초월적 원소 u에 대한 F(u)에 관한 질문..

[지환]

F의 확대체 K에 대해서 K의 원소 u가 F위에서 초월적이라고 가정합니다.

이때 ψ : F(x) -> F(u)를   ψ(f(x)/g(x))=f(u)g(u)^(-1)로 정의하면 동형이 되는건 무리없이 증명이 됬습니다....

그럼.. F(u)의 원소중 F에 들어가지 않는 모든 원소들이 F위에서 초월적이라는 것을 어떻게 보여야 할까요...

우선 생각한 아이디어는.. u가 초월적이라면 F의 원소 c에 대해서 cu도 초월적이고 u의 n제곱도(n은 정수 즉 역원도 초월적이 되더라구요) 초월적이 되므로, 저걸 더하기, 곱하기로 결합시킨 원소가 초월적이라는 것만 밝히면 F(u)에 속한원소중 F에 속하지 않는 모든 원소가 초월적이라는 것을 밝힐 수 있을 것 같은데.. 그렇게 잘 안되더라구요.. 

헝거포드 11.2의 25번 연습문제입니다..ㅠㅠㅠ

[정현민]

F(u)-F에 대수적인 원소 f(u)/g(u)가 존재한다고 가정하면 적당한 다항식의 근이 됩니다. 다항식이 n차라 할 때, 양변에 {g(u)}^n을 곱하여 잘 정리하면 u가 대수적인 원소가 되어 모순임을 보일 수 있습니다.