프렐라이 연습문제 질문입니다!

[짱짱맨뿡뿡]

풀이에서 2m=n이라고 되어있는데 2m이 n의 배수가 되어도 되지 않나요??
그래서 2m=kn (k는 자연수)로 표현 된다고 썼는데 그럼 문제가 안풀려서요ㅠㅜ
왜 2m=n이 되나요??

[유현미]

f(1)=m∈Zn이므로 2m=n이라는 표현 자체가 이상합니다.

Z₂와 동형인 Zn의 부분환 S에 대해 2[s]n=[0]n, [s²]n=[s]n인 [s]n∈S가 존재합니다.
[2s]n=[0]n인 s가 존재하려면 n은 짝수이므로 n=2m이라 할 수 있습니다.
그러면 Z₂와 동형인 Zn의 부분환은 {[0]n, [m]n}이고,
이 때, [1m]n=[m]n, [2m]n=[n]n=[0]n, [3m]n=[n]n+[m]n=[m]n, ... 이므로 [m²]n=[m]n이려면 m은 홀수임을 알 수 있습니다.
따라서 Z₂, Z_6, Z_10, ... 입니다.