of mathematics to be resolved, such as finding a better definition of the continuum and avoiding the paradoxes of Cantor’s naive set theory.

Point (2) is discussed in section 4 below.

Point (3) is about the time it took for philosophers of science to reject the demand, favored by Ernst Mach and most Logical Positivists, that each meaningful term in science must have “empirical meaning.” This was the demand that each physical concept be separately definable with observation terms. It was thought that, because our experience is finite, the term “actual infinite” or “completed infinity” could not have empirical meaning, but “potential infinity” could. Today, most philosophers would not restrict meaning to empirical meaning.

Point (1) is about the time it took for classical mechanics to develop to the point where it was accepted as giving correct solutions to problems involving motion. Point (1) was, and still is, challenged in the metaphysical literature on the grounds that the abstract account of continuity in real analysis does not truly describe either time, space or concrete physical reality. This challenge is discussed in later sections.

Point (4) arises because the standard of rigorous proof and rigorous definition of concepts has increased over the years. As a consequence, the difficulties in the foundations of real analysis, which began with George Berkeley’s criticism of inconsistencies in the use of infinitesimals in the calculus were not satisfactorily resolved until the early 20th century with the development of Zermelo-Fraenkel set theory. The key idea was to work out the necessary and sufficient conditions for being a continuum. To achieve the goal, the conditions for being a mathematical continuum had to be strictly arithmetical and not dependent on our intuitions about space, time and motion. The idea was to revise or “tweak” the definition until it would not create new paradoxes and would still give useful theorems. When this revision was completed, it could be declared that the set of real numbers is an actual infinity, not a potential infinity, and that not only is any interval of real numbers a linear continuum, but so are the spatial paths, the temporal durations, and the motions that are mentioned in Zeno’s paradoxes. In addition, it was important to clarify how to compute the sum of an infinite series (such as 1/2 + 1/4 + 1/8 + …) without requiring any person to manually add or otherwise perform some action that requires an infinite amount of time. The clarification is to say the infinite series sums to a finite value if the partial sums (of adding the first two terms, then the first three, and so on) get closer and closer to that finite value. Finally, mathematicians needed to define motion in terms of the derivative. This new mathematical system required many new well-defined concepts such as compact set, connected set, continuity, continuous function, convergence-to-a-limit of an infinite sequence, curvature at a point, cut, derivative, dimension, function, integral, limit, measure, reference frame, set, and size of a set. Just as for those new mathematical concepts, rigor was added to the definitions of these physical concepts: place, instant, duration, distance, and instantaneous speed. The relevant revisions were made by Euler in the 18th century and by Bolzano, Cantor, Cauchy, Dedekind, Frege, Hilbert, Lebesgue, Peano, Russell, Weierstrass, and Whitehead, among others, during the 19th and early 20th centuries.

What happened over these centuries to Leibniz’s infinitesimals and Newton’s fluxions? Let’s stick with infinitesimals, since fluxions have the same problems and same resolution. In 1734, Berkeley had properly criticized the use of infinitesimals as being “ghosts of departed quantities” that are used inconsistently in calculus. Earlier, Newton had defined instantaneous speed as the ratio of an infinitesimally small distance and an infinitesimally small duration, and he and Leibniz produced a system of calculating variable speeds that was very fruitful. But nobody in that century or the next could adequately explain what an infinitesimal was. Newton had called them “evanescent divisible quantities,” whatever that meant. Leibniz called them “vanishingly small,” but that was just as vague.

The practical use of infinitesimals was unsystematic. For example, the infinitesimal dx is treated as being equal to zero when it is declared that x + dx = x, but is treated as not being zero when used in the denominator of the fraction [f(x + dx) – f(x)]/dx which is used in the derivative of the function f. In addition, consider the seemingly obvious Archimedean property of pairs of positive numbers: given any two positive numbers A and B, if you add enough copies of A, then you can produce a sum greater than B. This property fails if A is an infinitesimal. Finally, mathematicians gave up on answering Berkeley’s charges (and thus re-defined what we mean by standard analysis) because, in 1821, Cauchy showed how to achieve the same useful theorems of calculus by using the idea of a limit instead of an infinitesimal. Later in the 19th century, Weierstrass resolved some of the inconsistencies in Cauchy’s account and satisfactorily showed how to define continuity in terms of limits (his epsilon-delta method). As J. O. Wisdom points out (1953, p. 23), “At the same time it became clear that [Leibniz’s and] Newton’s theory, with suitable amendments and additions, could be soundly based” provided Leibniz’s infinitesimals and Newton’s fluxions were removed. In an effort to provide this sound basis according to the latest, heightened standard of what counts as “sound,” Peano, Frege, Hilbert, and Russell attempted to properly axiomatize real analysis. Unfortuately, this led in 1901 to Russell’s paradox and the fruitful controversy about how to provide a foundation to all of mathematics. That controversy still exists, but the majority view is that axiomatic Zermelo-Fraenkel set theory with the axiom of choice blocks all the paradoxes, legitimizes Cantor’s theory of transfinite sets, and provides the proper foundation for real analysis and other areas of mathematics, and indirectly resolves Zeno’s paradoxes. This standard real analysis lacks infinitesimals, thanks to Cauchy and Weierstrass. Standard real analysis is the mathematics that the Standard Solution applies to Zeno’s Paradoxes.

In Standard real analysis, the rational numbers are not continuous although they are infinitely numerous and infinitely dense. To come up with a foundation for calculus there had to be a good definition of the continuity of the real numbers. But this required having a good definition of irrational numbers. There wasn’t one before 1872. Dedekind’s definition in 1872 defines the mysterious irrationals in terms of the familiar rationals. The result is a clear and useful definition of real numbers. The usefulness of Dedekind’s definition of real numbers, and the lack of any better definition, convinced many mathematicians to be more open to accepting the real numbers and actually-infinite sets.

Let’s take a short interlude and introduce Dedekind’s key, new idea that he discovered in the 1870s about the reals and their relationship to the rationals. He envisioned how to define a real number to be a cut of the rational numbers, where a cut is a certain ordered pair of actually-infinite sets of rational numbers.

A Dedekind cut (A,B) is defined to be a partition or cutting of the standardly-ordered set of all the rational numbers into a left part A and a right part B. A and B are non-empty, and they partition all the rationals so that the numbers in A are less than all those in B, and also A contains no greatest number. Every real number is a unique Dedekind cut. The cut can be made at a rational number or at an irrational number. Here are examples of each:

Dedekind’s real number 1/2 is ({x : x < 1/2} , {x: x ≥ 1/2}).

Dedekind’s positive real number √2 is ({x : x < 0 or x2 < 2} , {x: x2 ≥ 2}).

The value of ‘x’ must be rational only. For any cut (A,B), if B has a smallest number, then the real number for that cut corresponds to this smallest number, as in the definition of ½ above. Otherwise, the cut defines an irrational number which, loosely speaking, fills the gap between A and B, as in the definition of the square root of 2 above. By defining reals in terms of rationals this way, Dedekind gave a foundation to the reals, and legitimized them by showing they are as acceptable as actually-infinite sets of rationals.

But what exactly is an actually-infinite (or transfinite) set, and does this idea lead to contradictions? This question needs an answer if there is to be a good theory of continuity and of real numbers. In the 1870s, Cantor clarified what an actually-infinite set is and made a convincing case that the concept does not lead to inconsistencies. These accomplishments by Cantor are why he (along with Dedekind and Weierstrass) is said by Russell to have “solved Zeno’s Paradoxes.”

That solution recommends using very different concepts and theories than those used by Zeno. The argument that this is the correct solution was presented by many people, but it was especially influenced by the work of Bertrand Russell (1914, lecture 6) and the more detailed work of Adolf Grünbaum (1967). In brief, the argument for the Standard Solution is that we have solid grounds for believing our best scientific theories, but the theories of mathematics such as calculus and Zermelo-Fraenkel set theory are indispensable to these theories, so we have solid grounds for believing in them, too. The scientific theories require a resolution of Zeno’s paradoxes and the other paradoxes; and the Standard Solution to Zeno’s Paradoxes that uses standard calculus and Zermelo-Fraenkel set theory is indispensable to this resolution or at least is the best resolution, or, if not, then we can be fairly sure there is no better solution, or, if not that either, then we can be confident that the solution is good enough (for our purposes). Aristotle’s treatment, on the other hand, uses concepts that hamper the growth of mathematics and science. Therefore, we should accept the Standard Solution.

In the next section, this solution will be applied to each of Zeno’s ten paradoxes.

To be optimistic, the Standard Solution represents a counterexample to the claim that philosophical problems never get solved. To be less optimistic, the Standard Solution has its drawbacks and its alternatives, and these have generated new and interesting philosophical controversies beginning in the last half of the 20th century, as will be seen in later sections. The primary alternatives contain different treatments of calculus from that developed at the end of the 19th century. Whether this implies that Zeno’s paradoxes have multiple solutions or only one is still an open question.

Did Zeno make mistakes? And was he superficial or profound? These questions are a matter of dispute in the philosophical literature. The majority position is as follows. If we give his paradoxes a sympathetic reconstruction, he correctly demonstrated that some important, classical Greek concepts are logically inconsistent, and he did not make a mistake in doing this, except in the Moving Rows Paradox, the Paradox of Alike and Unlike and the Grain of Millet Paradox, his weakest paradoxes. Zeno did assume that the classical Greek concepts were the correct concepts to use in reasoning about his paradoxes, and now we prefer revised concepts, though it would be unfair to say he blundered for not foreseeing later developments in mathematics and physics.

3. The Ten Paradoxes

Zeno probably created forty paradoxes, of which only the following ten are known. Only the first four have standard names, and the first two have received the most attention. The ten are of uneven quality. Zeno and his ancient interpreters usually stated his paradoxes badly, so it has taken some clever reconstruction over the years to reveal their full force. Below, the paradoxes are reconstructed sympathetically, and then the Standard Solution is applied to them. These reconstructions use just one of several reasonable schemes for presenting the paradoxes, but the present article does not explore the historical research about the variety of interpretive schemes and their relative plausibility.

a. Paradoxes of Motioni. The Achilles

Achilles, whom we can assume is the fastest runner of antiquity, is racing to catch the tortoise that is slowly crawling away from him. Both are moving along a linear path at constant speeds. In order to catch the tortoise, Achilles will have to reach the place where the tortoise presently is. However, by the time Achilles gets there, the tortoise will have crawled to a new location. Achilles will then have to reach this new location. By the time Achilles reaches that location, the tortoise will have moved on to yet another location, and so on forever. Zeno claims Achilles will never catch the tortoise under the assumption that the tortoise keeps crawling and does not halt. This argument shows, he believes, that anyone who believes Achilles will succeed in catching the tortoise and who believes more generally that motion is physically possible is the victim of illusion. The claim that motion is an illusion had been advanced by Parmenides who was a tutor of Zeno.

The source for all of Zeno’s arguments is the writings of his opponents. The Achilles Paradox is reconstructed from Aristotle (Physics Book VI, Chapter 8, 239b14-16) and some passages from Simplicius in the fifth century C.E. There is no evidence that Zeno used a tortoise rather than a slow human. The tortoise was a later addition by Simplicius. Aristotle spoke simply of “the runner” who competes with Achilles.

It won’t do to react and say the solution to the paradox is that there are biological limitations on how small a step Achilles can take. Achilles’ feet are not obligated to stop and start again at each of the locations described above, so there is no limit to how close one of those locations can be to another. A stronger version of his paradox would ask us to consider the movement of Achilles’ center of mass. It is best to think of Achilles’ change from one location to another as a continuous movement rather than as incremental steps requiring halting and starting again. Zeno is assuming that space and time are infinitely divisible; they are not discrete or atomistic. If they were, this Paradox’s argument would not work.

제노의 추론에 대한 한 가지 일반적인 불만은 아킬레우스가 거북이가 있는 곳을 계속 나쁘게 조준하면 거북이를 잡을 수 없다는 것이 분명하기 때문에 그가 밀짚 인간을 세우고 있다는 것입니다. 그는 더 먼 앞쪽을 목표로 해야 합니다. 이 불만의 실수는 아킬레우스가 어떤 종류의 더 나은 목표를 취했다 하더라도, 그가 소위 "나쁜 목표"의 목표인 모든 장소로 가야 한다는 것은 여전히 사실이므로 나쁜 목표에 대해 언급하는 것은 제노의 주장을 성공적으로 다루는 방법이 아니라는 것입니다.

아킬레스 역설에 대한 "표준 솔루션"이라고 불리는 치료법은 미적분학과 실제 분석의 다른 부분을 사용하여 상황을 설명합니다. 이는 제노가 아킬레스가 자신의 목표를 달성할 수 없다고 가정하고 있음을 암시합니다.

(1) 너무 멀리 달리거나

(2) 시간이 부족하거나

(3) 갈 곳이 너무 많거나

(4) 최종 단계가 없거나

(5) 작업이 너무 많습니다.

역사적 기록은 이들 중 어느 것이 제노의 실제 가정이었는지 알려주지 않지만, 표준 솔루션에 따르면 모두 잘못된 가정입니다.

가정 (1)을 고려해 보겠습니다. 아마도 제노는 아킬레스의 달리기에는 무한대의 하위 거리가 관련되어 있으며, 하위 거리의 합은 실제 무한대이며, 이는 아킬레우스에게도 너무 많은 거리라고 말함으로써 그 가정을 옹호할 것입니다. 그러나 표준 해법의 옹호자는 "제노 시대에 수학자들은 계열에 유한한 수의 항이 있을 때만 일련의 항의 합을 이해할 수 있었는데, 제노는 이 무한 급수의 합이 무엇인지 어떻게 알 수 있습니까? 어쩌면 그는 무한한 수의 항의 합이 어떻게든 잘 정의되고 무한할 수 있다고 추측하고 있을 수도 있습니다." 표준 솔루션에 따르면 합은 유한합니다. 다음은 거북이를 쫓아 추월하는 아킬레스의 활동을 보여주는 표준 솔루션의 방법을 사용한 그래프입니다.

이해하기 쉽도록 제노와 거북이는 각각 일정한 속도(즉, 한 방향으로 일정한 속도)로 움직이는 점 질량 또는 극소 입자로 가정됩니다. 그래프는 아킬레스의 경로가 선형 연속체이므로 실제 무한대의 점으로 구성되어 있다는 사실을 보여주고 있습니다. (실제 무한대는 "완성된 무한대" 또는 "초유한 무한대"라고도 합니다. "실제"라는 단어는 "상상"이 아닌 "실제"를 의미하지 않습니다.) 제노가 아킬레우스의 경로가 선형 연속체라고 가정하지 못한 것은 추론자가 현대 수리 물리학의 개념을 사용하도록 요구하는 표준 해법에 따르면 그의 주장에서 치명적인 단계입니다.

아킬레스건은 거리 d1 포인트 X에 도달하는 데 있어1 거북이가 시작되는 곳이지만 아킬레스건이 x에 도달할 때쯤에는1, 거북이는 새로운 지점 x로 이동했습니다.2. 아킬레스건이 x에 도달하면2, 추가 거리 d2, 거북이는 X 지점으로 이동했습니다.3, 아킬레스가 추가 거리를 커버해야 합니다.3, 등등. 겹치지 않는 거리(또는 간격 또는 하위 경로)의 이 시퀀스는 실제 무한대이지만 기하학적 급수는 수렴합니다. 항의 합 d1 + 디2 + 디3 +… 는 아킬레우스가 일정한 속도로 움직이면서 쉽게 완주할 수 있는 유한한 거리입니다.

제노가 아킬레스에게 시간이 충분하지 않거나 그가 도망칠 장소가 너무 많다는 위의 (2) 또는 (3)에 대한 가정을 했다면 비슷한 추론이 적용될 것입니다. 가정 (4)과 관련하여, 아킬레스의 달리기에 마지막 단계 또는 최종 하위 경로가 있다는 Zeno의 요구 사항은 표준 솔루션에 따르면 단순히 잘못된 것입니다. (수퍼 작업에 대해 논의할 때 섹션 5c에서 가정 (5)에 대해 더 자세히 설명하겠습니다.)

제노 시대에는 수학자들이 유한한 수의 거리의 합만을 이해할 수 있었기 때문에, 아킬레우스가 잠재적인 무한대의 합이 언제든 유한한 숫자이기 때문에 실제 무한대가 아니라 잠재적인 거리의 무한대만 다루었다고 주장한 것은 아리스토텔레스의 천재성이었다. 따라서 아킬레우스는 그런 의미에서 유한한 기간 동안 유한한 거리를 커버하면서 무한한 작업을 달성할 수 있습니다. 아리스토텔레스가 이 주장을 하고 이를 제노의 역설을 치료하는 데 사용했을 때, 아킬레스건의 역설에 대한 더 나은 해결책은 없었고, 더 나은 해결책은 앞으로 몇 세기 동안 발견되지 않을 것입니다. 제노 시대에는 연속적인 공간에 대한 명확한 개념도, 실제로 무한한 급수의 한계도, 심지어 0에 대한 명확한 개념도 가지고 있지 않았습니다.

아킬레스건 논증은 제노 시대처럼 모호하게 남겨지지 않고 강화된다면 공간과 시간이 연속적이거나 무한히 나눌 수 있다고 가정합니다. 따라서 제노의 결론은 실제 무한의 의미에서 공간과 시간이 무한히 나눌 수 있다면 아킬레우스가 거북이를 잡을 수 없다고 좀 더 신중하게 주장했을 수도 있습니다. 아마도 일부 평론가들이 추측했듯이 제노는 연속적인 공간을 공격하기 위해서만 아킬레스건의 역설을 사용했거나 사용했어야 했으며, 이산 공간을 공격하기 위해 "화살표"와 "움직이는 행"과 같은 다른 역설을 사용했거나 사용했어야 했을 것입니다.

ii. 이분법(경마장)

아리스토텔레스가 깨달았듯이 이분법의 역설은 아킬레우스가 거북이 앞에 가만히 서 있는 아킬레스건의 역설일 뿐입니다. 그의 프로그레시브 이분법 역설에서 제노는 주자는 직선 경마장에서 정지된 골라인에 도달하지 못할 것이라고 주장했습니다. 그 이유는 주자가 먼저 목표까지의 거리의 절반에 도달해야 하지만, 거기에서 그는 여전히 목표까지 남은 거리의 절반을 넘어야 하지만, 그렇게 한 후에도 주자는 새로운 나머지의 절반을 커버해야 하기 때문입니다. 목표가 1미터 떨어져 있는 경우 주자는 1/2미터, 1/4미터, 1/8미터 등의 거리를 무한히 이동해야 합니다. 주자는 최종 목표에 도달할 수 없다고 Zeno는 말합니다. 왜 안 돼요? 여기에는 제노의 추론의 흔적이 거의 없지만, 가장 강력한 추론을 제공하는 재구성의 경우 달리기에는 너무 멀기 때문에 주자가 최종 목표에 도달하지 못할 것이라고 말할 수 있으며 합은 실제로 무한합니다. 대신 표준 해는 이 무한 기하 급수의 합이 무한대가 아니라 1이라고 주장합니다.

The problem of the runner reaching the goal can be viewed from a different perspective. According to the Regressive version of the Dichotomy Paradox, the runner cannot even take a first step. Here is why. Any step may be divided conceptually into a first half and a second half. Before taking a full step, the runner must take a 1/2 step, but before that he must take a 1/4 step, but before that a 1/8 step, and so forth ad infinitum, so Achilles will never get going. Like the Achilles Paradox, this paradox also concludes that any motion is impossible.

The Dichotomy paradox, in either its Progressive version or its Regressive version, assumes here for the sake of simplicity and strength of argumentation that the runner’s positions are point places. Actual runners take up some larger volume, but the assumption of point places is not a controversial assumption because Zeno could have reconstructed his paradox by speaking of the point places occupied by, say, the tip of the runner’s nose or the center of his mass, and this assumption makes for a clearer and stronger paradox.

이분법의 역설에서 주자는 목표에 도달하는 길에 1/2, 3/4, 7/8 등에 도달하지만, 최초의 집합 이론을 개발한 볼차노와 데데킨트, 칸토르의 영향으로 그 점의 집합은 더 이상 잠재적으로 무한한 것으로 간주되지 않습니다. 그것은 실제로 점의 연속체에서 추상화된 무한한 점 집합으로, 여기서 "연속체"라는 단어는 미적분학의 핵심인 19세기 후반 의미에서 사용됩니다. 그리고 실제로 무한한 일련의 경로 길이 또는 세그먼트 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 무한하다는 것은 이제 합이 1로 수렴한다는 이론을 위해 거부되어야 합니다. 이것은 표준 솔루션에 따라 이분법 역설을 해결하는 데 핵심입니다. 기본적으로 아킬레스건에 주어진 것과 동일한 대우입니다. 이분법의 역설은 일부 평론가들에 의해 "경기장"이라고 불렸지만, 그 이름은 이동하는 행의 역설에도 일반적으로 사용되므로 독자들은 문헌의 모호함에 주의해야 합니다.

아리스토텔레스는 물리학 Z9에서 이분법에 대해 시간 간격이 점점 짧아진다면 주자가 유한한 시간 내에 잠재적으로 무한한 수의 사물과 접촉할 수 있다고 말했습니다. 아리스토텔레스는 제노가 이것이 불가능하다고 가정했으며 그것이 이분법에서 그의 오류 중 하나라고 말했습니다. 그러나 아리스토텔레스는 단지 이것을 주장했을 뿐 유한한 시간을 계산할 수 있는 자세한 이론을 제시할 수 없었습니다. 따라서 아리스토텔레스는 제노의 오류에 대한 자신의 진단을 실제로 변호할 수 없었습니다. 오늘날 미적분학은 표준 솔루션에 자세한 이론을 제공하는 데 사용됩니다.

해결이 필요한 이분법의 또 다른 세부 사항이 있습니다. 무한한 일련의 단계(간격 및 목표)의 마지막 단계나 마지막 구성원이 없는 경우 Zeno의 주자는 어떻게 여행을 완료합니까? 여행에는 마지막 단계가 필요하지 않습니까? 표준 솔루션은 "아니오"라고 대답하고 직관적인 대답인 "예"는 제노와 아리스토텔레스, 그리고 오늘날 일반 사람들이 표준 솔루션을 수용할 때 거부해야 하는 많은 직관 중 하나라고 말합니다.

iii. 화살

제노의 화살의 역설은 시간과 운동에 대한 상식적인 개념의 일관성에 도전하기 위해 다른 접근 방식을 취합니다. 두 상황의 스냅샷(순간 사진)만 본다고 가정할 때 우주에 정지해 있는 화살표와 우주를 날아다니는 화살표를 어떻게 구별할 수 있는지 생각해 보십시오. 차이가 있을까요? 아니요, 그리고 어느 시점에서든 화살표는 진전을 이루지 않기 때문에 결코 진전을 이루지 않습니다.

아리스토텔레스가 설명했듯이, 제노의 "시간은 순간으로 구성되어 있다는 가정"에서 움직이는 화살표는 어느 순간에나 자신과 동일한 공간을 차지해야 합니다. 즉, 나눌 수 없는 순간이나 순간 동안 그것은 그것이 있는 장소에 있습니다. 그러나 장소는 움직이지 않습니다. 따라서 매 순간 화살표가 자신과 동일한 공간을 차지하고 있다면 화살표는 그 순간에 움직이지 않습니다. 움직이지 않는 이유는 움직일 시간이 없기 때문입니다. 그것은 단순히 그 장소에 있습니다. 어떤 움직임도 할 시간이 충분하지 않기 때문에 그 순간 동안 움직일 수 없으며, 그 순간은 나눌 수 없습니다. 소위 화살의 "비행"을 하는 동안의 다른 순간에도 동일한 추론이 적용됩니다. 따라서 화살표는 절대 움직이지 않습니다. 비슷한 주장을 통해 제노는 다른 어떤 것도 움직이지 않는다는 것을 입증할 수 있습니다. 제노의 주장의 출처는 아리스토텔레스입니다(물리학, 제6권, 5장, 239b5-32).

화살의 역설에 대한 표준 해법은 길이와 같은 위치를 차지하면 움직이지 않는다는 제노의 가정을 부정하며, 순간적인 움직임과 같은 것은 없다는 것을 부정합니다. 이 솔루션은 대신 미적분학의 속도 개념에 호소합니다. 이 이론은 순간 운동, 즉 순간 동안의 운동을 정의하지 않고 순간적인 운동을 정의합니다. 운동에 대한 이 새로운 처리는 16세기 뉴턴과 라이프니츠에 의해 시작되었으며, 운동이 서로 다른 시간에 서로 다른 장소에 존재한다는 "at-at" 운동 이론을 사용합니다. 움직임은 순간적으로만 드러나는 어떤 특징이 아니다. 고대의 차이와 달리 휴식과 운동의 현대적 차이는 가까운 순간에 일어나는 일과 관련이 있으며, 제노와 반대로 순간 동안 일어나는 일과는 아무런 관련이 없습니다.

일부 연구자들은 화살 패러독스가 연속적인 시간과 공간이 아닌 이산적인 시간과 공간을 공격하기 위해 제노가 설계했다고 추측했습니다. 이것은 명확하지 않으며 표준 솔루션은 둘 다에 대해 작동합니다. 즉, 시간이 연속적이고 제노의 순간이 유한한 지속 시간이 없는지, 아니면 시간이 이산이고 제노의 순간이 10년 동안 지속되는지 여부에 관계없이-44 초가 지나면 그 순간 화살표가 움직일 시간이 충분하지 않습니다. 그러나 그 순간이 얼마나 오래 지속되는지에 관계없이 여전히 순간적인 움직임, 즉 물체가 다른 순간에 다른 장소에 있는 경우 그 순간의 움직임이 있을 수 있습니다.

이 중요한 점을 다시 강조하기 위해, 제노와 21세기 수학 물리학자들은 화살이 순간(순간 시간) 내에서 또는 그 순간 동안 움직일 수 없다는 데 동의하지만, 물리학자들은 화살표가 그 순간에 양의 속도(소위 순간 속도)를 갖는다는 의미에서 순간적으로 움직일 수 있다고 지적할 것입니다. 화살표가 그 순간 전이나 후에 서로 다른 위치를 차지하여 그 순간이 화살표가 지속적으로 움직이는 기간의 일부가 된다. 가까운 순간에 일어나는 일에 주의를 기울이지 않으면 순간적인 움직임과 순간적인 정지를 구별하는 것은 불가능하지만, 둘을 구별하는 것이 화살의 패러독스에서 벗어날 수 있는 방법입니다. 제노는 순간적으로 운동에 대한 생각을 주저했을 것이고, 아리스토텔레스는 그것을 명백히 부인했다.

화살의 역설은 운동에 대한 새로운 at-at 이론으로 표준 솔루션에 의해 반박되지만, 이 역설은 운동이 순간의 본질적인 속성이며 다른 곳에 있는 어떤 성향이나 성향이라고 말하는 것을 선호하는 사람에게는 특히 강해 보입니다.

이산 운동이 아닌 연속 운동을 가정한 표준 솔루션의 세부 사항을 다시 생각해 봅시다. 미적분학에서 순간적인 물체의 속도(순간 속도)는 물체 위치의 시간 도함수입니다. 이것은 물체의 속도가 순간을 포함하는 점점 더 작은 시간 간격 동안 일련의 평균 속도의 한계임을 의미합니다. 우리는 물체의 속도가 간격의 길이가 0이 되는 경향이 있기 때문에 간격 동안의 평균 속도의 한계라고 말할 때 본질적으로 동일한 점을 만듭니다. 시간 t에 대한 화살표의 위치 x의 도함수, 즉 dx/dt는 화살의 순간 속도이며, 화살이 비행하는 동안 특정 순간에 특정 위치에서 0이 아닌 값을 갖습니다. 제노가 요구하는 순간 또는 순간의 속도는 0/0이 되며 정의되지 않습니다. 그러나 순간의 속도는 잘 정의되어 있습니다. 만일 우리가 이러한 현대적 개념들을 사용해야 한다면, 제노는 매 순간 화살의 속도가 0이라고 가정함으로써 그가 시도하는 것처럼 모순을 성공적으로 만들어낼 수 없다. 따라서 표준 솔루션의 옹호자들은 Zeno의 화살의 역설이 거짓이지만 중요한 가정을 가지고 있으므로 건전하지 않다고 결론지었습니다.

제노와는 별개로, 화살의 역설은 중국의 변증법자 쿵쑨룽(Gong-sun Long, 기원전 325-250년경)에 의해 발견되었다. 화살의 역설에 대한 철학적 질문은 미적분학의 장치를 사용하지 않고는 운동이 불가능하다는 제노의 주장을 적절하게 반박할 수 있는 방법이 있는지 여부입니다.

iv. 움직이는 행(경기장)

아리스토텔레스(물리학, 제6권, 9장, 239b33-240a18)에 따르면, 제노는 경기장 내에서 세 개의 평행한 줄을 따라 정렬된 동일한 길이의 물체(즉, 물리적 물체)를 고려하여 역설을 만들려고 합니다. 하나의 트랙에는 A 몸이 포함되어 있습니다(세 개의 A 몸은 아래에 표시되어 있습니다). 다른 하나는 B 몸을 포함합니다. 세 번째는 C 바디를 포함합니다. 각 물체는 트랙을 따라 이웃 물체와 동일한 거리에 있습니다. A 몸체는 고정되어 있습니다. B는 오른쪽으로 움직이고 C는 같은 속도로 왼쪽으로 움직이고 있습니다. 다음은 전후의 상황에 대한 두 가지 스냅샷입니다. 그들은 한 순간 떨어져 있습니다.

제노는 스냅샷 전과 스냅샷 후 사이의 시간 동안 가장 왼쪽의 C가 두 개의 B를 통과하지만 하나의 A만 통과한다고 지적하는데, 이는 C가 하나의 A보다 두 개의 B를 통과하는 데 더 오래 걸릴 것이라는 그의 (매우 논란의 여지가 있는) 가정과 모순된다. 이 역설에서 벗어나는 일반적인 방법은 논란의 여지가 있는 가정을 거부하는 것입니다.

아리스토텔레스는 몸을 통과하는 데 걸리는 시간이 몸의 속도에 달려 있다고 주장합니다. 예를 들어, 몸이 당신을 향해 오고 있다면 정지해 있을 때보다 더 짧은 시간에 통과할 수 있습니다. 오늘날의 분석가들은 아리스토텔레스의 진단에 동의하며, 역사적으로 이 운동의 역설은 이전 세 가지보다 약해 보였다. 이 역설은 "경기장"이라고 불렸지만 때때로 이분법의 역설도 마찬가지입니다.

예를 들어 Tannerry(1887)와 같은 일부 분석가들은 제노가 역설이 공간과 시간이 연속이 아닌 이산(양자화, 원자화)이라고 가정해야 한다는 것을 염두에 두었을 수 있다고 믿으며, 제노는 자신의 주장이 이산 공간과 시간 개념의 일관성에 도전하기 위해 의도했습니다.

글쎄요, 역설은 이렇게 해석될 수 있습니다. 그렇다면 세 개의 물체 A, B, C가 트랙에서 서로 인접하고 각 A, B 및 C 물체가 원자 1개 길이의 공간을 차지하고 있다고 가정합니다. 그런 다음 모든 운동이 한 시간 원자에서 하나의 공간 원자의 속도로 발생한다면 가장 왼쪽의 C는 A-공간의 한 원자를 통과하는 시간 동안 B-공간의 두 원자를 통과하게 되며, 이는 속도에 대한 우리의 가정과 모순됩니다. 또 다른 역설적인 결과가 있습니다. 왼쪽 C 객체가 차지하는 공간을 보십시오. 움직이는 순간에는 중간 B 물체를 지나가지만, 그것들이 인접해 있는 시간은 없는데, 이는 이상하다.

따라서 제노의 주장은 공간과 시간이 불연속적이라는 생각에 도전하는 것으로 해석될 수 있습니다. 그러나 대부분의 평론가들은 제노 자신이 자신의 역설을 이런 식으로 해석하지 않았다고 의심합니다.

b. 복수의 역설

제노의 운동 역설은 운동이 실재한다는 일반적인 믿음에 대한 공격이지만, 운동은 일종의 복수성, 즉 복수의 시간에 복수의 장소를 따라 진행되는 과정이기 때문에 이러한 종류의 복수성에 대한 공격이기도 합니다. 제노는 모든 종류의 복수성에 대해 보다 직접적인 공격을 제공했습니다. 첫 번째는 그의 유사와 유사하지 않은 역설입니다.

i. 유사성과 다른

플라톤의 파르메니데스 127-9에 따르면, 제노는 다원성의 가정, 즉 많은 것들이 있다는 가정이 모순으로 이어진다고 주장했다. 그는 제노의 말을 인용합니다: "사물이 많다면, · · · 그들은 닮았고 닮지 않아야 합니다. 그러나 그것은 불가능합니다. 사물과 같을 수도 없고, 사물과 다르다"(Hamilton and Cairns (1961), 922).

제노의 요점은 이것이다. 어떤 사람과 어떤 산과 같은 여러 가지를 고려하십시오. 이러한 것들은 무겁다는 성질을 공통적으로 가지고 있습니다. 그러나 그것들이 모두 이 속성을 공통적으로 가지고 있다면, 그것들은 실제로 모두 같은 종류의 것이며 따라서 복수가 아닙니다. 그들은 하나입니다. 이러한 추론을 통해 제노는 복수가 하나(또는 다수가 많지 않음)라는 것이 밝혀졌다고 믿는데, 이는 모순입니다. 그러므로 부조리한 환원에 의하면, 파르메니데스가 항상 주장해 온 것처럼 복수성은 존재하지 않는다.

플라톤은 즉시 제노가 모호하다고 비난합니다. 사물은 한 가지 측면에서는 다른 것과 비슷할 수 있지만 다른 측면에서는 비슷하지 않을 수 있습니다. 다른 것과 공통된 재산을 가지고 있다고 해서 다른 것과 동일해지는 것은 아닙니다. 우리의 복수의 사람과 산을 다시 생각해 보십시오. 사람과 산은 모두 무겁다는 점에서는 비슷하지만 지능은 다릅니다. 그리고 그것들은 산이라는 점에서 다릅니다. 산은 산이지만 사람은 그렇지 않습니다. 플라톤이 말했듯이, 제노가 "같은 것이 많고 하나라는 결론을 내리려고 할 때, 우리는 그가 증명하고 있는 것은 어떤 것이 [다른 측면에서] 많고 하나라는 것이지, 통일성이 많거나 복수가 하나라는 것이 아니라고 말할 것입니다...." [129d] 따라서 모순은 없으며 역설은 플라톤에 의해 해결됩니다. 이 역설은 일반적으로 제노의 가장 약한 역설 중 하나로 간주되며 현재는 거의 논의되지 않습니다. [일부 논의는 Rescher(2001), pp. 94-6 참조.]

ii. 제한 및 무제한

이 역설은 밀도의 역설이라고도 합니다. 파르메니데스가 말했듯이 단 한 가지가 아니라 많은 것들이 존재한다고 가정해 보자. 그러면 그 많은 것들 중 확실하고 고정된 숫자가 있을 것이며, 따라서 그것들은 "제한"될 것입니다. 한계는 매우 큰 숫자일 수 있지만 여전히 한계입니다. 반면에 많은 것들이 있다면, 두 가지만 말하면 그것들은 구별되어야 하며, 그것들을 구별하기 위해서는 그것들을 분리하는 세 번째 것이 있어야 한다고 제노는 추론합니다. 그래서 세 가지가 있습니다. 그러나 이 사이에서, .... 즉, 사물은 밀도가 높고 확실하거나 고정된 수가 없기 때문에 "무제한"이 됩니다. 이것은 모순인데, 왜냐하면 다수성은 제한적이면서도 무제한적이기 때문이다. 그러므로 복수는 없습니다. 존재하는 것은 하나뿐, 많은 것은 존재하지 않습니다. 역사가들은 일반적으로 이 주장이 6세기 심플리시우스가 아리스토텔레스의 물리학 제1권에 대한 주석에서 제노의 전체 인용문으로 제시되었다는 데 동의합니다.

이 역설에 대한 표준 해법에 따르면, 제노 주장의 약점은 "그것들을 구별하기 위해서는 그것들을 분리하는 제3의 것이 있어야 한다"는 가정에 있다고 말할 수 있습니다. 제노는 공간에서 분리된 두 물리적 물체 사이에 제3의 장소가 있다고 말하는 것이 옳았을 것입니다, 왜냐하면 공간은 수학자의 밀도 감각에서 밀도가 높기 때문이지만, 그는 그가 그랬던 것처럼 장소가 둘 사이의 세 번째 물리적 대상이라고 주장하는 것은 잘못된 것입니다. 서로 다른 위치에 있는 두 개체 사이에 개체가 없을 수 있습니다.

"대상"이라는 용어는 철학적 논의에서 매우 신중하게 사용해야 합니다. 오늘날 "대상"이라는 용어의 의미에서 아리스토텔레스는 대상이 될 수 있지만, 그가 여기에서 저기로 이동한다면 이제 두 명의 아리스토텔레스가 있거나 둘 사이에 세 번째 대상이 있다는 결론이 나오지 않을 것입니다. 객체가 위치한 장소는 객체의 고유한 속성이 아니라 관계적 속성으로 간주됩니다. 객체는 고유한 속성으로 특징지어집니다. 하나의 대상이 두 가지 관계적 속성, 예를 들어 아리스토텔레스가 존경하고 플라톤이 존경하지 않는 속성이 있다면, 이것이 대상이 두 배가 되었다는 것을 의미한다고 말하지 않습니다.

iii. 크고 작은

파르메니데스가 말했듯이 단 한 가지가 아니라 많은 것이 존재한다고 가정해 보자. 그러면 복수의 모든 부분은 크기가 없을 정도로 작을 뿐만 아니라 무한할 정도로 크다고 Zeno는 말합니다. 크기가 없는 이유에 대한 그의 추론은 사라졌지만 많은 평론가들은 그가 다음과 같이 추론할 것이라고 제안합니다. 복수가 있다면 그 자체로 복수가 아닌 부분으로 구성되어야 합니다. 그러나 복수가 아닌 사물은 크기를 가질 수 없으며, 그렇지 않으면 부분으로 나눌 수 있으므로 그 자체로 복수가 될 것입니다.

자, 왜 복수의 부분들은 무한할 정도로 크는가? 글쎄요, 크기에 관한 한 그러한 것들을 함께 추가하는 것은 전체에 아무 기여도 하지 않기 때문에 부품이 크기가 없을 정도로 작을 수 없습니다. 따라서 부품의 크기는 0이 아닙니다. 그렇다면 이러한 각 파트에는 서로 다른 앞에 있는 두 개의 공간적으로 구별되는 하위 파트가 있습니다. 이러한 각 하위 부분에도 크기가 있습니다. 앞부분은 사물이기 때문에 공간적으로 구별되는 두 개의 하위 부분을 가지며, 하나는 다른 부분 앞에 있습니다. 그리고 이 두 하위 부분에는 크기가 있습니다. 뒷부분도 마찬가지입니다. 그런 식은 끝이 없습니다. 이 모든 하위 부분의 합은 무한합니다. 따라서 복수의 각 부분은 무한할 정도로 클 것입니다.

이 논증의 동정적인 재구성은 심플리시우스의 아리스토텔레스 물리학에 기초하고 있는데, 심플리시우스는 역설의 일부에 대해 제노 자신의 말을 인용하지만, 그가 인용하는 내용은 말하지 않습니다.

표준 솔루션에 따르면 Zeno의 추론에는 많은 오류가 있습니다. 그는 "복수가 있다면, 그것은 그 자체로 복수가 아닌 부분들로 구성되어야 한다"고 말하면서 처음에 잘못 알고 있다. 대학은 예시적인 반례입니다. 대학은 복수의 학생이지만 학생이 복수일 가능성을 배제할 필요는 없습니다. 무엇이 전체이고 무엇이 복수인지는 우리의 목적에 달려 있습니다. 대학을 복수의 학생으로 간주할 때, 우리는 학생들을 부분이 없는 전체로 간주합니다. 그러나 다른 목적을 위해 우리는 학생이 복수의 생물학적 세포라고 말하고 싶을 수 있습니다. 제노는 이러한 상대성 이론의 개념과 부분-전체 추론에 대해 혼란스러워합니다. 그리고 평론가들이 이것을 인식하기 시작하면서 그들은 다원론과 일원론 사이의 형이상학적 논쟁의 플레이어로서 제노에 대한 관심을 잃었습니다.

두 번째 오류는 복수의 각 부분이 0이 아닌 크기를 가져야 한다고 주장할 때 발생합니다. 현대의 측정 개념(Brouwer, Lebesgue 등이 20세기에 개발)은 모든 점에 0 측정값이 있더라도 선분이 0이 아닌 측정값을 갖도록 측정 함수를 올바르게 정의하는 방법을 보여주었습니다. 선분 [a, b]의 측정값은 b – a입니다. 변이 a인 정육면체의 측정값은3. 이 측정 이론은 이제 길이, 부피, 지속 시간, 질량, 전압, 밝기 및 기타 연속적인 크기에 대해 우리 문명에서 적절하게 사용됩니다.

아리스토텔레스의 지원 덕분에, 제노의 크고 작은 역설과 무한 분할성의 역설(아래에서 논의할 것)은 일반적으로 연속적인 크기가 점으로 구성될 수 없다는 것을 보여준 것으로 간주되었습니다. 18세기에 이 주제에 대한 관심이 다시 불붙었습니다. 1726년 뉴턴의 고전 역학에 있는 물리적 물체는 1763년 RJ Boscovich에 의해 점 질량의 집합체로 해석되었습니다. 각 점 질량은 고정된 질량을 운반하는 이동점입니다. 마치 점 입자의 구성인 것처럼 연속적인 물체의 이상화는 매우 유익했습니다. 물리학에서 매우 어려운 문제를 쉽게 해결하는 데 사용할 수 있습니다. 이러한 성공으로 인해 과학자, 수학자, 철학자들은 제노의 크고 작은 역설과 무한 분할 가능성의 힘이 과대평가되었음을 인식하게 되었습니다. 그들은 연속적인 크기가 점으로 구성되는 것을 막지 못했습니다.

iv. Infinite Divisibility

이것은 복수의 모든 역설 중에서 가장 어려운 것입니다. 이론적으로 물체가 복수의 부분으로 나눌 수 있다고 가정할 때 발생하는 어려움을 고려하십시오. Zeno에 따르면 재조립 문제가 있습니다. 물체를 겹치지 않는 두 부분으로 자른 다음 반복되는 분할 과정이 완료될 때까지 유사하게 이 부분을 부분으로 자르는 식을 상상해 보십시오. 가상의 분할이 "철저한" 것이거나 끝난다고 가정하면 결국 우리는 제노가 "원소"라고 부르는 것에 도달합니다. 여기에 재조립에 대한 문제가 있습니다. 세 가지 가능성이 있습니다. (1) 요소는 아무것도 아닙니다. 이 경우 원래의 대상은 아무것도 아닌 합성물이 될 것이며, 따라서 전체 대상은 단지 외관이 될 것이며, 이는 터무니없는 일이다. (2) 요소는 무언가이지만 크기는 0입니다. 따라서 원래 개체는 크기가 0인 요소로 구성됩니다. 무한대의 0을 더하면 합이 0이 되므로 원래 객체에는 크기가 없는데 이는 터무니없는 일입니다. (3) 요소는 무언가이지만 크기가 0이 아닙니다. 그렇다면 이것들은 더 나눌 수 있고, 결국 분할 과정은 완료되지 않았으며, 이는 그 과정이 이미 완료되었다는 우리의 가정과 모순됩니다. 요약하면 세 가지 가능성이 있었지만 세 가지 가능성 모두 부조리로 이어집니다. 따라서 객체는 복수의 부분으로 나눌 수 없습니다.

심플리시우스는 이 주장이 아리스토텔레스에 있음에도 불구하고 제노 때문이라고 말하며(On Generation and Corruption, 316a15-34, 316b34 및 325a8-12) 제노의 주장은 제노의 탓이 아니라는 것이 이상합니다. 아리스토텔레스는 이 주장이 원자론자들이 무한 분할 가능성을 거부하도록 설득했다고 말합니다. 이 논증은 부분과 전체의 역설이라고 불렸지만 전통적인 이름은 없습니다.

표준 솔루션은 먼저 제노에게 그가 무엇을 나누고 있는지 더 명확하게 설명하도록 요청해야 한다고 말합니다. 구체적인가요, 추상적인가요? 콘크리트, 물질 스틱을 구성 요소로 나눌 때 우리는 더 이상 나눌 수 없는 쿼크와 전자와 같은 물질의 궁극적인 구성 요소에 도달합니다. 이들은 크기, 0 크기(양자 전기역학에 따름)를 가지고 있지만 구성 요소가 0인 경우 전체 막대기에 크기가 없다고 결론짓는 것은 올바르지 않습니다. [관련된 힘으로 인해 점 입자는 유한한 "단면"을 가지며 원자와 같은 입자의 구성은 유한한 크기를 갖습니다.] 그래서 제노는 여기서 틀렸습니다. 반면에 제노는 추상적인 경로나 궤적을 나누고 있습니까? 이것이 더 어려운 역설을 낳기 때문에 그가 그렇다고 가정해 봅시다. 그렇다면 위의 선택 (2)을 고려해야 합니다. 0의 덧셈에 대해 이야기하는 것입니다. 객체가 경로와 같은 1차원적이라고 가정해 보겠습니다. 표준 솔루션에 따르면 분할되는 이 "객체"는 선형 연속체의 순서 유형으로 배열된 요소를 가진 연속체로 간주되어야 하며, 객체의 크기를 찾기 위해 현대의 측정 개념을 사용해야 합니다. 점 요소의 크기(길이, 측정)는 0이지만 Zeno는 모든 0 크기 요소의 총 크기(길이, 측정)가 0이라고 잘못 말했습니다. 객체의 크기는 대신 객체의 끝점에 할당된 좌표 번호의 차이에 의해 결정됩니다. 원점에서 1미터 떨어진 끝점 중 하나가 있고 원점에서 3미터 떨어진 다른 끝점이 있는 직선을 따라 연장되는 물체의 크기는 0미터가 아닌 2미터입니다. 따라서 재조립 문제는 없으며 Zeno의 주장에서 중요한 단계가 무너집니다.

c. 다른 역설나. 기장 알갱이

이 역설에 대한 두 가지 일반적인 해석이 있습니다. 표준 해석인 첫 번째 해석에 따르면 기장(또는 밀) 곡물 부셸이 용기에서 떨어져 바닥에 부딪히면 소리가 납니다. 부셸은 개별 곡물로 구성되어 있기 때문에 각 개별 곡물도 소리를 내며, 곡물의 각 천분의 일도 소리를 내며, 궁극적인 부분까지 계속됩니다. 그러나 이 결과는 우리가 실제로 곡물의 1000분의 1과 같은 부분에 대해 소리를 듣지 못한다는 사실과 모순되며, 따라서 우리는 확실히 곡물의 궁극적인 부분에 대해 소리를 듣지 못할 것입니다. 하지만 부셸의 궁극적인 부분 중 어느 것도 소리를 내지 않는다면 어떻게 소리를 낼 수 있겠습니까? 이 주장의 원래 출처는 아리스토텔레스 물리학, 제VII권, 4장, 250a19-21)입니다. 기장이나 기장 부분이 소리를 내면 다음 작은 부분도 소리를 내야 한다는 반복적인 규칙에 호소하는 것 같습니다.

우리는 이것으로부터 어떤 결론을 도출해야 하는지에 대한 제노의 말을 가지고 있지 않습니다. 아마도 그는 기장 부셸 전체에 기장 부분이 있다고 가정하는 것은 실수라고 결론지을 것입니다. 이것은 다수성에 대한 공격입니다.

역설에 대한 이러한 해석에 대한 표준 해법은 제노가 소리를 낼 수 있는 것의 크기에 하한이 없다고 잘못 가정했다고 비난합니다. 우리는 이제 부분이 구성하는 전체와 매우 다른 속성을 갖는 데 문제가 없다고 말합니다. 반복 규칙은 처음에는 그럴듯하지만 궁극적으로 신뢰할 수 없으며 Zeno는 분할의 오류와 구성의 오류를 모두 저지르고 있습니다.

일부 분석가들은 제노의 역설을 다음과 같이 청각에 대한 우리의 신뢰에 도전하는 것으로 해석합니다. 기장 알갱이 한 부셸이 바닥에 부딪히면 소리가 납니다. 부셸은 개별 곡물로 구성되어 있으므로 그들 역시 가청 소리를 냅니다. 그러나 기장 알갱이 하나나 작은 부분 또는 더 작은 부분을 떨어뜨리면 결국 청각은 소리가 있더라도 감지하지 못합니다. 따라서 청각을 신뢰할 수 없습니다.

낮은 진폭의 소리를 감지하지 못한다는 이러한 추론은 온도계가 민감하지 않은 온도 범위가 있기 때문에 온도계를 신뢰할 수 없다고 주장하는 실수를 저지르는 것과 유사합니다. 따라서 이 두 번째 해석에서도 역설을 쉽게 해결할 수 있습니다. 이 두 번째 해석이 제노가 염두에 두었던 해석이 아니라고 믿는 한 가지 이유는 아래에 제시된 아리스토텔레스의 비판이 두 번째 해석이 아닌 첫 번째 해석에 적용되며 아리스토텔레스가 역설을 잘못 해석했을 가능성은 낮기 때문입니다.

ii. 장소에 반대

대상이 주어지면 "그 자리는 어디인가?" 라는 질문에 대한 하나의 정답이 있다고 가정할 수 있습니다. 존재하는 모든 것에는 장소가 있고, 장소 자체가 존재하기 때문에 그것도 장소가 있어야 하기 때문에, 그리고 영원히 계속됩니다. 너무 많은 곳이라 모순이 있습니다. 원본 출처는 아리스토텔레스의 물리학(209a23-25 및 210b22-24)입니다.

제노의 장소에 대한 역설에 대한 표준 반응은 장소가 장소가 있다는 것을 부정하고 장소의 개념이 기준 프레임에 상대적이어야 한다는 점을 지적하는 것입니다. 그러나 장소에는 장소가 있다는 제노의 가정은 당시 고대 그리스에서 일반적이었고, 제노는 그것이 잘못된 가정임을 보여준 것에 대해 칭찬받아야 합니다.

4. 역설에 대한 아리스토텔레스의 처리

제노의 역설에 대한 아리스토텔레스의 견해는 그의 물리학 4권 2장과 6권 2장과 9장에서 찾을 수 있습니다. 이분법의 역설과 관련하여, 아리스토텔레스는 아킬레우스가 목표에 도달할 시간이 있다는 통찰력에 대해 박수를 받아야 하는데, 이는 달리는 동안 더 짧은 길이 그에 따라 더 짧은 시간을 걸기 때문입니다.

아리스토텔레스는 제노에 대해 몇 가지 비판을 했습니다. 운동의 역설에 관해서는, 그는 제노가 주자의 경로가 그 부분에 의존한다고 가정해서는 안 된다고 불평했다. 대신 경로가 먼저 있고 분석가가 부품을 구성합니다. 그의 두 번째 불만은 제노가 선이 나눌 수 없는 점을 포함한다고 가정해서는 안 된다는 것이었다. 아리스토텔레스의 세 번째이자 가장 영향력 있는 비판적 사상은 잠재적인 무한에 대한 불평과 관련이 있습니다. 이 점에 대해 아리스토텔레스는 아킬레스의 역설에 대해 언급하면서 "제노의 주장은 어떤 것이 지나가는 것이 불가능하다고 주장하는 잘못된 가정을 합니다... 유한한 시간 안에 무한한 것들을 만들 수 있습니다." 아리스토텔레스는 사물이 유한한 시간 내에 실제로 무한한 수의 사물을 지나치는 것은 불가능하다고 믿었지만, 사물이 유한한 시간 동안 잠재적으로 무한한 수의 사물을 지나치는 것이 가능하다고 믿었습니다. 아리스토텔레스가 요점을 표현한 방법은 다음과 같습니다.

For motion…, although what is continuous contains an infinite number of halves, they are not actual but potential halves. (Physics 263a25-27). …Therefore to the question whether it is possible to pass through an infinite number of units either of time or of distance we must reply that in a sense it is and in a sense it is not. If the units are actual, it is not possible: if they are potential, it is possible. (Physics 263b2-5).

Aristotle denied the existence of the actual infinite both in the physical world and in mathematics, but he accepted potential infinities there. By calling them potential infinities he did not mean they have the potential to become actually infinite; potential infinity is a technical term that suggests a process that has not been completed. The term actual infinite does not imply being actual or real. It implies being complete, with no dependency on some process in time.

A potential infinity is an unlimited iteration of some operation—unlimited in time. Aristotle claimed correctly that if Zeno were not to have used the concept of actual infinity and of indivisible point, then the paradoxes of motion such as the Achilles Paradox (and the Dichotomy Paradox) could not be created.

그렇게 하는 것이 이러한 역설에서 벗어날 수 있는 방법은 다음과 같습니다. 제노는 출발점에서 결승선까지 가려면 주자 아킬레스건이 그 중간에 있는 곳에 도달해야 하고, 이 장소에 도착한 후에도 여전히 남은 거리의 절반인 곳에 도달해야 하며, 그곳에 도착한 후에는 다시 목표의 절반에 있는 새로운 장소에 도달해야 한다고 말했습니다. 등등. 도달하기에는 너무 많은 곳입니다. 아리스토텔레스에 따르면, 제노는 이 무한한 과정이 실제로 완료할 필요가 없고 완료할 수 없는데도 완료가 필요하다고 가정하는 실수를 저질렀습니다. 처음부터 끝까지 유한하게 긴 길은 주자에게 나뉘지 않고 존재하며, 그러한 과정의 완료를 요구하는 것은 수학자입니다. 완성된 무한이라는 개념을 사용하지 않고는 역설이 없습니다. 이것이 역설을 피하는 치료법이라는 아리스토텔레스의 말은 옳습니다.

아리스토텔레스와 제노는 주자의 경로 분할의 본질에 대해 의견이 다릅니다. 아리스토텔레스의 불평은 이렇게 간결하게 표현될 수 있다: 제노는 언제든지 주자의 경로가 어디서든 나눌 수 있다고 가정한 것은 옳았지만, 그 경로가 동시에 모든 곳에서 나눌 수 있다고 가정한 것은 옳지 않았다.

아킬레스건의 역설에 대한 오늘날의 표준 취급은 아리스토텔레스의 역설에서 벗어나는 방법에 동의하지 않으며, 제노가 완성된 무한의 개념을 사용하는 것이 옳았고, 주자가 유한한 시간 내에 실제 무한한 장소로 가야 한다는 것을 암시하는 것이 옳았고, 주자의 경로가 동시에 모든 곳에서 나눌 수 있다고 가정하는 것이 옳았다고 말합니다.

아리스토텔레스가 말한 것에서 우리는 그가 실제 무한을 거부해야 하는 또 다른 이유가 있다고 믿는다는 것을 행간에서 추론할 수 있습니다: 그렇게 하는 것이 이러한 운동의 역설에서 벗어날 수 있는 유일한 방법입니다. 오늘날 우리는 더 잘 알고 있습니다. 또 다른 탈출구가 있는데, 그것은 Cantor의 초유한 집합의 관점에서 분석할 수 있는 실제 무한대를 사용하는 표준 해입니다.

실제 무한을 허용하지 않고 잠재적 무한을 허용하는 아리스토텔레스의 취급은 영리했으며, 1,500년 동안 거의 모든 학자들을 만족시켰으며, 그 기간 동안 오직 하나님만이 실제로 무한하다는 교회의 교리에 의해 뒷받침되었습니다. 조지 버클리, 임마누엘 칸트, 칼 프리드리히 가우스, 앙리 푸앵카레는 잠재적인 무한대에 대한 영향력 있는 수호자였습니다. 라이프니츠는 실제 무한소를 받아들였지만, 이 세기 동안 유럽 대학의 다른 수학자와 물리학자들은 실제 무한대와 잠재적 무한대를 구별하고 실제 무한대를 사용하지 않도록 주의를 기울였습니다.

실제 무한성에 대한 1,500년 동안의 반대를 감안할 때, 입증 책임은 이를 옹호하는 모든 사람에게 있었습니다. 베르나르 볼차노(Bernard Bolzano)와 게오르그 칸토르(Georg Cantor)는 19세기에 이 부담을 받아들였습니다. 핵심 아이디어는 잠재적으로 무한 집합을 이전에 존재하는 실제로 무한 집합에서 추상화되는 데 의존하는 가변량으로 보는 것입니다. 볼차노는 자연수는 가변 수의 원소를 가진 집합이 아니라 집합, 결정적인 집합으로 생각되어야 한다고 주장했습니다. 칸토르는 모든 잠재적 무한대는 미리 정의된 고정된 가능한 값 집합, 즉 실제로 무한한 집합에 따라 변하는 것으로 해석되어야 한다고 주장했습니다. 그는 이렇게 말했습니다.

어떤 수학적 연구에서 가변량이 존재하기 위해서는 엄밀히 말하면 그 가변성의 "영역"이 정의를 통해 미리 알려져야 합니다. 그러나이 도메인 자체는 가변적일 수 없습니다.... 따라서 이 "영역"은 명확한, 실제로는 무한한 가치의 집합이다. 따라서 각각의 잠재력은 무한합니다... 실제 무한을 전제로 합니다. (칸토르 1887)

이러한 관점에서 볼 때, Dedekind의 1872년 연속성 공리와 실수를 유리수의 특정 무한 부분집합으로 정의한 것은 Cantor와 다른 많은 수학자들에게 임의로 큰 유리수 집합이 실제로 무한한 유리수 집합의 하위 집합으로 가장 자연스럽게 간주된다는 것을 제안했습니다. 실수 집합에 대해서도 마찬가지입니다. 실제로 무한 집합은 오늘날 우리가 "초유한 집합"이라고 부르는 것입니다. 칸토르의 아이디어는 잠재적으로 무한 집합을 초유한 집합의 명확한 하위 집합의 시퀀스로 취급하는 것입니다. 아리스토텔레스는 수학자들이 원하는 만큼 생성되거나 원하는 만큼 미세하게 분할될 수 있는 유한한 직선의 개념만 필요하다고 말했지만, 칸토르는 이러한 사고 방식이 특정 시간에 그 유한선이 추상화되는 완성된 무한 연속체를 전제로 한다고 말할 것입니다.

[칸토르가 잠재적 무한이라는 수학적 개념이 실제 무한이라는 수학적 개념을 전제한다고 말할 때, 이것은 미래 시간이 잠재적으로 무한하다면, 미래 시간 역시 실제로 무한할 것이라는 것을 의미하지 않는다.]

우리 주제에 대한 Dedekind의 주요 공헌은 무한 집합에 대한 첫 번째 엄격한 정의(실제 무한대)를 제시하여 개념이 유용하고 자기 모순이 아니라는 것을 보여주는 것입니다. 칸토르는 누락된 요소, 즉 수학적 선이 셀 수 없이 많은 점의 조밀한 선형 순서로 유익하게 취급될 수 있다는 것을 제공했으며, 계속해서 집합론을 발전시키고 연속체에 집합론적 기초를 제공하여 수학자들에게 개념이 엄격하게 정의되었다고 확신시켰습니다.

이러한 아이디어는 이제 현대 실제 분석의 기초를 형성합니다. 아킬레스와 이분법의 역설에 대한 의미는 일단 선형 연속체의 엄격한 정의가 제자리에 있고 무한 급수의 가치를 평가하는 방법에 대한 코시의 엄격한 이론이 있으면 물리 과학, 특히 시간과 공간을 통한 운동을 다루는 데 미적분학의 성공적인 사용을 지적할 수 있다는 것입니다. 그리고 제노가 설명한 간격 또는 경로의 시퀀스가 실제로 무한 집합의 하위 집합의 시퀀스로 가장 적절하게 취급된다고 가정하면 [즉, 아킬레스가 도달하는 아리스토텔레스의 잠재적 무한대 장소는 실제로 이미 존재하는 실제로 무한한 지점 집합의 가변 하위 집합입니다], 그리고 우리는 역설에 대한 아리스토텔레스의 처리가 표준 솔루션의 처리보다 열등하다는 것을 확신할 수 있습니다.

제노는 아킬레우스가 유한한 시간 안에 목표를 달성할 수 없다고 말했지만, 그가 이 결론을 어떻게 옹호했는지에 대한 자세한 기록은 없습니다. 그는 그 이유가 (i) 하위 목표의 순서에 마지막 목표가 없기 때문이거나, (ii) 모든 하위 목표를 달성하는 데 너무 오랜 시간이 걸리거나, (iii) 모든 하위 경로를 커버하는 것이 너무 멀기 때문이라고 말했을 수도 있습니다. 제노는 이 모든 방어를 제공했을 수도 있습니다. 정당화 (ii)를 공격하면서 아리스토텔레스는 제노가 무한에 대한 자신의 개념을 잠재적인 무한으로 제한하고 길이가 0인 하위 경로의 개념을 거부한다면 아킬레우스는 유한한 시간 내에 목표를 달성하므로 이것이 역설에서 벗어날 수 있는 방법이라고 반대합니다. 그러나 표준 솔루션의 옹호자는 아킬레우스가 유한한 시간 내에 실제 무한한 경로를 커버함으로써 목표를 달성했으며 이것이 역설에서 벗어날 수 있는 방법이라고 말합니다. (아킬레스가 목표가 아닌 실제 무한한 작업을 완료하는 것으로 적절하게 설명될 수 있는지에 대한 논의는 섹션 5c에서 고려될 것입니다.) 역설에 대한 아리스토텔레스의 처리는 기본적으로 Zermelo Fraenkel 집합론과 실제로 무한 집합에 기반한 현재의 표준 실수 분석과 일치하지 않는다는 비판을 받습니다. 아킬레스건의 역설과 이분법의 역설에서 제노와 아리스토텔레스의 오류를 요약하자면, 그들은 둘 다 주자가 목표에 도달하기 위해 실제로 무한한 수의 하위 경로를 커버해야 한다면 결코 도달하지 못할 것이라고 생각하는 실수를 저질렀습니다. 미적분학은 아킬레우스가 어떻게 이를 수행하고 유한한 시간 내에 목표를 달성할 수 있는지 보여주며, 미적분학 도구의 결실은 표준 솔루션이 아리스토텔레스의 것보다 더 나은 치료법임을 암시합니다.

다른 역설로 넘어 보겠습니다. 크고 작은 것의 역설과 무한 분할의 역설에 대한 그의 취급을 제안하면서 아리스토텔레스는 다음과 같이 말했습니다.

… 선은 점으로 구성될 수 없으며 선은 연속적이고 점은 분할할 수 없습니다. (물리학, 231a25)

현대의 실제 분석에서 연속체는 점으로 구성되지만, 상식적 추론의 옹호자인 아리스토텔레스는 연속체가 점으로 구성될 수 없다고 주장했습니다. 아리스토텔레스는 선이 더 작고 무한히 나눌 수 있는 선으로만 구성될 수 있고 크기가 없는 점으로는 구성되지 않는다고 믿었습니다. 마찬가지로 거리는 포인트 장소로 구성될 수 없으며 지속 시간은 순간으로 구성될 수 없습니다. 표준 솔루션의 옹호자들에 따르면 이것은 아리스토텔레스의 주요 오류 중 하나인데, 이러한 상식적인 견해를 유지함으로써 실제 분석의 유익한 발전에 장애물을 만들었기 때문입니다. 요점에 대해 불평하는 것 외에도 아리스토텔레스주의자들은 실제로 무한한 수의 요점에 대한 생각에 반대합니다.

아리스토텔레스는 화살의 역설에 대한 분석에서 제노가 시간이 나눌 수 없는 순간으로 구성되어 있다고 잘못 가정하지만, "다른 어떤 크기도 나눌 수 없는 순간으로 구성되어 있는 것처럼 시간은 나눌 수 없는 순간으로 구성되지 않기 때문에 이것은 거짓"이라고 말했습니다. (물리학, 239b8-9) 제노는 그 순간이 필요합니다. 그렇게 하면 제노는 그 순간 화살이 움직이지 않는다고 말할 수 있습니다. 아리스토텔레스는 제노가 순간적인 순간에 호소하는 것을 허용하지 말고 제노가 운동을 잠재적인 무한대의 간격으로만 나누어야 한다고 말하도록 제한할 것을 권장합니다. 이 제한은 화살표의 경로가 언제든지 유한한 간격으로만 나눌 수 있음을 의미합니다. 따라서 언제든지 화살표가 위치를 변경하여 움직임을 나타낼 수 있는 유한한 간격이 있습니다. 결국 화살은 날아갑니다. 즉, 아리스토텔레스는 제노의 주장이 잘못된 가정에 기초하고 있으며, 그것 없이는 화살표의 움직임에 문제가 없다고 선언합니다. 그러나 표준 해법은 시간이 분할할 수 없는 순간이나 순간으로 구성될 수 있다는 제노의 의견에 동의하며, 이는 아리스토텔레스가 화살표 역설의 오류가 어디에 있는지 잘못 진단했음을 암시합니다. 표준 솔루션의 옹호자들은 지속 시간이 나눌 수 없는 순간으로 구성되도록 허용하는 것이 유익한 미적분학을 갖는 데 필요한 것이며 아리스토텔레스의 권장 사항은 미적분학 발전에 장애물이 된다고 덧붙일 것입니다.

아리스토텔레스의 이동 행의 역설에 대한 처리는 기본적으로 제노가 속도와 상대 속도의 차이를 인식하지 못했다는 그 역설에 대한 표준 해와 일치합니다.

기장 곡물의 역설에 대해 아리스토텔레스는 부분이 전체의 모든 속성을 가질 필요는 없으므로 곡물의 부셸이 그렇다고 해서 곡물이 소리를 낼 필요는 없다고 말했습니다. (물리학, 250a, 22) 그리고 부분이 소리를 내지 않는다면 전체가 소리를 낼 수 없다고 결론지어서는 안 됩니다. 아리스토텔레스가 제노가 저지르고 있는 오늘날 분할과 구성의 오류라고 불리는 것에 대해 더 많이 말했더라면 도움이 되었을 것입니다. 그러나 기장 곡물에 대한 아리스토텔레스의 반응은 짧지만 오늘날의 기준으로 볼 때 정확합니다.

결론적으로, 제노의 역설에 대한 두 가지 적절하지만 다른 해결책, 즉 아리스토텔레스의 해법과 표준 해법이 있습니까? 아니요. 아리스토텔레스의 취급은 대부분의 학자들이 적절하다고 생각하는 방식으로 비판을 견디지 못합니다. 표준 솔루션은 수학과 물리학의 다른 많은 문제를 해결하고 해결하는 데 더 가치 있는 것으로 입증된 현대 개념을 사용합니다. 아리스토텔레스의 상식적 개념을 실제 분석과 고전 역학의 새로운 개념으로 대체하는 것은 수학과 과학의 성공적인 발전의 핵심 요소였으며, 이러한 이유로 대다수의 과학자, 수학자 및 철학자는 아리스토텔레스의 취급을 거부합니다. 그럼에도 불구하고 철학계에는 다음 섹션에서 볼 수 있듯이 동의하지 않는 상당한 소수가 있습니다.

아리스토텔레스에 대한 더 깊은 처리와 무한대 개념의 발전이 어떻게 제노의 역설에 대한 표준 솔루션으로 이어졌는지에 대해서는 (Wallace2003)을 참조하십시오.

5. 역설과 관련된 기타 문제a. 표준 솔루션을 수락한 결과

제노의 역설에 대한 표준 해결책을 받아들이는 데는 대가가 따른다. 한때 안전하다고 생각되는 다음과 같은 직관이나 가정은 거부되어야 합니다.

연속체는 나눌 수 없는 점으로 구성하기에는 너무 매끄럽습니다.
주자들은 유한한 시간 안에 실제 무한한 장소로 갈 시간이 없습니다.
무한한 일련의 양의 항의 합은 항상 무한합니다.
각 순간에는 다음 순간이 있고 선을 따라 각 장소에는 다음 장소가 있습니다.
선을 따라 유한한 거리는 실제로 무한한 수의 점을 포함할 수 없습니다.
선에 점이 많을수록 선이 길어집니다.
모든 정수보다 큰 숫자가 있다는 것은 터무니없는 일입니다.
1차원 곡선은 2차원 영역을 채울 수 없으며 무한히 긴 곡선이 유한한 영역을 둘러쌀 수 없습니다.
전체는 항상 그 어떤 부분보다 크다.

항목 (8)은 연속체가 프랙탈 곡선의 존재를 의미한다는 사실이 발견되었을 때 훼손되었습니다. 그러나 직관의 상실(1)은 많은 철학자들이 점으로부터 연속체가 구성되는 것에 반대하기 때문에 가장 큰 동요를 일으켰습니다. 아리스토텔레스는 "어떤 연속적인 것도 부분이 없는 사물로 구성될 수 없다"고 말했습니다(물리학 VI.3 234a 7-8). 오스트리아 철학자 프란츠 브렌타노(Franz Brentano)는 아리스토텔레스와 함께 과학 이론이 현실의 이상화 또는 근사치라는 오늘날의 대중적인 견해와 달리 현실에 대한 문자 그대로의 설명이어야 한다고 믿었습니다. 연속성은 수학적 구성이 아니라 지각에서 주어지는 것이라고 브렌타노는 말했습니다. 따라서 수학은 잘못 표현합니다. 1905년 후설에게 보낸 편지에서 그는 "나는 연속체를 일련의 점으로 해석하는 것을 터무니없는 것으로 생각한다"고 말했다.

그러나 표준 솔루션은 모든 비용과 이점 측면에서 평가되는 패키지로 생각해야 합니다. 이러한 관점에서 볼 때, 표준해법의 연속체에 대한 점집합 분석은 비판을 견뎌냈고 수학과 수리물리학에서 그 가치를 입증했습니다. 결과적으로 표준 솔루션의 옹호자들은 위에 나열된 여덟 가지 직관을 거부하고 살아야 하며 분할 가능한 연속체, 다양한 크기의 무한 집합, 공간 채우기 곡선과 같은 직관에 반하는 의미를 받아들여야 한다고 말합니다. 그들은 우리가 믿는 주장 체계를 수정할 때 보수적이어야 한다고 요구하고 "최소한의 절단"을 권장하는 철학자 W. V.O. Quine의 의견에 동의합니다. 표준 솔루션의 옹호자들은 절단이 만족스럽게 작동할 것이라고 말합니다.

b. 표준 솔루션에 대한 비판

앙리-루이 베르그송, 막스 블랙, 프란츠 브렌타노, L. E. J. 브라우워, 솔로몬 페퍼만, 윌리엄 제임스, 찰스 S. 피어스, 제임스 톰슨, 알프레드 노스 화이트헤드, 헤르만 웨일은 연속성에 대한 표준 수학적 설명이 물리적 과정에 적용되지 않거나 이러한 과정을 설명하는 데 부적절하다고 서로 다른 방식으로 주장했습니다. 그들의 주된 이유는 다음과 같습니다: (1) 실제 무한은 경험에서 만날 수 없으므로 비현실적이며, (2) 인간의 지능은 운동을 이해할 수 없습니다, (3) 아킬레우스가 수행하는 작업의 순서는 유한하며 그것이 무한하다는 환상은 수학적 표현과 표현된 것을 혼동하는 수학자들 때문입니다. (4) 운동은 공간적 궤적이 무한히 나눌 수 있음에도 불구하고 단일하거나 "부드럽다", (5) 시간을 순간으로 구성된 것으로 취급하는 것은 시간을 의식의 동적 측면이 아니라 정적인 것으로 취급하는 것이며, (6) 실제 무한성과 현대적 연속체는 역설을 해결하는 데 필수적이지 않으며, (7) 과학의 일관성의 우위에 대한 표준 솔루션의 암묵적인 가정은 정당화되지 않습니다. 실제로 가장 중요한 것은 선험적 지식과 상식과의 일관성입니다.

Zeno의 주장의 질에 대한 논쟁에 대한 논의와 방대한 문헌에 대한 소개는 Salmon(1970, Introduction)과 Feferman(1998)을 참조하십시오. 이 논쟁은 오늘날의 수학 문헌에서 훨씬 덜 적극적으로 추구되고 있으며 오늘날의 과학 문헌에서도 거의 추구되지 않습니다. 소수의 철학자들은 위의 일곱 가지 이유 중 하나를 홍보하고 한때 안전하다고 생각했던 직관이나 가정 중 하나를 거부하려는 시도에 적극적으로 관여하고 있습니다.

An important ongoing philosophical issue is whether the paradoxes should be solved by assuming that a line is not composed of points but rather of intervals, and whether use of infinitesimals is essential to a proper understanding of the paradoxes. For an example of how to solve Zeno’s Paradoxes without using the continuum and with retaining Democritus’ intuition that there is a lower limit to the divisibility of space, see “Atoms of Space” in Carlo Rovelli’s theory of loop quantum gravity (Rovelli 2017, pp. 169-171).

c. Supertasks and Infinity Machines

In Zeno’s Achilles Paradox, Achilles does not cover an infinite distance, but he does cover an infinite number of distances. In doing so, does he need to complete an infinite sequence of tasks or actions? In other words, assuming Achilles does complete the task of reaching the tortoise, does he thereby complete a supertask, a transfinite number of tasks in a finite time?

버트런드 러셀은 "예"라고 대답했습니다. 그는 1/3분 안에 작업을 수행한 다음 다음 15분 안에 다른 작업을 수행하는 식으로 1분 동안 수행할 수 있다고 주장했습니다. 시간이 끝나면 무한한 수의 작업이 수행되었을 것입니다. 사실 아킬레스건은 거북이를 잡을 때 이렇게 한다고 러셀은 말했다. 20세기 중반에 헤르만 웨일, 맥스 블랙, 제임스 톰슨 등이 반대했고, 이에 따라 유한한 시간 내에 완료할 수 있는 작업의 수에 대한 지속적인 논쟁이 시작되었습니다.

이러한 논란은 유한한 시간 동안 무한한 수의 작업을 수행할 수 있는 기계가 있을 수 있는지에 대한 관련 논의를 촉발시켰습니다. 할 수 있는 기계를 인피니티 머신이라고 합니다. 1954년 철학자 제임스 톰슨(James Thomson)은 러셀의 주장을 약화시키기 위해 전형적인 무한대 기계로 의도된 램프를 설명했습니다. 기계가 램프를 켜도록 30분 동안; 그런 다음 15분 동안 전원을 끄십시오. 그런 다음 8분 동안 계속되었습니다. 16분 동안 휴식을 취했습니다. 등등. 램프가 켜질까요, 아니면 어두워질까요? 톰슨은 둘 중 하나여야 한다고 주장했지만, 그것이 꺼져 있는 모든 기간 뒤에는 그것이 켜져 있는 기간이 뒤따르기 때문에 둘 중 하나일 수 없으며, 그 반대의 경우도 마찬가지이므로 그러한 램프는 있을 수 없으며, 추론의 구체적인 실수는 슈퍼태스크를 수행하는 것이 논리적으로 가능하다고 가정한 것입니다. 제노의 역설에 대한 의미는 톰슨이 아킬레스의 임무를 유한한 시간 내에 무한한 수의 하위 임무를 완료하는 것으로 슈퍼태스크로 묘사한 러셀의 설명을 부정하고 있다는 것입니다.

Paul Benacerraf(1962)는 램프의 초기 설명이 전환 시퀀스의 각 기간에서 램프의 상태를 결정한다는 사실을 알아차리지 못하지만 시퀀스의 한계, 즉 분의 끝에서 램프의 상태에 대해서는 아무것도 결정하지 않기 때문에 Thomson의 추론이 잘못되었다고 불평합니다. 램프는 한계에서 켜지거나 꺼질 수 있습니다. 무한 수렴 시퀀스의 한계는 시퀀스에 없습니다. 따라서 Thomson은 이 슈퍼태스크를 완료하는 것이 논리적으로 불가능하다는 것을 입증하지 않았지만 설정의 설명이 그가 기대했던 것만큼 완전하지 않다는 것을 입증했습니다.

다른 주장이 이러한 불가능성을 입증할 수 있습니까? 베나세라프는 대답은 우리가 일반적으로 "작업 완료"라는 용어가 의미하는 바에 달려 있다고 제안합니다. 그 의미가 작업에 완료를 위한 최소 시간을 요구하지 않는다면, 어쩌면 일부 슈퍼 작업을 완료할 수 있다는 러셀의 말이 옳을 수도 있다고 그는 말합니다. 그러나 최소 시간이 항상 필요하다면, 무한한 시간이 필요하기 때문에 러셀은 착각하는 것이다. 필요한 것은 "과제"라는 용어의 의미에 대한 더 나은 설명입니다. 그륀바움은 베나세라프가 평범한 의미에 의존하는 것에 반대한다. 그륀바움은 "우리는 일상언어의 약속에 귀를 기울여야 하며, 그것에 의해 희생되거나 혼란스러워지지 않도록 경계하는 범위까지만 주의를 기울여야 한다"고 말한다.

톰슨 램프 논증은 철학에서 위대한 문헌을 만들어냈습니다. 다음은 몇 가지 문제입니다. "작업"의 적절한 정의는 무엇입니까? 예를 들어, 물리학자들의 기술적 의미에서 최소한의 시간이 필요합니까? 토글 스위치를 뒤집는 속도가 빛의 속도를 초과하기 때문에 톰슨 램프의 스위치를 뒤집는 것이 물리적으로 불가능하더라도 물리학이 다르고 속도에 제한이 없다고 가정해 보겠습니다. 그러면 어떡하였습니까? 램프는 논리적으로 불가능합니까, 아니면 물리적으로 불가능합니까? 램프는 형이상학적으로 불가능합니까? 톰슨이 순간 끝날 때 등불이 켜져 있는지 어두운지에 대한 질문에 확실한 답이 있어야 한다고 가정하는 것이 적절했을까? 톰슨의 질문은 상황에 대한 초기 설명을 감안할 때 답이 없는 것일까, 아니면 우리가 계산할 수 없는 답이 있는 것일까? 유한한 작업을 무한히 짧은 하위 작업으로 나누는 것이 의미가 없다는 결론을 내려야 할까요? 셀 수 있는 무한대의 작업을 완료하는 것과 셀 수 없는 무한대의 작업을 완료하는 것 사이에 중요한 차이점이 있습니까? 아인슈타인의 상대성 이론을 도입하고 분기된 슈퍼태스크를 고려할 때 흥미로운 문제가 발생합니다. 이것은 외부 관찰자의 적절한 시간의 유한한 간격에서 이루어지는 무한한 일련의 작업이지만 기계 자체의 적절한 시간은 아닙니다. 이러한 주제에 대한 광범위한 문헌에 대한 소개는 Earman and Norton(1996)을 참조하십시오. 불행히도 철학계에서는 우리가 방금 논의한 대부분의 질문에 대해 합의가 이루어지지 않았습니다.

d. 구성주의

실제 무한성에 대한 아리스토텔레스의 반대 정신은 오늘날 구성주의라고 불리는 수학 철학에서 지속되고 있습니다. 구성주의는 정확하게 정의된 입장은 아니지만, 수용 가능한 수학적 대상과 절차는 구성에 기초해야 하며, 예를 들어 대상이 존재하지 않는다고 가정한 다음 그 가정에서 모순을 추론하는 것이 아니라는 것을 의미합니다. 대부분의 구성주의자들은 수용 가능한 구성이 시간이나 돈의 실질적인 제한과 무관하게 인간이 이상적으로 수행할 수 있어야 한다고 믿습니다. 그래서 그들은 잠재적 무한대, 재귀 함수, 수학적 귀납법, 칸토르의 대각선 논증이 건설적이라고 말하지만, 선택의 공리, 배제된 중간의 법칙, 이중 부정의 법칙, 완성된 무한대, 표준해의 고전적 연속체는 그렇지 않습니다. 이는 제노의 역설이 표준 해법의 방법을 사용하여 올바르게 해결되지 않았다는 것을 의미합니다. 보다 보수적인 구성주의자인 유한주의자들은 인간의 유한한 계산 자원 때문에 더 나아가 잠재적인 무한성을 거부할 것이지만, 이 보수적인 구성주의자 하위 그룹은 매우 선호되지 않습니다.

L. E. J. Brouwer의 직관주의는 20세기 초의 대표적인 구성주의 이론이었습니다. 러셀의 역설의 발견과 논란의 여지가 있는 비건설적 선택 공리의 집합론에 도입되어 제기된 의심에 대응하여 Brouwer는 수학적 개념이 다음에서 구성될 수 있고 따라서 기초를 둔 경우에만 허용될 수 있다고 주장함으로써 수학을 더 확고한 인식론적 토대 위에 놓으려고 시도했습니다. 이상적인 수학자의 생생한 시간적 직관, 즉 시간의 선험적 직관.

Brouwer의 직관주의적 연속체는 아리스토텔레스의 분할 불가능성 속성을 가지고 있습니다. 이것이 의미하는 바는 표준 해의 집합론적 연속체 구성과 달리 예를 들어 0에서 1까지의 실수의 닫힌 간격을 분할하거나 잘라낼 수 있도록 허용합니다(즉, 집합의 합집합이 됨) 구간의 1/2보다 작거나 같은 숫자, 직관적 연속체의 해당 닫힌 간격은 이런 식으로 두 개의 분리된 집합으로 분할될 수 없습니다. 이 분할 불가능성 또는 분리 불가능성은 실제 연속체의 연속성에 대한 아리스토텔레스의 생각과 정신적으로 일치하지만, 연속체가 점으로 구성되는 것을 허용하지 않는다는 아리스토텔레스의 생각과 정신적으로 동의하지 않습니다. [이 주제에 대한 자세한 내용은 Posy (2005) pp. 346-7 참조]

모든 합법적인 수학적 증명은 유한한 수의 단계만 사용해야 하며 그런 의미에서 건설적이어야 한다는 데 모두가 동의하지만, 20세기 전반의 대다수 수학자들은 본질적인 정리가 더 이상 정리가 아니기 때문에 건설적 수학은 연속체에 대한 적절한 이론을 생성할 수 없으며 구성주의적 원리와 절차는 성공적으로 사용하기에는 너무 어색하다고 주장했습니다. 1927년 데이비드 힐버트(David Hilbert)는 모순에 의한 증명을 거부하는 것과 같은 허용 가능한 수학에 대한 브라우어의 제한은 천문학자에게서 망원경을 빼앗는 것과 같다고 반대하면서 이러한 태도를 예시했습니다.

그러나 20세기 후반에 Errett Bishop과 Douglas Bridges에 의해 건설적 수학이 발전한 덕분에 대부분의 현대 수학 철학자들은 구성주의가 연속체에 대한 적절한 이론을 생산한다는 의미에서 성공할 수 있는지에 대한 질문이 여전히 열려 있다고 믿습니다[Wolf (2005) p. 346, 및 McCarty (2005) p. 382], 그리고 그 정도까지 Zeno의 역설에 대한 표준 해법을 거부해야 하는지 아니면 구성주의를 수용하기 위해 수정해야 하는지에 대한 질문도 있습니다. Frank Arntzenius(2000), Michael Dummett(2000), Solomon Feferman(1998)은 구성주의 전통을 홍보하기 위해 중요한 철학적 작업을 수행했습니다. 그럼에도 불구하고 오늘날 현직 수학자들의 대다수는 일상적으로 비건설적 수학을 사용합니다.

e. 비표준 분석

제노와 아리스토텔레스는 작다는 개념을 가지고 있었지만 라이프니츠(및 뉴턴)가 미적분학 발전에 사용했던 비공식적 개념인 무한히 작은 개념은 없었습니다. 19세기에는 엡실론-델타 방법을 사용하여 한계 측면에서 도함수를 정의하는 Cauchy와 Weierstrass의 작업으로 인해 미적분학의 표준 개발에서 극소가 제거되었습니다. 그러나 1881년에 C. S. Peirce는 직관적인 호소력 때문에 극소를 복원하는 것을 옹호했습니다. 불행히도 그는 모든 수학자들과 마찬가지로 세부 사항을 알아낼 수 없었는데, 1960년 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)이 비표준 분석을 발표할 때까지 말이다. 이 시점에서 분석에서 극소를 추방하는 것이 지적 진보라고 말하는 것은 더 이상 합리적이지 않았습니다. 로빈슨이 한 일은 이 정의를 사용하여 표준 실수를 무한소를 포함하도록 확장하는 것이었습니다: h는 모든 양의 표준 숫자 n에 대해 절대값이 1/n보다 작은 경우에만 무한소입니다. 로빈슨은 계속해서 초실수를 사용하여 비표준 분석 모델을 만들었습니다. 초실수 클래스에는 실수에 대응하는 숫자가 포함되지만 3 + h 및 3 – 4h와 같이 표준 실수와 극소수의 합 또는 차이인 모든 숫자가 포함됩니다2. 극소의 역수는 무한 초실수입니다. 이 초실수는 아르키메데스 공리를 제외한 실수의 일반적인 규칙을 따릅니다. 표준 실제 분석과 달리 개별 점 사이의 극소한 거리가 허용됩니다. 도함수는 Weierstrass 스타일의 표준 실수 분석에서와 같은 한계의 관점에서 보다는 라이프니츠 스타일의 무한소의 비율로 정의됩니다.

비표준 분석은 1933년 Thoralf Skolem이 표준 산술 모델과 동형이 아닌 1차 산술 모델의 존재를 시연한 것에서 영감을 받았기 때문에 "비표준"이라고 합니다. 그것들을 비표준으로 만드는 것은 특히 무한히 큰 (하이퍼) 정수를 포함한다는 것입니다. 비표준 미적분학의 경우 산술이 아닌 실제 분석의 비표준 모델이 필요합니다. 비표준 분석의 유용성을 보여주는 중요한 특징은 고전 미적분학의 정리와 본질적으로 동일한 정리를 달성한다는 것입니다. 제노의 역설에 대한 처리는 이러한 관점에서 흥미롭습니다. 제노의 역설이 무한소를 사용하여 어떻게 처리될 수 있는지에 대해서는 McLaughlin(1994)을 참조하십시오. McLaughlin은 역설에 대한 이러한 접근 방식이 유일하게 성공적인 접근 방식이라고 믿지만, 평론가들은 일반적으로 그 결론에 동의하지 않으며 단지 대안적인 해결책으로 간주합니다. 이에 대한 논의는 Dainton (2010) pp. 306-9를 참조하십시오.

f. 부드러운 무한소 분석

1960년대 에이브러햄 로빈슨은 극소를 무한소수로 부활시켰지만, 1970년대 F. W. 로베어는 극소를 극소 크기로 부활시켰습니다. 그의 작업은 "부드러운 무한소 분석"이라고 불리며 "합성 미분 기하학"의 일부입니다. 부드러운 극소 분석에서 곡선은 극소 탄젠트 벡터로 구성됩니다. 위의 로빈슨과 같은 비표준 분석과의 한 가지 중요한 차이점은 모든 부드러운 곡선은 극히 작은 거리에서 직선인 반면 로빈슨의 곡선은 극히 작은 거리에서 곡선일 수 있다는 것입니다. 부드러운 극소 분석에서 제노의 화살은 극소 간격 동안 속도를 변경할 시간이 없습니다. 부드러운 극소 분석은 연속체가 표준 해의 연속체보다 매끄러워야 한다는 직관을 유지합니다. 실수 체계가 집합 이론적 실체이고 고전 논리를 기반으로 하는 표준 분석과 비표준 분석과 달리 부드러운 극소 분석의 실수 시스템은 집합 이론적 실체가 아니라 범주 이론의 토포스에 있는 객체이며 그 논리는 직관주의적입니다(Harrison, 1996, p. 283). 로빈슨의 비표준 분석과 마찬가지로 로베어의 부드러운 극소 분석도 실제 분석의 기초를 마련하여 제노의 역설을 해결하는 데 유망한 접근 방식일 수 있지만, 제노의 역설을 이런 식으로 해결해야 한다는 합의는 없습니다. 더 많은 논의는 Dainton (2010) pp. 420-1의 주석 11을 참조하십시오.

6. 역설의 유산과 현재의 중요성

제노는 어떤 영향을 미쳤나요? 그는 동부에 아무것도 없었습니다. 서구에서는 오늘날까지 지속적인 영향력과 관심이 있었습니다.

고대 그리스인들에게 그가 미친 영향부터 시작하겠습니다. 제노 이전에 철학자들은 자신의 철학을 시로 표현했고, 그는 산문을 사용한 최초의 철학자였습니다. 가장 중요한 것은 그가 단순히 주장을 하는 것이 아니라 논증으로 주장을 뒷받침한 최초의 철학자 중 한 명이었다는 것입니다. 이것이 그리스 전통을 바빌로니아인과 이집트인의 전통과 구별하는 것입니다. 이 새로운 표현 방법은 후대의 거의 모든 철학, 수학, 과학을 형성할 운명이었습니다. 제노는 세상이 우리에게 보이는 방식이 현실의 모습이 아니라는 생각에 새로운 관심을 불러일으켰습니다. 제노는 아마도 그리스 원자론자들이 원자를 받아들이도록 영향을 미치는 데 도움을 주었을 것입니다. 아리스토텔레스는 제노의 영향을 받아 역설에서 벗어나는 방법으로 실제 무한대와 잠재적 무한대의 구별을 사용했으며, 이 구별에 대한 세심한 주의는 그 이후로 수학자들에게 영향을 미쳤습니다. 예를 들어, 유클리드의 원소에 있는 증명은 잠재적으로 무한한 절차만을 사용했습니다. 제노의 역설에 대한 인식은 그리스와 이후의 모든 서구 지식인들에게 무한성, 연속성, 운동, 장소 안에 있는 것에 대해 생각할 때 실수를 할 수 있다는 것을 더 잘 인식하게 만들었습니다. 이것은 또한 연속적인 크기가 개별 부분으로만 만들어질 수 있다는 주장을 경계하게 만들었습니다. "제노의 논증은 어떤 형태로든 그의 시대부터 우리 시대까지 구축된 공간과 시간, 무한에 대한 거의 모든 이론에 대한 근거를 제공했다"고 20세기에 버트런드 러셀은 말했다.

20세기와 21세기 문헌에는 제노가 구체적이고 새로운 수학적 기법을 개발했는지에 대한 논란이 있습니다. 대부분의 학자들은 간접 논증 방법의 의식적인 사용이 수학과 제노의 철학 모두에서 서로 독립적으로 발생했다고 말합니다. 기원에 대한 이 논쟁에 대한 논의는 Hintikka(1978)를 참조하십시오. 모든 사람들은 그 방법이 바빌로니아가 아니라 그리스어라는 데 동의하며, 명시적으로 진술된 가정에서 무언가를 추론하여 무언가를 증명하는 방법도 마찬가지입니다. G. E. L. Owen(Owen 1958, p. 222)은 제노가 아리스토텔레스의 순간에 움직임이 없다는 개념에 영향을 미쳤다고 주장했는데, 이는 몸이 움직이기 시작하는 순간도 없고 몸이 속도를 바꾸는 순간도 없다는 것을 의미합니다. 결과적으로 오웬은 아리스토텔레스의 개념이 뉴턴식 가속도 개념에 장애물이 되며, 이 장애물은 "과학 수학에 대한 제노의 주요 영향"이라고 말합니다. 다른 평론가들은 오웬의 발언이 제노에 대해 약간 가혹하다고 생각하는데, 왜냐하면 제노가 태어나지 않았다면 아리스토텔레스가 다른 운동 개념을 발전시켰을 가능성이 있었을까 하기 때문입니다.

제노의 역설은 이후 수세기에 걸쳐 학자들로부터 명시적인 관심을 받았습니다. 17세기 초 피에르 가센디(Pierre Gassendi)는 세계의 원자가 무한히 나눌 수 없어야 한다고 주장하는 이유로 제노의 역설을 언급했습니다. 제노에 관한 피에르 베일(Pierre Bayle)의 1696년 기사는 제노가 제시한 이유로 공간 개념이 모순된다는 회의적인 결론을 도출했습니다. 19세기 초, 헤겔은 제노의 역설이 현실이 본질적으로 모순된다는 자신의 견해를 뒷받침한다고 제안했습니다.

제노의 역설은 무한에 대한 불신을 불러일으켰고, 이러한 불신은 구성주의, 유한주의, 비표준 분석의 현대 운동에 영향을 미쳤습니다. 비일관성 형식적 논리를 통해 진정한 모순을 수용하는 Dialetheism은 Zeno의 역설에 대한 인기가 없지만 새로운 반응을 제공하지만, Dialetheism은 Zeno의 역설에 대한 우려에 대한 응답으로 특별히 만들어진 것이 아닙니다. 20세기에 슈퍼태스크에 대한 사고 실험이 도입되면서 흥미로운 철학적 연구가 과제를 완료한다는 것이 무엇을 의미하는지 이해하는 데 집중되었습니다.

제노의 역설은 해결책이 구체화되기까지 2천 년 이상이 걸렸음에도 불구하고 철학적 문제가 어떻게 해결되었는지에 대한 사례 연구로 종종 지적됩니다.

따라서 제노의 역설은 후속 연구에 다양한 영향을 미쳤습니다. 오늘날 특히 수학과 과학 분야에서 역설 자체를 해결하는 방법에 직접적으로 관여하는 연구는 거의 없지만, 철학에서는 주로 선이 점으로 구성되어야 하는지 여부와 같이 연속적인 크기가 이산 크기로 구성되어야 하는지 여부에 대한 논의가 계속되고 있습니다. 제노의 역설에 대한 대체 치료법이 있다면 역설에 대한 단일 해가 있는지, 여러 해가 있는지, 아니면 하나의 최선의 해결책이 있는지에 대한 문제가 제기됩니다. 표준 해가 제노의 역설에 대한 올바른 해법인지 여부에 대한 답은 양자역학과 일반 상대성 이론을 조화시키는 미래의 최고의 물리학이 시공간이 가장 기본적인 점으로 구성되어 있다고 가정할 것인지 여부에 달려 있을 수 있습니다.

표준 솔루션의 관점에서 볼 때, 제노의 역설을 해결하려고 노력한 연구자들이 배운 가장 중요한 교훈은 탈출구를 위해서는 우리의 오래된 이론과 그 개념을 수정해야 한다는 것입니다. 우리는 논리적 일관성을 유지하고 과학적 결실을 촉진하는 미덕을 직관을 보존하는 미덕보다 기꺼이 순위를 매겨야 합니다. 제노는 이러한 진보적인 추세를 일으키는 데 중요한 역할을 했습니다.

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- 수학에 대한 건설적인 토대를 장려하는 Dummett의 형식주의는 순간적인 순간이 없으므로 시간은 실제 가치보다는 합리적인 가치를 가져야 함을 의미합니다. 시간은 원칙적으로 측정할 수 있는 가치만을 가지고 있습니다. 그리고 모든 측정은 오차 범위 내에서 유리수를 생성합니다.
Earman, J. 및 JD Norton(1996). "Infinite Pains: The Trouble with Supertasks," in Paul Benacerraf: the Philosopher and His Critics, A. Morton and S. Stich (eds.), Blackwell: Cambridge, MA, pp. 231-261.
- 톰슨의 무한 기계에 대한 해석과 관련된 슈퍼태스크에 대한 비판과 주제에 대한 문헌 소개.
페퍼만, 솔로몬 (1998). 논리에 비추어 , 옥스퍼드 대학 출판부, 뉴욕.
- 수학의 기초에 대한 논의와 Kronecker와 Weyl의 전통에서 반구성주의에 대한 주장, 물리 과학에서 사용되는 수학은 가장 낮은 수준의 무한대, 즉 정수를 특징짓는 무한대만 필요하다는 것입니다. 수학적 논리에 대한 상당한 지식을 전제로 합니다.
프리먼, 캐슬린 (1948). 소크라테스 이전 철학자들의 안실라, 하버드 대학 출판부: 매사추세츠주 케임브리지. 1983년 문고판으로 재인쇄되었습니다.
- 소크라테스 이전에 대한 주요 자료의 영어 최고의 출처 중 하나입니다.
그륀바움, 아돌프 (1967). 현대 과학과 제노의 역설, 웨슬리안 대학 출판부: 코네티컷주 미들타운.
- 역설에 대한 표준 솔루션에 대한 자세한 방어.
그륀바움, 아돌프 (1970). "현대 과학과 제노의 운동의 역설," (Salmon, 1970), pp. 200-250.
- Thomson Lamp 및 기타 무한대 기계에 대한 Thomson, Chihara, Benacerraf 및 기타 사람들의 주장에 대한 분석.
해밀턴, 에디스 및 헌팅턴 케언즈(1961). 편지를 포함한 플라톤의 대화 모음, 프린스턴 대학 출판부: 프린스턴.
해리슨, 크레이그 (1996). "제노의 세 개의 화살: 연속체와 운동에 대한 칸토리안 및 비칸토리안 개념," Synthese, Volume 107, Number 2, pp. 271-292.
- 표준 해의 고전적 Cantorian 실수 분석의 대안으로 부드러운 무한소 분석을 고려합니다.
히스, TL (1921). 그리스 수학의 역사, Vol. 나, Clarendon Press: 옥스퍼드. 1981년 재인쇄.
- 제노가 예를 들어 무한소의 사용을 제거함으로써 그리스 수학에 직접적인 영향을 미쳤다는 소수의 관점을 조장합니다.
힌티카, 야코, 데이비드 그루엔더, 에반드로 아가치. 이론 변화, 고대 공리학 및 갈릴레오의 방법론, D. Reidel Publishing Company, 도르드레흐트.
- 무엇보다도 Zeno의 방법이 당시의 수학자들에게 영향을 미쳤는지 또는 그 영향이 다른 방향으로 갔는지 여부를 논의하는 기사 모음입니다. 특히 Karel Berka와 Wilbur Knorr의 기사를 참조하십시오.
커크, GS, JE 레이븐 및 M. 스코필드, eds. (1983). 소크라테스 이전 철학자: 텍스트 선택이 포함된 비판적 역사, 제2판, 케임브리지 대학 출판부: 케임브리지.
- 다양한 구절을 해석하는 방법에 대한 논쟁에 대한 자세한 논평과 함께 소크라테스 이전에 대한 주요 자료의 영어로 된 좋은 출처입니다.
Maddy, Penelope (1992) "필수 요소와 실천", Journal of Philosophy 59, pp. 275-289.
- 수학 이론이 좋은 과학에 없어서는 안 될 요소이며, 우리가 그 이론에 사용된 수학적 실체를 믿는 것이 정당하다고 주장하는 것의 의미를 탐구합니다.
매트슨, 월리스 I (2001). "제노가 움직인다!" pp. 87-108, Essays in Ancient Greek Philosophy VI: Before Plato, ed. by Anthony Preus, State University of New York Press: Albany. 저자는 2006년 그의 저서 Uncorrected Papers: Diverse Philosophical Dissents, Humanity Books/Prometheus Books에서 이 기사를 업데이트했습니다.
- Matson은 제노의 목적은 파르메니데스의 반대자들이 터무니없이 운동을 부정하는 데 전념하고 있으며 제노 자신도 운동을 부정한 적이 없으며 파르메니데스도 아니라는 것을 보여주는 것이었다는 태너리의 비고전적이고 소수적인 해석을 지지합니다.
맥카티, DC (2005). "수학에서의 직관주의," The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Stewart Shapiro 편집, Oxford University Press, Oxford, pp. 356-86.
- 직관론적 근거에 기초한 수학 창립 프로그램의 죽음을 선언하는 것은 시기상조라고 주장합니다.
맥러플린, 윌리엄 I. (1994). "제노의 역설 해결," 사이언티픽 아메리칸, vol. 271, no. 5, 11월, pp. 84-90.
- 제노의 역설은 라이프니츠의 무한소에 대한 현대 이론을 사용하여 설명될 수 있습니다.
오웬, GEL (1958). "제노와 수학자들," 아리스토텔레스 학회 회보, 새 시리즈, vol. LVIII, pp. 199-222.
- 제노와 아리스토텔레스가 미적분학에서 매우 유익하게 사용된 르네상스 가속도 개념의 발전에 부정적인 영향을 미쳤다고 주장합니다.
포지, 칼. (2005). "직관주의와 철학," The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Stewart Shapiro 편집, Oxford University Press, Oxford, pp. 318-54.
- 345-7페이지에 Brouwer의 직관주의적 연속체의 분할 불가능성이 "연속적인 매체 중 일부가 칼에 달라붙지 않고는 절단할 수 없다"는 아리스토텔레스의 개념을 어떻게 정확하게 만드는지에 대한 논의가 포함되어 있습니다.
프로클루스(1987). 플라톤의 주석에 대한 프로클로스의 주석 파르메니데스, 글렌 R. 모로우와 존 M. 딜런 번역, 프린스턴 대학 출판부: 프린스턴.
- 제노에 대해 프로클루스가 한 모든 의견의 자세한 목록은 존 M. 딜런의 서론 p. xxxix에서 시작하는 토론과 함께 제공됩니다. 딜런은 플라톤의 파르메니데스에서 명확하게 파생될 수 없는 프로클로스의 논평에 초점을 맞추고, 프로클로스가 제노의 논평에 대한 다른 출처, 아마도 제노의 원작 또는 그 파생물에 접근할 수 있었다고 결론지었습니다. 1285년 윌리엄 모어베케(William Moerbeke)가 플라톤의 파르메니데스(Parmenides)를 번역한 프라톨로스의 초기이지만 지금은 분실된 그리스어를 그리스어에서 라틴어로 지나치게 문자 그대로 번역한 것이 그리스어 원문을 알아내는 열쇠입니다. (p. xliv 참조)
레셔, 니콜라스 (2001). 역설: 그 뿌리, 범위 및 해상도, Carus Publishing Company: 시카고.
- 94-102페이지는 모든 제노의 역설에 표준 해법을 적용한다. Rescher는 유사와 다른 것의 역설을 "미분화의 역설"이라고 부릅니다.
로벨리, 카를로(2017). 현실은 보이는 것이 아닙니다: 양자 중력으로의 여정, Riverhead Books: New York.
- Rovelli의 6장에서는 루프 양자 중력 이론이 약간의 공간이 항상 세분화될 수 있다는 가정을 거부하기 때문에 데모크리토스의 직관에 더 부합하는 Zeno의 역설에 대한 새로운 솔루션을 제공하는 방법을 설명합니다.
러셀, 버트랜드(1914). 철학의 과학적 방법을 위한 분야로서의 외부 세계에 대한 우리의 지식, Open Court Publishing Co.: 시카고.
- 러셀은 제노의 역설을 해결하기 위해 현대의 실제 분석과 물리학을 사용하는 것을 옹호합니다.
연어, 웨슬리 C., ed. (1970). Zeno's Paradoxes, The Bobbs-Merrill Company, Inc.: 인디애나폴리스와 뉴욕. 2001년 문고판으로 재인쇄되었습니다.
- 1911년부터 1965년까지 제노의 역설에 관한 가장 영향력 있는 기사 모음집입니다. Salmon은 추가 읽기에 대한 훌륭한 주석이 달린 참고 문헌을 제공합니다.
사보, 아르파드 (1978). 그리스 수학의 시작, D. Reidel Publishing Co.: Dordrecht.
- 파르메니데스가 아낙시메네스의 우주론에 대항하여 간접 증명 방법을 발견했다는 주장을 포함하지만, 그것은 제노에 의해 산문에서 더 잘 발전되었습니다. 또한 그리스 수학자들이 이 아이디어를 창안한 것이 아니라 파르메니데스와 제노로부터 배웠다고 주장합니다. (244-250쪽). 이러한 주장은 Hntikka(1978)에서 이의를 제기합니다.
태너리, 폴 (1885). "'Le Concept Scientifique du continu: Zenon d'Elee et Georg Cantor," pp. 385-410 of Revue Philosophique de la France et de l'Etranger, vol. 20, Les Presses Universitaires de France: Paris.
- 이 수학자는 제노의 목적이 운동을 부정하는 것이 아니라 파르메니데스의 반대자들이 운동을 부정하는 데 전념하고 있다는 것을 보여주는 것이었다는 첫 번째 주장을 제시합니다.
태너리, 폴 (1887). Pour l'Histoire de la Science Hellène: de Thalès à Empédocle, Alcan: 파리. 2판. 1930.
- 제노가 역설을 창조한 목적이 무엇이었는지에 대한 고전적 해석에 대한 도전의 더 많은 발전.
톰슨, 제임스(1954-1955). "과제와 슈퍼 과제," 분석, XV, pp. 1-13.
- 슈퍼태스크에 대한 비판. 톰슨 램프 사고 실험은 유한한 시간 내에 무한한 수의 작업을 완료할 수 있는 아킬레스건에 대한 러셀의 특성화에 도전하는 데 사용됩니다.
타일스, 메리 (1989). 집합론의 철학: 칸토르의 낙원 소개, 바질 블랙웰: 옥스퍼드.
- 실제 분석의 기초와 그것이 제노의 역설에 미치는 영향에 대한 철학적 지향적인 소개.
블라스토스, 그레고리 (1967). "엘레아의 제노", 철학 백과사전, 폴 에드워즈(편), 맥밀란 컴퍼니 및 자유 언론: 뉴욕.
- 역설에 대한 명확하고 상세한 제시. 블라스토스는 아리스토텔레스가 제노의 실제 무한을 잠재적 무한으로 대체할 것을 권장하는 것 외에는 제노의 역설에 대한 다른 어떤 처리도 고려하지 않는다고 언급하므로 우리는 아리스토텔레스가 아마도 실제 무한을 부정하는 것이 무한을 일관되게 다루는 유일한 길이라고 믿었다고 주장할 자격이 있습니다. Vlastos는 또한 "우리 출처에는 그리스 수학의 발전(수학에 대한 철학적 견해와는 구별됨)이 Zeno의 영향 때문이라고 말하거나 암시하는 것이 없습니다"라고 논평합니다. ==
블라스토스, 그레고리 (1967). "엘레아의 제노", 철학 백과사전, 폴 에드워즈(편), 맥밀란 컴퍼니 및 자유 언론: 뉴욕.
- 역설에 대한 명확하고 상세한 제시. 블라스토스는 아리스토텔레스가 제노의 실제 무한을 잠재적 무한으로 대체할 것을 권장하는 것 외에는 제노의 역설에 대한 다른 어떤 처리도 고려하지 않는다고 언급하므로 우리는 아리스토텔레스가 아마도 실제 무한을 부정하는 것이 무한을 일관되게 다루는 유일한 길이라고 믿었다고 주장할 자격이 있습니다. Vlastos는 또한 "우리 출처에는 그리스 수학의 발전(수학에 대한 철학적 견해와는 구별됨)이 Zeno의 영향 때문이라고 말하거나 암시하는 것이 없습니다"라고 논평합니다. ==
월리스, 데이비드 포스터. (2003). ∞의 컴팩트 역사, WW Norton and Company: 뉴욕.
- 무한대에 대한 더 깊은 이해가 어떻게 제노의 역설에 대한 해결책으로 이어졌는지에 대한 명확하고 정교한 처리. 추천.
화이트, MJ (1992). 연속적이고 이산적인: 현대적 관점에서 본 고대 물리 이론, Clarendon Press: 옥스퍼드.
- 유한주의, 신아리스토텔레스의 잠재적 무한, 무한 실수 필드를 유한 필드로 대체하려는 다양한 시도에 대한 프레젠테이션입니다.
지혜, JO (1953). "Berkeley's Criticism of the Infinitesimal," The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 4, No. 13, pp. 22-25.
- 지혜는 뉴턴과 라이프니츠의 극소(유동) 사용에 대한 조지 버클리(1734년 분석가)의 비판 뒤에 있는 문제를 명확히 합니다. 1939년, 1941년, 1942년 Hermathena 저널에 실린 이 주제에 대한 Wisdom의 다른 세 기사에 대한 참조도 참조하십시오.
울프, 로버트 S. (2005). 수학적 논리를 통한 투어, 미국 수학 협회: 워싱턴 DC.
- 7장에서는 비표준 분석을 조사하고, 8장에서는 Errett Bishop과 Douglas Bridges의 기여를 포함하여 건설적인 수학을 조사합니다.

저자 정보

브래들리 다우덴
이메일: dowden@csus.edu
캘리포니아 주립대학교, 미국 새크라멘토

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