1-6월 강의 해석학 교재 유제 4-12 질문

[땡이뚱]

유제 4-12를 증명하고자 풀이를 써 보았는데, S가 닫힌집합이라는 조건을 쓰지 않아서 틀린 증명입니다. 

혹시 어느 부분에서 논리적 오류가 있는지만 질문하고 싶습니다. 만약 이 질문이 풀이 전체 첨삭으로 사료된다면, 직접 증명을 할 때 어느 부분에서 시작되면 좋을지 힌트를 알고싶습니다.

[수정과]

S가 닫힌집합이므로 S의 수열인 x_n_k의 수렴값인 c는 S에 포함됩니다. g는 c에서 연속이므로 서술하신 것처럼 y=g(c)이고 c∈S이므로 y∈g(S)가 성립합니다. 이는 y∈g(S)^c라는 것에 모순이 됩니다.