갈루아군의 위수

[구르밍]

대수학이 끝까지 말썽이네요 ㅠㅜ

우선 복소수체가 대수적 폐체이니

f(x)는 중근을 포함하여 세개의 근을 갖는데

이 근들을 직접 구할 수는 없을거 같다는게 제 생각입니다

중간과정은 전혀 감이 안잡히고 직관적으로 A와 B는 2일거 같은데

C는 그마저도 모르겠네요

힌트 부탁드립니다

[바람]

3차 다항식이고 정수계수이므로 유리수체에서 인수분해 가능하다면 정수에서도 가능 그러면 플마1을 해의 후보로 갖는데 대입하면 0이 안나오니 유리근을
갖지않습니다.
그러면 3차이니 실근1개는 갖고 나머지 근이 실근인지 허근인지 체크가 필요하죠. 직접 구하기는 어렵고
미분을 통해 극값을 조사하면 실근1 허근2를 가짐을
알수있어요.
그러면 실수체는 복소수체로 확대될테니 A는 2
B는 6이 됩니다.
유한체는 오히려 쉬운게 기약임이 보장되면 차수가 위수가 됩니다. 0 1 둘다 넣어도 법2로 0이 안나오니 Z2에서 기약다항식이 되어 C는 3이 됩니다.

[구르밍]

답변 고맙습니다 , 말씀해주신 내용을 생각해보았는데 B,C는 여전히 해결이 안되네요

정리해보면

1. B=6 인 구체적인 이유
2. 유한체 위에서 기약다항식의 차수는 그 갈루아군의 위수가 되는 것과 관련한 정리(?)

가 궁금합니다 ㅠㅜ

[바람]

구르밍 B=6임은 우선 실근을 a라 한다면 Qa는 Q와 분해체 사이의 중간체가 됩니다. 분해체를 K라 할께요.
여기서 Qa와 K가 같을수 없습니다. K는 허수 포함하는 체지만 Qa는 실수체의 부분체니깐요.
또 주어진 다항식이 기약다항식이므로
irr(a Q)랑 같아지고 [Qa:Q]=3이 됩니다.
K는 3차다항식의 분해체이므로 [K:Q]는 3!이하 이고
여기서 6임을 알수있어요.
유한체는 주어진 다항식의 한 해를 a라 하면 그냥 분해체가 Qa가 되서 차수가 갈루아군의 위수가 됩니다.