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작성자 쿨여누 작성시간20.07.04 R이 단위원을 갖는 가환환일때,
P는 R의 소이데알 ⇔ R/P는 정역
의 증명에서
정방향의 경우,
1+P=P 이라 가정하면 1∈P 이고, 따라서 P는 단원을 갖는 R의 이데알 이므로 P=R입니다.(모순)
(∵가정에 의해 P는 R의 소이데알이므로 P≠R입니다.)
따라서 1+P≠P 입니다.)
역방향의 경우,
P=R 이라 가정하면, 1∈R=P 이고,
1∈P ⇔ 1+P=P 이므로(기본정리)
따라서 1+P=P입니다. (모순)
(∵가정에 의해 R/P는 정역이므로 R/P에서의 덧셈항등원:P 와 단위원:1+P는 서로 다릅니다. 즉, P≠1+P입니다.)
따라서 P≠R 입니다.