1. 유제 3-55에서 체 K가 위수 p^r인 F의 확대체라고 했는데, 여기서 K가 Zp의 확대체라고 직접적으로 명시한건 아니고, 구하는것도 K/F에 관한 내용이잖아요?
근데 F가 위수 p^r인 유한체니까 표수가 p이므로 F가 Zp를 부분체로 갖고, 결국 K도 Zp를 부분체로 가지므로 위수가 p^rn인 유한체이다 -> K가 Zp의 갈루아 확대체이므로 K가 F의 갈루아 확대체. 따라서 |G(K/F)|=[K:F]
그리고 정리 3.57에 의해 G(K/Zp)가 위수 nr인 순환군이고 G(K/F)는 부분군이므로 순환군이다 << 라는 이유들이 깔려있는건가요?
그러니까 앞선 정리에서는 어떤 유한체가 Zp의 확대체일때 자기동형사상을 정의하고 G(K/Zp)가 순환군이다 라고 다뤘었는데 K가 Zp가 아닌 체의 확대체라고 주어질때도 비슷한 논리를 적용 가능한건지 헷갈려서 질문드립니다.
2. 원분확대체 정리 3.63 관련해서 증명할때 K=Q(제타)의 중간체 E=Q(제타+제타^-1) 를 가져오고, [K:E]=2 임을 보이는 과정이랑 p=5, p=7일때를 다뤘는데
그래서 결국 정리 3.63을 실제 문제 풀이의 어느 단계에서 어떻게 활용하는건지 풀이 방향이나 감을 못잡겠습니다. 정리 3.63에 따르면 Q(제타)는 Q(root(p)) 또는 Q(root(-p))를 중간체로 무조건 갖고, [Q(root(p)):Q]=2 이니까 차원이 2인 중간체의 '존재성'을 보장하는데에 정리의 결론을 사용하는건가요?
중간체가 Q(root(p))꼴인걸 아는데 굳이 G(K/Q)쪽의 위수 (p-1)/2짜리 원소를 찾아서 고정체를 다시 찾아서 매칭시키는 이유는 Q(root(p))=Q(제타에 관한 식) 의 동일성을 확인하고 그 제타 식에 대한 최소다항식을 구체적으로 구하기 위해서인가요...??
예제 133에서 중간체로 Q(제타+제타^-1)을 바로 쓴것도 그 흐름이 잘 이해가 안돼서요 ㅠㅠ
p가 소수면 [Q(제타):Q(제타+제타^-1)]=2 인 중간체 Q(제타+제타^-1)이 무조건 있다고 보면 되는건가요?
이쪽 부분이 복잡해서 질문도 좀 두서없이 적은 것 같아 죄송합니다...!
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작성자수정과 작성시간 09:24 new
① 네. 이해하신 것이 맞습니다.
② 1) 단순히 존재성이 아닌 존재성+유일성+'구체적인 형태'를 알려줍니다.
2) '정리에 의해 중간체 Q(√5)가 존재한다'라는 것은 문제에서 요구하는 부분군과 중간체 사이에 일대일 대응관계를 보인 것이 아닙니다. 그러므로 해설과 같이 갈루아 군에서 위수가 2인 원소를 찾아 이를 통해 고정되는 고정체를 찾고 이것이 실제로 Q(√5)가 됨을 보여준 것입니다.
3) 소수가 아닌 3이상의 자연수에 대해 성립합니다.
