댓글 리스트
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작성자 쿨여누 작성시간20.04.23 1. 네, 그렇습니다. 가환환의 조건없이 일반적인 환에서 소이데알을 정의할수있습니다.
다만, 소이데알의 일반적 정의가 다루기 어렵기때문에 임용범위에서는 대부분 가환환에서 정의하는 소이데알을 다룹니다.(가환환에서 정의하는 소이데알만 공부해도 충분하다고 생각합니다)
2. 참고 내용이 소아이디얼의 정의와 동치가 될 수 있는 이유는 무엇인가요?
=> 가환환 조건 때문입니다.
(1) 정방향증명에서 (ii)가 잘못되었습니다.
"(ii) j∉P 인 j∈J 가 존재하고, i*∈P 인 경우" 라고 하셨는데,
이때, i*∈I에 대해서는 i*∈P 일수도있지만
특정한 i0∈I에 대해서는 i0∉P 인 경우도 발생할수있습니다. 따라서 I⊂P 라는 결론을 낼수없습니다.
증명시작을 다음과 같이 해보세요
I, J⊴R 에 대해서 IJ⊂P 이라하자.
그리고 J⊂P가 아니라고 가정하자.
(주장 : I⊂P)
이후에 I⊂P 임을 보이는 과정을 서술해주시면 됩니다. -
작성자 쿨여누 작성시간20.04.23 (2) 역방향증명에서 IJ⊂P 라는 보장을 할수없습니다.(잘못된 증명입니다)
역방향증명은 "가환환"의 조건을 사용해야합니다. 그리고 "가환환에서의 단항이데알의 성질"을 이용해야합니다.(첨부한 내용의 (3)번 참고)
역방향증명에서 a, b∈R에 대하여 ab∈P 이라하고,
이후에 I=<a>, J=<b>로 놓고 세팅해보세요.
그리고 이때, R은 가환환이므로
I=<a>={ra+na|n∈Z, r∈R}
J=<b>={rb+nb|n∈Z, r∈R} 가 성립합니다.
또한 R의 이데알 IJ는
IJ={i_1•j_1+•••+i_n•j_n|n∈N, i_k∈I, j_k∈J} 입니다.
이를 가지고 IJ⊂P 임을 만족함을 보여서, 주어진 가정을 이용하는 과정으로 증명을 이어나가보시기바랍니다.이미지 확대
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답댓글 작성자 주근깨주스 작성자 본인 여부 작성자 작성시간20.04.24 2.
(1) 정방향증명에서 "(ii) j∉P 인 j∈J 가 존재하고, i*∈P 인 경우" 에서 i*∈I에 대해서는 i*∈P 인 것을 확인한 후,
(i*와 다른) i0∈I에 대해서도 마찬가지로 (i),(ii) 경우로 나누어서 J⊂P 또는 i0∈P인 것을 확인한 후 i0∈P인 경우에 계속해서 i*, i0와 다른 I의 원소들에 대해 같은 과정을 반복하면 J⊂P 또는 I⊂P라고 이끌어낼 수는 없을까요??
혹시 틀렸다면 잘못된 부분 정정 부탁드립니다ㅜ
